专题25圆周角（举一反三讲义）数学苏科版九年级上册（原卷版）

专题2.5圆周角（举一反三讲义） 【苏科版】TOC\o"13"\h\u【题型1圆周角的概念】 2【题型2圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 3【题型3同弧或等弧所对的圆周角相等】 4【题型4直径所对的圆周角是直角】 5【题型590°的圆周角所对的弦是直径】 6【题型6圆内接四边形对角互补】 7【题型7圆周角定理的实际应用】 8【题型8圆周角定理与三角板的综合运用】 9【题型9利用圆周角定理解决格点中的求值问题】 10知识点1圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理（1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，∠ABC=1（2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，AC=BD⇒（3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如上图，AB是直径⇒∠ACB=∠ADB=90°；∠ACB=90°圆周角与圆心角的区别圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个联系两边都与圆相交知识点2圆内接四边形圆内接四边形的定义如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补；拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．【题型1圆周角的概念】【例1】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式11】下列各图中，∠BAC为圆周角的是（）A．B． C． D．【变式12】（2425九年级上·福建厦门·期中）如图，点A,B,C在⊙O上，点D在⊙O外，CD与⊙O交于点E，AC，BE于点F．下列角中，弧AE所对的圆周角是（

）A．∠ADE B．∠ABE C．∠AFE D．∠AOE【变式13】如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有个圆周角，分别是．【题型2圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】【例2】（2425九年级上·四川自贡·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知OD⊥AB于点D，∠BOD=70°，则∠C的度数为．【变式21】（2425九年级上·吉林长春·期末）如图，点△ABC内接于⊙O，连结OA、OC．若∠ABC=35°，则∠OAC的大小为（

）A．45° B．55° C．65° D．70°【变式22】（2425九年级上·天津蓟州·阶段练习）如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23，则OC的长为【变式23】（2425九年级上·天津·期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为AB上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（

）A．18° B．36° C．54° D．72°【题型3同弧或等弧所对的圆周角相等】【例3】（2425九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在⊙O中，弦AB,CD相交于点P，∠A=40A．75∘ B．65∘ C．70∘【变式31】（2025·陕西西安·三模）如图，△ABC内接于⊙O，点D为劣弧AB上一点，连接OB、OD、BD，若BC=BD，∠D=50°，则∠A的度数为°．【变式32】（2425九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，DE为⊙O的直径，且DE⊥AB于点F，连接CE．若∠A=35°，∠CED=15°，则∠B的度数为（

）A．65° B．70° C．75° D．80°【变式33】（2025·江苏南京·二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E在AD上．若∠ABC=32∠E，则CD【题型4直径所对的圆周角是直角】【例4】（2425九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，AD+BC=CD，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若CE=1A．23 B．22 C．34【变式41】（2025·四川南充·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，DC，且AD=BD，则∠ACD=【变式42】（2025九年级下·北京·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D为⊙O上一点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，交⊙O于点F，DF=AC，连接OD，BC．若DF=4AE=8，则BC的长为【变式43】（2425九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（

）A．8 B．10 C．11 D．12【题型590°的圆周角所对的弦是直径】【例5】（2425九年级上·江苏宿迁·期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°，若点D在⊙O上，且∠BAD=60°，则CD长为．【变式51】如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB=90°，点M为AB上任意一点，连接CM交半圆于N点，连接BN，若∠ABC=35°，则∠BNC的度数为（

A．60° B．55° C．50° D．30°【变式52】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P过原点，且与x轴、y轴交于点A，B，点A的坐标为6,0，⊙P的直径为10．则点B的坐标为．【变式53】（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C的对应点E在⊙O上，连接BE．则四边形ACBE的面积（

）A．只与AC的长有关 B．只与AB的长有关C．只与BC的长有关 D．只与BE的长有关【题型6圆内接四边形对角互补】【例6】（2425九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AB∥CD，∠B=70°，连接AC，则A．25° B．28° C．30° D．35°【变式61】（2425九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E为BC上任意一点，连接BE，CE，则∠BEC=．【变式62】（2425九年级上·陕西渭南·期中）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接DC、DA、OA，OA⊥BC，若∠ADC=25°，则∠CAB的度数是（

）A．140° B．130° C．120° D．110°【变式63】（2425九年级上·江苏南京·期末）如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和劣弧AB上，若∠C=65°，则∠D=°．【题型7圆周角定理的实际应用】【例7】（2025·陕西西安·模拟预测）筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，连接PA，PB，点M在AB的延长线上．若∠PBM=110°，则∠APC的度数为（

）A．20° B．30° C．55° D．70°【变式71】（2425九年级上·山东烟台·期末）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是56°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．【变式72】（2025·陕西铜川·模拟预测）司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将⊙O八等分（图2中的点A∼H为八个等分点），连接AD、AH、DG，AH与DG的延长线交于点P，则∠P的度数为（

）A．60° B．50° C．45° D．30°【变式73】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（

）A．2+8m B．23m【题型8圆周角定理与三角板的综合运用】【例8】如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AC重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线BD从BC处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，BD与量角器的半圆弧交于点E，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是度．【变式81】如图所示，活动课中顺顺将直角三角板45°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于点A，B．他发现量出AB的长，就可求⊙O的半径，当AB=8时，⊙O的半径为（

）

A．22 B．23 C．4 【变式82】如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是；【变式83】如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB的长为．【题型9利用圆周角定理解决格点中的求值问题】【例9】如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（）个A．3 B．4 C．5 D．6【变式91】如图，网格图中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D为格点，设经过图中格点A、B、C三点的圆弧与AD交于E，则AE的长为．【变式92】（2425九年级上·天津西青·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的