上海市长征中学2025-2026学年高三上学期期中测试数学学科试卷（含答案）

长征中学2025学年第一学期高三期中测试数学学科试卷(时间120分钟,满分150分)2025.11一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.1.已知集合，且，则_____.2.不等式的解集是_____.3.函数的图像恒过定点_____.4.已知函数是幂函数，且该函数在区间上是严格减函数，则实数_____.5.已知,试用表示_____.6.在中，若，，，则的长为_____.7.已知函数若，则_____.8.通过三角不等式可知，则等号成立的条件为_____.9.已知，则_____.10.设，则的最小值为_____.11.已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为，则实数的值为_____.12.已知集合是正整数,若集合中的元素个数为4,则实数的取值范围为_____.二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13-14每题4分,15-16每题5分,选对得分,否则一律得零分.13.已知函数的图像如图所示,则函数的表达式可能为().A.B.C.D.①若，则；②若，则；③若，则.A.3B.2C.1D.015.在中，以下与“”不等价的是().A.B.C.D.16.已知函数，若函数在上的所有零点依次为,且,则的值为().A.B.C.D.三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第(1)题6分，第(2)题8分).已知函数,其中.若函数的定义域为集合,集合，且.(1)求实数的取值范围；(2)证明:函数是奇函数但不是偶函数.18.(本题满分14分，第(1)题6分，第(2)题8分).已知四棱锥的底面是正方形，平面.(1)设平面平面，求证:；(2)求证:平面平面.19.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.设.(1)若，解关于不等式；(2)若函数在区间上有极大值，求的取值范围.20.(本题满分18分，第(1)题4分，第(2)题6分，第(3)题8分).如图,有一块矩形铁皮,其中米,米,其中,是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用,但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮,使点在弧上.设,矩形的面积为平方米.(1)求这块铁皮的可用部分的面积；(2)求关于的函数表达式；(3)当时，求的最值，并求出当取得最值时,所对应的的值.21.(本题满分18分，第(1)题4分，第(2题6分，第(3)题8分).定义:若函数与的图像上分别存在点,使得当时有成立,则称函数与具有“对称互补”关系.(1)判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由;(2)若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系,且存在唯一的点对满足条件,求实数的取值范围.(3)若函数，，不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围；长征中学2025学年第一学期高三期中测试数学学科试卷(时间120分钟,满分150分)2025.11一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.1.已知集合，且，则_____.解析：2.不等式的解集是_____.解析：由解得或.解集为.3.函数的图像恒过定点_____.解析：令,得,此时所以函数图象恒过定点4.已知函数是幂函数，且该函数在区间上是严格减函数，则实数_____.解析：解得或因为该函数在区间上是严格减函数当时，在区间上是严格增函数，不符；当时，在区间上是严格减函数，符合；所以5.已知,试用表示_____.解析：因为，所以，所以6.在中，若，，，则的长为_____.解析：由余弦定理可得带入解得7.已知函数若，则_____.解析：1.当时此时但此时不满足这个条件，所以这种情况舍去。2.当时此时满足这个条件，所以是符合条件的解。综上,8.通过三角不等式可知，则等号成立的条件为_____.解析：当且仅当时取等所以等号成立的条件为9.已知，则_____.解析：10.设，则的最小值为_____.解析：当且仅当时取等11.已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为，则实数的值为_____.解析：由题知又的解集为所以代入得12.已知集合是正整数,若集合中的元素个数为4,则实数的取值范围为_____.解析：当时,当时,当时,,当时,当时,当由得,当时因为集合中只有4个元素，故.二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13-14每题4分,15-16每题5分,选对得分,否则一律得零分.13.已知函数的图像如图所示,则函数的表达式可能为().A.B.C.D.解析：函数图象的识别十函数的奇偶性由题图可知函数的定义域,且为偶函数,易得与均为奇函数,排除选项.由题图可知当时,,易得当时,,排除故选D.①若，则；②若，则；③若，则.A.3B.2C.1D.0解析：对①，对于指数函数，它在定义域上是减函数。已知，根据减函数的性质，当自变量增大时，函数值减小，所以，故命题①错误。对②对于对数函数，它在定义域上是减函数。已知，根据减函数的性质，当自变量增大时，函数值减小，所以，故命题②正确。对③对于幂函数，其定义域为，且在上单调递增。已知，根据增函数的性质，当自变量增大时，函数值增大，所以，故命题③正确。综上，命题②③正确，正确的命题有2个；故选B.15.在中，以下与“”不等价的是().A.B.C.D.解析：不妨取与矛盾故选B.16.已知函数，若函数在上的所有零点依次为,且,则的值为().A.B.C.D.解析：令，可得，即函数的对称轴方程为，又的周期为，令，可得，所以函数在上有9条对称轴.根据正弦函数的性质可知，，，，，(最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴)，将以上各式相加得，,故选C.三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第(1)题6分，第(2)题8分).已知函数,其中.若函数的定义域为集合,集合，且.(1)求实数的取值范围；(2)证明:函数是奇函数但不是偶函数.解析：(1)因为且.(2)由(1)可知函数的定义域，关于原点对称。计即，为奇函数；假设函数是偶函数，则对于定义域内的任意，都有。由，，显然(当时)，所以函数不是偶函数.因此，函数是奇函数但不是偶函数。18.(本题满分14分，第(1)题6分，第(2)题8分).已知四棱锥的底面是正方形，平面.(1)设平面平面，求证:；(2)求证:平面平面.解析：(1)因为是正方形所以因为平面，不在平面所以平面因为平面平面所以(2)因为平面所以因为是正方形所以因为所以平面所以平面平面.19.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.设.(1)若，解关于不等式；(2)若函数在区间上有极大值，求的取值范围.解析：(1)由题意知,解得所以由得令则在上恒成立,所以在上单调递增,又,所以由得可得所以的解集为(2)当时,令,解得或①当，即时，若，则；若，则；若，则.所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,此时在处取得极大值②当,即时,若,则;若,则;若,则所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,此时在处取得极大值③当,即时,恒成立,所以在上单调递增,此时函数无极值.④当，即时，若，则；若，则所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数无极大值.综上可得的取值范围为20.(本题满分18分，第(1)题4分，第(2)题6分，第(3)题8分).如图,有一块矩形铁皮,其中米,米,其中,是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用,但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮,使点在弧上.设,矩形的面积为平方米.(1)求这块铁皮的可用部分的面积；(2)求关于的函数表达式；(3)当时，求的最值，并求出当取得最值时,所对应的的值.解析：(1)可用部分的面积为(2)过作，垂足为，由题意可得:故.所以矩形的面积.(3)此时,故.等号取到当且仅当，即，所以解得或.所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或.21.(本题满分18分，第(1)题4分，第(2题6分，第(3)题8分).定义:若函数与的图像上分别存在点,使得当时有成立,则称函数与具有“对称互补”关系.(1)判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由;(2)若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系,且存在唯一的点对满足条件,求实数的取值范围.(3)若函数，，