《三角形中位线定理》教案

《三角形中位线定理》教案教学目标及教学重点、难点本节课的主要知识内容是三角形中位线的定义及定理，在利用平行四边形判定定理和性质定理对三角形中位线定理探索及证明过程中，发展学生的推理能力；在利用辅助线构造图形的过程中发展学生创造性地解决问题的能力.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习回顾引入概念回顾平行四边形的研究过程和线段的中点的相关概念，学习三角形的中位线定义.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过复习平行四边形与线段中点相关知识，学习三角形的中位线定义.提出猜想探究定理1.启发学生根据三角形的中位线定义，观察图形，猜想三角形的中位线的性质.DE∥BC，且DE=BC.2.引导学生分析问题，证明猜想.思路一构造平行四边形方法1引导学生从对角线互相平分平分构造行四边形证明猜想证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，DC，AF．∵AE=CE，EF=DE，∴四边形ADCF是平行四边形．∴CF//AD，CF=AD．∴CF//BD．又BD=AD，∴CF=BD．∴四边形BCFD是平行四边形．∴DF//BC，DF=BC．又DE=DF，∴DE//BC，且DE=BC．方法2引导学生从对边相等构造两平行四边形证明猜想证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF．∵AE=CE，EF=DE，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE．∴AD=CF，∠A=∠ECF．∴CF∥AB．又BD=AD，∴CF=BD．∴四边形BCFD是平行四边形．∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF//BC，DF=BC.∴DE//BC，DE=BC.方法3引导学生从对边平行构造两平行四边形证明猜想证明：过点C作CF∥BD，与DE的延长线交于点F．∵CF∥BD，∴∠A=∠ECF．∵AE=CE，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE．∴AD=CF．∵BD=AD，∴CF=BD.∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF//BC，DF=BC.∴DE//BC，DE=BC.通过三种构造平行四边形的方法证明猜想，得到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．引领学生总结利用三种添加辅助线，构造图形的方法.思路二引导学生构造全等三角形.通过观察、度量的方式获得猜想，发展学生合情推理能力.通过添加辅助线构造平行四边形证明猜想，得到三角形中位线定理，发展学生演绎推理能力.经历添加辅助线构造平行四边形证明猜想的过程，得到三角形中位线定理．总结三种证明方法，体会添加辅助线构造图形是我们解决问题的常用方法.丰富添加辅助线解决问题的方法.运用定理解决问题1.出示练习题如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AC=10，BC=14，求四边形DECF的周长.通过本习题，使学生更加深刻的体会三角形中位线定理的应用，用三角形解决平行四边形问题.2.出示练习题如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，ED=3，求AB的长度.通过本习题，使学生更加深刻的体会三角形中位线定理位置关系的应用.3.出示例题例在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.总结应用三角形中位线定理时，有时用到平行关系，有时用到倍分关系，也可能同时用到这两个关系。我们要根据具体情况，灵活使用三角形中位线定理.4.出示练习题利用三角形中位线定理，平行四边形的性质定理和判定定理解决问题。通过例题的解答，体会三角形中位线定理的应用是计算线段长度，证明线段平行的重要依据.发展学生分析问题发展学生分析问题、解决问题的能力.反思回顾总结提升引导学生从知识内容、学习过程和思想方法的角度进行总结.学生回顾本节课知识内容，体会图形构造的一般方法，感受数学的魅力.作业1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？第1题图2．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样测出A，B两点间的距离？根据是什么？第2题图3．如图，ABCD的对角线AC，BD相较于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.第3题图巩固课堂学习的内容.综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴由平行四边形的性质可得,∠BCD=∠BAD=60°,∠DCF=180°-∠F=70°.∵AD∥BC,DE∥CF,∴∠ADE=∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+70°=130°.∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE.∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=6.C7.A如图所,连接OP,过点A作AG⊥BD于G.∵AB=3,AD=4,∴由勾股定理可得BD=32+4∵S△ABD=12AB·AD=12BD·∴12×3×4=12×5×AG,解得AG=在矩形ABCD中,OA=OD.∵S△AOD=12OA·PE+12OD·PF=12OD∴PE+PF=AG=1258.C如图,点E,F为边的中点,沿图中虚线折叠,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,此时三棱锥四个面中最小的面是△AEF,其面积=12AE·AF=12×1×1=二、填空题9.(4,4)连接BD,AC交于点E(图略).根据点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2)可知BD∥x轴.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AE=CE=OD=2,DE=BE=OA=4,∴AC=4.故点C的坐标为(4,4).10.22.5°11.8CD=12AB=3,CE=13CD=1,DE=CD+CE=4,∴BF=2DE=12.317在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,∠BAD=90°,∴BD=AB2+∵BP=BA=5,∴PD=BD-BP=8.∵BA=BP,∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ.∵AB∥CD,∴∠BAP=∠DQP,∴∠DPQ=∠DQP,∴DQ=DP=8,∴CQ=DQ-CD=8-5=3.∴在Rt△BCQ中,根据勾股定理,得BQ=BC2+C三、解答题13.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠ABC=∠CDA,∴∠EBG=∠FDH,∠E=∠F.在△BEG与△DFH中,∠∴△BEG≌△DFH(ASA),∴EG=FH.14.证明在正方形ABEF和正方形BCMN中,AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°.∵AB=2BC,∴EN=BC.∴△FEN≌△EBC.∴FN=EC.15.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥ED,∴∠FCG=∠EDG.∵G是CD的中点,∴CG=DG.又∠CGF=∠DGE,∴△FCG≌△EDG,∴FG=EG.∵CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)解①3.5②216.(1)证明∵AD∥BC,∴∠DMO=∠BNO.∵MN是对角线BD的垂直平分线,