华师大版八年级下册数学全册教案设计

暂慧

学虚八年鳏款学・华师•下册甚学案

第16章分式

16.1分式及其基本性质

16.1.1分式

数学目标

(1)面积为2平方米的长方

1.让学生了解分式的概念

形一边长3米，则它的另一边长

以及分式与整式概念的区别与

为米；

联系.

(2)面积为S平方米的长方

2.掌握分式有意义的条件，

形一边长a米，则它的另一边长

认识事物间的联系与制约的关

为米；

系.

教学重难点⑶一箱苹果售价p元，总重

重点：分式的概念，分式有m千克，箱重n千克，则每千克

苹果的售价是元.

意义、无意义的条件，分式的值

为0的条件.分小组讨论，得出结果.让学

难点：分式有、无意义的生通过观察、归纳，总结出整式

条件，分式值为0的条件.与分式的异同，从而得出分式的

数学过程

概念.

一、情景导入

今天我们一起来学习分式

请同学们独立完成下列三

的意义.

个问题并观察你所列的3个式

二、新知探究

子，它们有什么共同点?你能归

纳吗？探究一：分式的概念

阅读教材P2的内容，完成x+1

4—x'

下列问题：

解:⑵、(4)是整式，⑴、

1.观察情景导入中得出的

(3)是分式.

结果，两个整数相除，不能整除时

探究二：分式有意义、无

结果可用分数表示，当两个整式

意义和分式二0的条件

不能整除时，它们的商怎么表示

1.分式中，B为什么不能为

呢?请大家观察下列式子，他们

0?当B二0时，会出现什么样的

与分数有什么相同点和不同点

结果？

Ps

in-na2.分式为0的前提是什

学生讨论回答：相同点：么？分式为0的条件是什么？

都具有分数的形式；不同点：学生回答并展示，教师归

分母中含有字母.纳：⑴当B=0时，分式无意义.

归纳：形如与A、B都表当BWO时，分式有意义.

O

⑵当A=0且BM时，分

示整式，且B中含有字母，B#))

式的值为零.

的式子，叫做分式.其中A叫做

3.学习教材P3例2.

分式的分子，B叫做分式的分母.

强化练习：

整式和分式统称有理式.

1.x取什么值时，下列分式

2.应用：例.下列各式中，哪

有意义?

些是整式？哪些是分式？

XX-

为//、(1)—7；(2)-,

⑴客(2)2a+b;(3)一2x—35x+10

c2x-5/x+7

3自己总结)

解：(1)x#2?(2)XA2;

1.今天学习了什么？学到

(3)x#-2且x#2;(4)x/).

了什么？还有什么疑惑？有什

2.已知分式克＜==舒(1)当x为

果一IT么感受？

何值时,分式无意义？(2)当x为在学生回答的基础上，教师

何值时分式有意义？(3)当x为点评并板书：

何值时，分式的值为零？(4)当x(1)学习了分式的概念，理解

=—3时，分式的值是多少？了整式与分式的异同.

解：(1)x=l;(2)x^1;(2)知道当分式的分母不等

(3)x=—1;(4)-2,于零时分式才有意义.

强调：分式有意义是指分⑶若使分式的值为零，需满

母B不能为0,而不是指分母B足两个条件：①分子等于零；

中的字母不能为0.②分母不等于零.

三、交流展示2.分层作业：

1.组织学生以小组为单位(1)布置作业：教材P5、

进行有序展示(表演、口述讲解6”习题16.1”中第2、3题.

或板书)学习成果，并将疑难问(2)完成“智慧学堂”相应

题展示在黑板上，小组之间就上训练.

述问题“释疑”或“兵教兵”.五、教后反思

2.教师肯定、点拨或矫正本课中在学习分式的概念

学生自学成果.时，借助整式的概念，用类比的思

想进行教学，学生掌握的较好，能

四、评价与反思(引导学生

够紧抓概念，很容易的区分整式式的分子等于0,而没有考虑分

与分式.而在分式的值等于0的式的分母.因此，在后面的教学中

教学中，一部分学生都只考虑分对这方面的教学有待加强.

16.1.2分式的基本性质

教学目标C

%等吗？

1.让学生理解并掌握分式

的基本性质及变号法则，并能运通过分数的约分、通分，复

用这些性质进行分式的恒等变习分数的基本性质，通过类比来

形.学习分式的基本性质.

2.让学生掌握分式约分的今天我们一起来学习分式

方法和最简分式的化简方法.的基本性质.

数学重理A

二、新知探究

重点：分式的基本性质，约

探究一：分式的基本忤质

分和通分.

阅读教材P3内容，并思考

难点：运用分式的基本性

下面问题：

质和变号法则进行分式的恒等

变形.1.你认为分式脸与那等

救学过程

嘶自料

一、情景导入

1.回忆分数的基本性质，猜学生讨论回答：相等，都是

想分式的基本性质.利用了类似于分数的基本性质.

2：=；的依据是什么？铝归纳：分式的基本性质：

分式的分子和分母都同时乘以

（或除以）同一个不等于零的整应用

式，分式的值不变.1.什么叫约分和通分？什

用式子表示*=部，合么叫最简分式？

答：把一个分式的分子和

=表总其中M是不等于零的

B-M分母的公因式约去，这种变形称

整式）.为分式的约分；通分是利用分

2.思考：分式的分子和分式的基本性质把分式的分子、

母都同时加上（或减去）同一个分母同乘以同一个整式，使分母

不等于零的整式，分式的值会改化为同分母的分式；分子和分

变吗？母已没有公因式，这样的分式称

学生讨论回答：分式的分为最简分式；分式计算的结果

子和分母都同时加上（或减去）必须是最简分式.

同一个不等于零的整式，分式的2.学习教材P3〜4的例

值发生改变.3、例4,掌握约分和通分的方法

3.应用:例.判断下列约分及步骤.

是否正确:教材例3.约分：

a+ca/c、x—y―16x2y3口、

⑴kb；⑵匚72

口20xy.\-4X+46

]m+n分析：分式的约分，即要求

混4#（3））m+n-。

把分子与分母的公因式约去.为

解：（1）不正确；（2）正确;

此，首先要找出分子与分母的公

（3）不正确.

因式.

探究二：分式基本性质的

-16x2y3解法，完成第⑶小题.

解：⑴司一-

归纳：1.通分的关键是确

4xy3・4x_4xx2-4

4xy3-5y_5y('x2—4x+4定几个分式的最简公分母.

(x+2)(x—2)x+22.求几个分式的最简公分

(x-2)2=^2

母的步骤：

教材例4.通分：

(1)取各分式的分母中系数

最小公倍数；

.II(2)各分式的分母中所有字

母或因式都要取到；

解：(1息弓系的最简公

(3)相同字母(或因式)的幕

分母为a2b2,所以取指数最大的；

(4)所得的系数的最小公倍

数与各字母(或因式)的最高次

ab2-aa2b2事的积(其中系数都取正数)即

(2号与焉的最简公分为最简公分母.

完成教材P5练习.

母为(x-y)(x+y),即x2-y2,所

3.练习：不改变分式的值，

1-(x+y)

乂x-y—(x-y)(x+y)-使下列分式的分子和分母都不

x+y1含“一”号.

x2-/1M噌

-6b—x-7m—3x

1・(x-y)_____x-y-5a'3y'6n'4y

(x+y)(x-y)_/一广

分析：每个分式的分子、

请同学们根据这两小题的

分母和分式本身都有自己的符

号，其中两个符号同时改变，分握分式的基本性质.

式的值不变.(2)约分、通分的方法及最

立力一6b6b-xx简分式的意义.

解：二^扁37二一守

2.分层作业：

-7m7m—3x3x

6n―6n'4y4y(1)布置作业：教材

三、交流展示P6”习题16.1”中第4、5题.

1.组织学生以小组为单位(2)完成“智慧学堂”相应

进行有序展示(表演、口述讲解训练.

或板书)学习成果，并将疑难问五、教后反思

题展示在黑板上，小组之间就上本课要求学生对分式的基

述问题“释疑”或“兵教兵”.本性质能说能背，从表面上来看，

2.教师肯定、点拨或矫正掌握的比较好.但从练习中可以

学生自学成果.发现很多问题，如：不会找分式

四、评价与反思(引导学生的分子、分母的公因式；分

自己总结)子、分母不同时乘或除；约分

L今天学习了什么？学到不彻底等.所以在这些方面要多

了什么？还有什么疑惑？有什练习.

么感受？

在学生回答的基础上，教师

点评并板书：

(1淡比分数的基本性质，掌

16.2分式的运算

16.2.1分式的乘除

效学目标

1.让学生理解并掌握分式

的乘除法，能熟练地进行分式乘

除法的混合运算.

2.让学生理解分式乘方的

运算法则，熟练地进行分式乘方

的运算.

教学重难点

重点：用分式乘除的法

则、分式乘方的法则进行相关

今天我们一起来学习分式

的运算.

的乘除计算法则.

难点：分子、分母为多项

二、新知探究

式的分式的乘除法运算.

探究一：分式乘除计算法

数学过程

一、情景导入则

复习：1.(1)什么叫做分式1.由情境导入的尝试探究,

的约分？约分的根据是什么？可得出分式的乘除法法则.

(2)下列各式是否正确？为归纳：分式乘分式，用分子

什么？的积作为积的分子，分母的积作

为积的分母.如果得到的不是最

简分式，应该通过约分进行化简.探究二：分式的乘方

分式除以分式，把除式的分子、1•阅读教材P7“思考”并

分母颠倒位置后，与被除式相回答怎样进行分式的乘方呢？

乘.(用式子表示如图所示)则仔细观察所得的结果，试总结出

ac_ac分式乘方的法则.

bd=bd

(1)*)'；(2*)我是正整

acadad

-r-=—•—=--

bdbcbe

数).

2.学习教材P7的例1、例

ninnn

解：⑴(z0-7%

2.

教材例1.计算：nnn

(mmm

ay2.

仁)政途,

皿“axay2

解：°丘.拓Tby^x"

4—S^do4(k个尸

a3

萨rrn…n

-m--m---.-.---i-n-)=

.__a^xya2yza2xyb2x2

归纳：把分式的分子、分

x3母分别乘方，所得的幕作结果的

=尹

分子、分母.

教材例2.计算:

x+3f—4'2.应用:

解原式例.计算：⑴(*『；

x—2(x+3)(x—3)x—3

=-2a,

x+3'(x+2)(x-2)x+2QXE'.

V

完成教材第P8练习Tl.

解：(1)(写)2述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定、点拨或矫正

y2_匕

(一2x)2一&；学生自学成果.

3

-2a.(-2a)四、评价与反思(引导学生

(2)B)=(c2)3

自己总结)

-8a38a3

6——。

C1.今天学习了什么？学到

强化练习:了什么？还有什么疑惑？有什

计算：⑴受点;(2居么感受？

在学生回答的基础上，教师

一3〃为2

4cd.点评并板书：

解：(唠方=株=⑴分式的乘除法法则：分

式乘以分式，用分子的积作为积

2

友;的分子，分母的积作为积的分

ab2-3a2b2母；分式除以分式，把除式的分

化)於

4cd子、分母颠倒位置后与被除式

2

ab4cd2d相乘.

2c2,3a2b2~-3ac

(2)分式的乘方：把分式的

三、交流展示分子、分母分别乘方，所得的幕

作结果的分子、分母.

1.组织学生以小组为单位

进行有序展示(表演、口述讲解2.分层作业.

或板书)学习成果，并将疑难问

(1)布置作业：教材

题展示在黑板上，小组之间就上P10”习题16.2”中第1题.

(2)完成“智慧学堂”相应决习题时，对学生容易出现的错

训练.误没有重点强调.所以学生在后

五、教后反思面的练习中仍然出现这样那样

本课在练习中暴露出一些的错误.学生答题的规范性还差

问题，例如在传授过程中急于求了些，在黑板上的板书不到位，在

成，法则的引入没有给学生过多以后的教学中加强学生的答题

的时间，如果时间足够，学生自己规范性练习.

得出法则并不是一件难事.在解

16.2.2分式的加减

第1课时分式的加减

《数学目标KL教学过程

1.让学生理解并掌握分式一、情景导入

的加减法法则，并会运用法则进甲、乙二人加工一批零件，

行分式的加减运算.甲单独做需要a天完成，乙单独

加工零件比甲多用4天完成，

2.使学生在掌握分式的加

减法法则的基础上，用法则进行甲、乙共同加工这批零件，一天

分式的混合运算.能完成这批零件的几分之几？

教学重难点0

甲比乙每天多加工几分之几？

重点：同分母、异分母分

学生回答，教师归纳：式子

式的加减运算以及混合运算.

!+£,卜£你会算吗？今

难点：异分母分式的加减

运算与混合运算.天我们来学习分式的加减计算

法贝IJ.1.观察下列分数加减的式

二、新知探究>1,13,25113

丁.2十36+66'236

探究一：同分母的分式的

21i

工=7,你能用类似的方法求出行

加减oo物

1.阅读教材P8内容.计+」一1,吗？

a+心a+43

算：你能用

学生计算回答或展示，教师

类似分数的加减法计算上面的归纳：异分母的分式相加减，先

式子吗？通分，变为同分母的分式，然后再

归纳：分式的加减法则：加减.

同分母的分式相加减，分母不变,2.学习教材P9例4.计算

把分子相加减.324

x—4x2—16

2.学习教材P8〜9例3,并

分析：这里两个分式的分

完成教材P9练习T1.

母不同，要先通分.为此，先找出

3.应用：例.计算：

它们的最简公分母.注意到x2-

3a+2ba+bb-a

:;

⑴5ab+5?b—5a¥16=(x+4)(x-4),所以最简公

5a+6b,3b-4aa+3b分母是(x+4)(x-4).

(2)3a2bc+3ba'c"-3cba2

3

解：原式=

学生独立完成，教师点评强-7

调：如果结果不是最简分式，应制_

《漱牛鹰》《熬一编》'

该通过约分进行化简.

3(x+4)_

探究二：异分母的分式的(x+4)(x—4)

加减

24母分式的加减运算.

(x+4)(x-4)二

(4)公分母保持积的形式，将

3(x+4)—24_

(x+4)(x-4)一各分子展开.

3x-12(5)将得到的结果化成最简

(x+4)(x—4)

分式(整式).

3(x-4)______3

(x+4)(x—4)-x+4'

完成教材PIO练习T2.

-----;(3)寸

归纳：异分母分式的加减m-93-m款

法步骤：1-x6

6+2xx2—9

(1)正确地找出各分式的最

a2

简公分母.求最简公分母概括解：(1)原式=^—[+

为：1—2a

a—1

①取各分母系数的最小公

a2-2a+1

倍数；一a—1

②凡出现的字母为底的哥(a-1)2

a-1

的因式都要取；

=a-1;

③相同字母的事的因式取

122

⑵原式二皿一会

指数最大的.取这些因式的积就

是最简公分母.=______12_

一(m+3)(m—3)

(2)准确地得出各分式的分

2m+6

子、分母相乘的因式.

(m+3)(m—3)

(3)公分母通分后，进行同分-2(m—3)

一(m+3)(m—3)

2了什么？还有什么疑惑？有什

一一m+3；

么感受？

(3)原式mjg,_#在学生回答的基础上，教师

1—x点评并板书：

2(x+3)

(1)掌握同分母分式的加减

6______

(x+3)(x-3)法则：同分母的分式相加减，分

母不变，把分子相加减；

2x+6+(1-x)(x—3)—12(2)异分母的分式加减法

2(x+3)(x-3)

则：异分母的分式相加减，先通

一(x-3)2

=2(x+3)(x-3)分，变为同分母的分式，然后再

x—3加减.

=-2x+6

2.分层作业：

三、交流展示

(1)布置作业：教材

1.组织学生以小组为单位

PH)“习题16.2”中第2题.

进行有序展示(表演、口述讲解

(2)完成“智慧学堂”相应

或板书)学习成果，并将疑难问

训练.

题展示在黑板上，小组之间就上

五、教后反思

述问题“释疑"或“兵教兵”.

本节课授课结束后发现学

2.教师肯定、点拨或矫正

生对于同分母的分式的加减运

学生自学成果.

算掌握得比较好，但是对于异分

8、评价与反思(引导学生

母的分式的加减就掌握得不是

自己总结)

很理想，很多学生对于分式的通

1.今天学习了什么？学到

分还很不熟练，也有学生对于计以对异分母的加减法还要加强

算结果应该为最简分式理解不练习.

够，总是无法化到最简的形式.所

第2课时分式的混合运算

教学目标Q

分式的混合运算顺序.

1.知道分式的加、减、

今天我们一起来学习分式

乘、除、乘方的法则是什么；

的混合运算.

会进行分式的混合运算.

二、新知探究

2.经历探索分式的混合运

探究：分式的混合计算运

算法则的过程，理解分式加减法

算顺序

运算的原理.

・计算：》击一

教学重难点1Q

重点：能够进行分式的混

x+3X2—2x+1x+2

合运算.x?—1x?+4x+3；⑵2x

难点：能够进行分式的混x-1x—4

x‘一4x+4)x'

合运算.

.教学过程仁解：(1)原式三壮

一、情景导入

x+3

回忆：我们在小学里学过(x+1)(x—1)

四则混合运算，它的运算顺序是(x-1)2

(x+3)(x+1)

什么？分式的混合运算又是什

1x—1

么样的呢？=x+T-(x+1)2

通过回顾小学里学过四则x+1X—1

2

混合运算的运算顺序，从而引出(x+1)-lx+1p

2ab11

(x+1/:k口弋F

42学生独立完成，教师点评.

化)原式=【丁xE

x—1x—4

-

(x-2)2匕(2)先化简，再求值：

x2-2x+m?+“淇中x=

(x+2)(x—2)—x(x—1)

x7x二2)2J2+1.

解：原式二

于

照

X(x+1)(x-1)

x2-4—,+xx，x-1)2x7x+1)

=X(X-2)2

_T

1一斤呼

=Tx-2)*2,

当x=42+l时,原式二

归纳：引导学生观察上面

1

的计算过程，并总结分式的混合亚+1-1-2,

运算法则：教师点评：I.分式通分时

先乘方，再乘除，然后加减，分母能分解应先分解；2.确定

有括号的先算括号里的，最后结最简公分母；3.分子、分母同

果分子、分母要进行约分，注意乘以不等于零的整式.

最后的结果要是最简分式或整3.对应练习:

式.31rbe2a

);

⑴16a'2a.¥

2.应用：⑴计算：昌，+

3(x-y)'

⑵(y-x)3

122_____1_

a2—4)'a—2a+2”

9

y衣四、评价与反思(引导学生

y—x’

自己总结)

⑶赤.(一1.今天学习了什么？学到

3

?(v了什么？还有什么疑惑？有什

6ab纭力谓p

么感受？

(4)(xy

在学生回答的基础上，教师

2x2-2xy+『x-y

x)xyx2:点评并板书：

2

.c2s3x,xyv分式的混合运算顺序：

⑸-8”寸“法；

先乘方，再乘除，然后加减,

a2-6a+93-aa2

4—b~2+b3a—9有括号的先算括号里的，最后结

y2-4y+41果分子、分母要进行约分，注意

⑺2y—6y+3

最后的结果要是最简分式或整

12-6y

9—y2,式.

(8日出+yQ2.分层作业：

x-xyp-xy

(1)布置作业；教材

三、支流展示

P10”习题16.2”中第3题.

1.组织学生以小组为单位

(2)完成“智慧学堂”相应

进行有序展示(表演、口述讲解

训练.

或板书)学习成果，并将疑难问

五、教后反思

题展示在黑板上，小组之间就上

本课教学时，要随时注意学

述问题“释疑"或“兵教兵”.

生出现的错误，及时给予纠正，对

2.教师肯定、点拨或矫正

计算错误的原因，要仔细分析.帮

学生自学成果.

助学生从根本上弄清概念和法才能避免再犯同样的错误.

则，使学生明白所犯错误的原因,

16.3可化为一元一次方程的分式方程

第1课时分式方程

教学目标米所需的时间相同.已知水流的

1.让学生理解分式方程的

速度是3千米/时，求轮船在静

概念，解分式方程的基本思路和

水中的速度.

解法.

分析：设轮船在静水中的

2.让学生理解解分式方程

速度为x千米mt根据题意，得

时可能无解的原因，并掌握分式

8060

方程的验根方法.

x+3x-3'

:教学重难点

此方程与以前学过的其它

重点：解分式方程的基本

方程有什么不同？该方程如何

思路和方法.

解？

难点：分式方程产生增根

今天我们一起来学习分式

的原因.

方程及其解法.

0教悭I过程U

一、情景导入二、新知探究

阅读教材P12的内容并思探究一：分式方程的概念

考：I.观察情景导入中的方

程：含有分式，并且分母中含未

轮船在顺水中航行80千米

所需的时间和逆水中航行60千知数，像这样分母中含未知数的

方程叫分式方程.方程两边同乘以（x+3）（x—

2.思考：什么是一元一次3）,约去分母，得80（x—3）=60（x

方程？什么是整式方程？十3）.解这个整式方程，得x=21.

经整理后方程中只含有一所以轮船在静水中的速度为21

个未知数，并且未知数的次数是千米/时.

1的整式方程叫一元一次方归纳：上述解分式方程的

程；方程中各项都为整式的方过程，实质上是将方程的两边乘

程是整式方程.以同一个整式，约去分母，把分式

3.应用：例1,判断下列方方程转化为整式方程求解.所乘

程是否是分式方程?的整式通常取方程中出现的各

①"②£分式的最简公分母.

探究三：分式方程的增根

8x+8z_.x+2

「—>I.③2.—-.；@—

X'-1X11.解方程：-'尸d涓

德T1帽

解：方程两边同乘以（X2一

解：①④不是分式方1）,约去分母，得x+l=2.解这

程，②③是分式方程.个整式方程，得x=l.

探究二：分式方程的解法

1.思考-：怎样解分式方程2.思考•：（l）x=l是不是原

呢？有没有办法可以去掉分式分式方程的解（或根）呢？

方程中的分母把它转化为整式

当x=l时，原分式方程左

方程呢？试动手解一解情景导边和右边的分母（X-1）与（X2-1）

入中的方程，解答如下：都是0,方程中出现的两个分式

都没有意义，因此，x=l不是原或板书)学习成果，并将疑难问

分式方程的解，应当舍去.所以原题展示在黑板上，小组之间就上

分式方程无解.述问题“释疑”或“兵教兵”.

归纳：在解分式方程时，产2.教师肯定、点拨或矫正

生不适合原分式方程的解(或学生自学成果.

根),这种根通常称为增根.因此，四、评价与反思(引导学生

在解分式方程时必须进行检验.自己总结)

(2)如何判定一个值是否为L今天学习了什么？学到

这个分式方程的根呢？分式方了什么？还有什么疑惑?有什

程如何检验呢？么感受？

归纳：解分式方程进行检在学生回答的基础上，教师

验的关键是看所求得的整式方点评并板书：

程的根是否使原分式方程中的(1)知道什么是分式方程；

分式的分母为零.有时为了简便分式方程产生增根的原因.

起见，也可将它入所乘的整式(2)知道解分式方程的一般

(即最简公分母),看它的值是否步骤；知道解分式方程须验根

并掌握验根的方法。

为零.如果为零，即为增根.

完成教材P16练习T1、2.2.分层作业：

3.学习教材P15例2.(1)布置作业：教材

三、交流防P16”习题16.3”中第1题.

1.组织学生以小组为单位(2)完成“智慧学堂”相应

进行有序展示(表演、口述讲解训练.

五、教后反思计思路，符合课改要求，但是经过

本节课的关键是如何过渡，