几种创新大地测量数据处理理论和方法

现

代

大

地

测

量

学

论

文

几种创新大地测量数据处理理论与方法概述

现代测量平差与数据处理理论发展概述经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫

模型为核心：

L=AX+△(la)

E(A)=O,Z)(A)=cr2,Q=a2•P1(lb)

Rnk(A)=n,R(Q)=R(P)=〃(1c)

这里L为观测向量，△为误差向量,X为未知参数向量,A为X的系数矩阵,£()为数学期望,

4为单位权方差,P为观测权矩阵.Q为协因素矩阵，〃为观测个数。现代测量平差与数据处

理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若

干新理论、新方法。各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系可以描述如图1所示【1】

图1各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系图

1.测量平差主要发展状况概述

测量平差估计准则的发展：高斯最小二乘理论的发展，相关平差理论的发展，极大验后

估计准则，稳健估计的准则，统计决策的基本概念，容许性的概念。

测量平差数据质量评估及质量控制理论的发展：经典的数据质量评估与质量控制理论，

现代的方差协方差估计理论的发展，赫尔黑特方差估计理论，二次无偏估计法，方差分量的

Bayes理论，方差估计的精度评定。

稳健估计主要介绍：稳健估计理论的发展，污染误差模型构成，污染误差模型在测量数

据处理中的具体形式，稳健性度量的概念，各种稳健性度量准则，影响函数的定义，影响函

数的确定。稳健估计的种类，稳健的M估计的原理，选权迭代法的基本原理，测量中常用的

几种选权迭代法，均方误差最小的稳健估计，污染误差模型下的测量数据处理理论。一次范

数最小的估计，一范最小估计的性质，一范最小估计的算法（线性规划法，迭代法），P范

最小的原理，算法。粗差去测的理论，data-snooping的原理和方法，可靠性理论（内可靠

性，外可靠性），稳健估计理论在测量中的应用及发展现状。

时间序列数据处理的理论发展：实时动态数据的处理概况，动态数据的卡尔曼滤波（动

态模型的建立，滤波），动态数据的预报，动态数据的平滑，随机过程与时间序列的概念,

平稳随机过程和平稳时间序列，时间序列的随机线性模型平稳自回归模型，平稳自回归可逆

滑动平均混合模型，线性模型的自相关函数和偏相关函数，模型的初步识别，模型参数的矩

估计，模型参数的最小二乘估计，模型的检验和改进时间序列的预报。

多源数据的融合：多源数据的融合的基本概念，多源数据的融合的基本方法，先验信息

的描述，Bayes估计的原理，Bayes准则，无信息先验，共扼分布，损失函数的概念，经验

Bayes估计,Bayes假设检验,Bayes预测,Bayes估计在测量中的应用,方差分量的Bayes

估计，Bayes估计的广义可容许性。

有偏估计：容许性的概念，病态方程问题，均方误差的概念，stein估计，岭估计，岭

参数的确定，主成分估计，有偏估计在测量中的应用。【02'08】

本文根据上述扩展，将作重介绍几种现代新发展起来的几种处理方法。

这样利用等价权「可将“估计化为最小二乘估计,这无论在计算、估算方案制定上都带

来很大的便利,我们就充分利用它。

通过权因子,可以对不同的极值函数P进行对比,反之,若规定了权因子,也可以找出相

应的极值函数。

下面列举几种通常有效的估计方案，这里作了适当的改化。在同=ko"时，权因子均为

1,0■为观测权中误差，攵为倍数。

(1)经典的最小二乘估计(LS)

极值函数：=y(4)

权因子：1,权与q无关等价权：prl=pt

⑵绝对和极小(LAS)或称一次范数最小极值函数：夕⑷)=(5)

权因子：叫卜回必必曾

等价权：匕•=〃,◎=p,曾

(3)Huber估计

与，同<心

极值函数：夕(卬=22⑹

1,闷<K。

权因子：

3(与)二胃味Kb

P.t\u\<Kcy

等价权：p=

ti胃M|AKb

(4)丹麦法

极值函数：P(与)=⑺

同

-(K2CT2+Kb同exp(+1),国之Kb

1,同<Ka

权因子：0)(0,)=奇)5-妙Ml"

BM|<KO

等价权：?二吐膏…黑

(5)IGGI方案

极值函数：夕(巳)二Kb同,W”(8)

C\o\>y(y

1,间<Kb

彳孑，Kb0Wo

权因子：<y(t>,)=

O，|*W

Pt\u\<KG-

管•丹,KoW何区w

等价权：Pti=

。，同之W

抗差方案的选择IGGI方案:

从上节列举的几种估计方案看，一个有效的抗差方案应作如下考虑:有一界限K。,回|

在限内采用最小二乘法，权因子为1;限外权因子随向的增大由1逐渐减小。绝对和极小的最

简单情形联系于中位数，正负余差权之和相等。观测变动.只须保持余差符号不变,解不受影响,

因此具有优越的抗差性。抗差理论证明，它的影响函数（Influencefunclion）绝对值不变（不因粗

差而异）:其崩溃污染率（Breakdownpoint）为权大值1/2（污决率在此限内.估佰在界内）。这和最

小二乘解（平均值）相比,具有明显的优越性。但由界限现代测量平差与数据处理理论的进展

向内，权因子由1无限增大，这与观测权大大不符。从测量误差理论来看，界限Kb之K可

取1.5（按正态分布,误差在±1.5。以外的概率仅为0.13）,限外之观测既不能完全否定，又要限

制其有害作用，采用抗差权因子

1+4

(0=

1+/

Ko

以除低观测权是可取的。式中〃取正值。当余差超出±2.5o"时，（正常模式卜.，概率为0.01）,

在观测模式可用的情况下,不应作为观测信息，即取口=0（从抗差估计看,粗差也不能过

大）。如按绝对和方案（5）,当|M=2.5。时，仅达3/5,权因子缩小嫌慢。丹爰法权因子采用

exp（l-且），且在叠代计算中累乘因子，没有抗差上的论证，它实质上是淘汰法。

综上所述,余差在±1.5。以内，采用原观测权，即此段用最小二乘法；±2.5b以外,观

测不用，即淘汰法;在±1.5。~±2.5。之间（包括±2.5））,按绝对和极小取权因子

0—作为抗差方案，这个方案就是IGGI方案。［09］

\u\/Ka

2.2关于数据融合

大地测量观测数据类型越来越多，有距离观测、方向（或角度）观测以及点的位置观测等,

由于观测仪器、观测时间、观测方案不同，即使是同类型观测，也可能造成观测量间不相容。

综合处理各类大地测量观则信息有多种模式,如序贯平差法［1］、整体平差法等。无论采用哪

种平差方法,都涉及观测信息的函数模型和随机模型的构造与选择问题，同时还涉及数据融

合的方式问题，即基于观测信息的融合或基于导出观测量（伪观测量）的融合。一般情况下，

基于独立观测信息的融合是一种较为严密的融合。在实践中，大地测量数据融合经常需要虑

函数模型误差和随机模型误差,如在2000中国GPS大地控制网数据融合中，不同等级的GPS

观测函数模型顾及了函数模型误差（如基准差、地壳形变误差、轨道误差等），在多时段、多

等级的GPS观测信息的融合中，采用了顾及各类随机模型误差的方差分量估计［10,11］。

2.2.1观测信息的融合

2.2.1.1基于观测信息的融合

在进行观测信息的融合时,可以分别考虑函数模型和随机模型误差。现考虑两类观测信

息和，相应的权阵为《鸟,Z2为相应的协方差矩阵，其误差方

L2

程分别为：

V^A.X-L.(1)

V2=A2X-L2(2)

式中,X为txi待估参数向量;A、A2分别为。、4的设计矩阵;X、匕为。、乙2的残差

向量;乙、％的维数分别为々、/。式(1)和式(2)的参数解为：

x=({[A+{2A2尸依飞4+用鸟4)⑶

验后协方差矩防为：

(4)

=-LLJ~(5)

〃]+4-/

2.2.1.2具有函数模型误差的观测信息融合解

若考虑L1有系统误差，则可以对其函数模型进行改进，印

K=4X+4S—4(6)

式中,S为模型系统误差;B1为相应的系数矩阵。

对式(2)和式(6)求解，则待估参数向量解为：

X_A：4A+A；64父6左A'/^+A；鸟4

⑺

s=8"B；叫B：PL

2.2.1.3具有随机模型误差的观测信息融合解

若考虑观测向量4、心的随机模型误差，则

5；%-2仃(N-NJ+lrlN-'NiN-iNJ1个一凡旷凡),匕飞乂

兄tr(N-'N]N-'N)n?—2fr(N7N?)+tr(N-'NzN-ND匕仍匕

⑻

式中,N=+&■54；M=M=川64。解得党和无后，重新调整(L?

的权：

中用=〃:/吐，沙旬="/尤

若考虑观测函数模型误差，在估计正常模型

参数X的基础上，同时解算模型系统参数S，采用

方差分量估计调节。、右的权阵，此时，方差分量

估计式与式(8)相同，只是其法方程矩阵不同，即

耳［4B；呐

N=A*AA"冽N=A；6&o

12

B；PAB；P}B}00

2.2.2各类观测信息平差结果的融合

2.2.2.1最小二乘融合解

假设由观测方程(1)和(2)单独求解，其参数估值及相应的验后协方差矩阵分别为:

乂口儿印厂父也(10)

(11)

•武(12)

£%=(川24尸・或(⑶

基于乙、的单独平差结果的观测方程为：

L2

L=X—X「心£：(⑷

匕2=X-X2,PX2=Xt(⑸

其融合解为：

}

x=(pXi^pX2y(Pxx^pxx2)(16)

当忽略嫌和。；2的差异时，基于观测信息的融合解式⑶与基于观测信息的单独平差结

果的融合解式(16)是等价的。

若考虑有系统误差,其误差方程仍为式⑹.则系统误差S对X,的影响为：

\Xx=-^PxA}y^P^S(17)

对残差的影响为：

△匕=-4(4714尸4耳旦5(18)

当忽略S对的影响，系统误差S对最小二

乘融合解的影响为:

的=-(仁+笈)一可的5(19)

若考虑L,有随机模型误差)其误差方程可采用方差分量估计重新标定L］、L2的方

差因子及其相应的权阵。关于联合平差的方差分量估计己有现成的结果［2-6］。这里仅给出常

用的Helmert方差分量估计公式仍为式(1),则随机模型误差对右的平差结果X,的影响为：

AX,=J(L,—/AJXJ)(20)

对X的协因数的影响为：

AQXI=-JA.QX］(21)

式中”=ZA(»AQxA.尸：册=(尸。

△Xi对最小二乘融合解的影响为：

与=［(笈+*)+%『［(笈+然)&+.)+入内］-［笈+笈「伏力+国乂2］

(22)

式中，△1为对虚拟观测量X的权阵的影响量。如果同时考虑s、4Zi对参数估值

X)及其协方差的影响，将给实际计算带来极大困难。因为当。含有系统误差时，会对平差结

果X,有影响，虽对其协因数无影响，但对方差因子有影响，从而对验后协方差矩阵有影响。

当L.有随机模型误差时，对平差结果X1及其协方差都有影响，而且它们的影响是交叉的、不

可分离的。

2.22.2具有函数模型误差的平差结果的融合

假使L,的平差结果含有模型误差，则相应的观测方程为:

%=X+R,S-X.(23)

A|IAxjI

式中,S%为模型系统误差:K为相应的系数矩阵。基于式(23)和式(15)的最小二乘融合解为:

P+PyPR.

XAxIA-yAx।IPx、X、+Px,X

(24)

S%R：Px,R；PxRR「PxK

比较式(7)和式(24)不难发现，这两种顾及函数模型误差的融合解一般是不等价的。当观

测信息含有系统误差时,基于观测信息的融合解比基于平差结果的融合解更合理，因为基于平

差结果的融合模式中无法分别考虑各观测信息的系统误差，即观测信息的系统误差已混叠到

最后的平差参数中,即使在平差参数的观测方程中可以估计系统误差，但此时的系统误差已是

各种误差的结合，其估计及控制效果都不如直接基于观测信息的融合。

222.3具有随机模型误差的平差结果的融合

一般情况卜.，各类观测信息的内符合精度较高,因而导致各类观测平差结果的协方差矩阵

过于理想，于是基于平差结果X,(i=1,2))及其Px

-，

端J-2"(N-&)+EN-4M2)tr(N-W)V^PxVXi

cr*""(N-PxN-'PX)t-2tr(N-iP)+次(旷8N-1P)V；PV

AX、A1A2z、Ax2x、A2人X,，八，入x2八x2

(25)

式中,N=&+P

A1八X2

比较式(8)和式(25)不难发现:①尽管二者都是Hehnert严密方差分量估计解，但由于二者

基于不同的随机变量，则解一般不等价;②基于观测信息的残差二次型一般远大于基于参数平

差值的残差二次型;③基于参数平差值融合的方差分量估计解容易造成式(25)的法方程矩阵

的对角线元素为负，甚至造成负方差现象。【12】

2.3关于非线性问题一非线性模型的参数估计

测量平差与数据处理所涉及到的误差模型基本上是两种:函数误差模型和随机误差统计

模型。随机误差模型主要用于观测值权的估计，这方面的内容将在专门的文献中论述。对于

函数误差模型，测量学上大致有两种情形：

1)结构关系模型即函数关系明确，模型误差由参数测量的不准确引起。例如，平面上三角形的

三内角和为180°,这一函数关系明确,模型误差由实际测量角误差产生。

2)相关关系模型即函数关系不明确,模型误差由函数关系、参数的数最及参数的测带误差引

起。例如,在确定GPS水准高程时，高程异常的拟合函数的选择带有主观性，函数关系不十分

明确。

对上述两类模型而言.只要二者的模型性质相同，参数的估计方法是基本一致的。在测绘

领域内，人们习惯于在线性空间内研究一些问题，因此绝大多数的非线性问题都是通

过转化为线性问题来解决的，尤其原因:①测量平差与数据处理中多数非线性模型的线性性较

强,模型中未知参数多有充分的近似值。基于这类模型的间接数据处理方法能够基本满足过

去乃至现在一些实际工作对数据处理精度的要求;②理论上尚未提供成熟而又适用的非线性

测量数据处理方法。测量平差与数据处理所涉及到的数学模型大多是非线性模型，对非线性

模型作线性化处理必然导致信息的损失和特征的改变［1］。随着测绘技术的进步和生产实践

的发展，既有的间接数据处理方法可能成为制约测量数据精度进一步提高的主导因素。因此

研究非线性模型空间内的测量平差与数据处理方法已成为当今测绘学科发展的迫切需要。

2.3.1非线性误差模型

231.1误差模型

上节已经提到测量学上所涉及的函数误差模型有两种情形。对于结构关系模型下的参数点计,

其数学模型如下：

L=/(a)+与0=1,2,=1,2,(la)

E(4)=0(lb)

Cov(e)=^(r)(lc)

式中，f表示非线性函数关系,L,是观测量，可能含有随机误差，小粗差及可变系统误差，考虑

到粗差的随机特性及系统误差的二象性【13】,因此认为c是由L’Li引起的随机误差分量;/

对《没有贡献。模型(la)~Uc)用于估计非随机参数勺的或然值。对于相关关系模型下的参数

点估计，测量数据处理上称为回归拟合或数字逼近。其数学模型如下：

X=/(七十4；4)+s+0(/=1,2,...〃;J=1,2,...〃。(2a)

E(e,)=O;E(与)=0(2b)

Coy(e)=2⑺(2c)

式中，/是非线性映射关系;是直接观测量;s是模型误差效应，主要由/引起;随机误差

《主要由其贡献，《主要由再产生，可根据实际情况决定是否考虑其影响.模型(2a)~(2c)用于

估计误差模型中未知参数区,so

2.3.1.2随机误差模型假设

式(lc)、(2c)中Z")是由方差一协方差构成的线性或非线性正定对称矩阵,r是含在2(厂)

中的未知参数。当z(一)退化为X时,随机误差模型呈线性形式。从测量误差统计的观点

来看,z大致有如下几种情形：

(|)2=。2/I表示单位矩阵，式中子样观测值是相互独立的，且观测误差服从相同的概率分

布,即等精度独立观测。

⑵Z=«diag他R,…，P")或Z=b"：，…后晨)

式中子样观测值是相互独立的，观测误差或组间观测误差不服从同一母体分布，即观测精

度不等，组内观测精度相同。

Q\I巧2。12…a\nQ\n

(3)〉：=•••……•••

^>n\Q)n\%2。血2…nQrnn

上式表明子样观测值是相关观测值，观测精度不等。此时(la)、(2a)中的“应写成：

令二。+7(3)

多为相关部分，小是独立的随机部分。对于其部分延流模式为：

§=十%

〃厂N(0,b2),〃为延流比。(1)、(2)两种情形属经典意义下的随机误差模型,(3)属广义意义

下的随机误差模型。误差假设的合理性可能通过对现有的数据进行残差分析和诊断分析作出

评价。

2.3.2相关抗差估计准则

迄今，最小二乘法在参数(包括随机参数和非随机参数)估计中使用频率最高。其目标函数

为：

RSS⑹=£闻凹一/(七0)]2=minRSS(O)(5)

I

式中用是大于0的权数，如果)，广了(々。)是相互独立的N(0,b39.),则。是。的极大似然

估计。对于⑸式,如果①是线性函数或可线性近似的非线性函数时，参数估计量(不是

估计值)具有无偏性、一致性和有效性;②，区。)为强非线性函数时，参数估计必须经过迭代

求解,参数的估计量具有有偏性。但最小二乘法存在两个明显缺陷：

⑴年的影响函数是个无界函数,崩溃点£(/)=()即LSE对观测数据中哪怕是唯一的粗差十

分敏感，并导致结果不可靠。

⑵观测量或参数之间存在相关关系，即出现共线性时，设计矩阵X的列向量线性相关,XrX

奇异或接近奇异，此时LSE的精度很不稳定。实践中:①模型误差是普遍存在的;②均值漂移

模型或方差扩大模型下的粗差处理都有其局限性;③测显数据多是时序样本值。因此,为克服

最小二乘法的两个缺陷相应地找到了两种处理途径:稳健估计和有偏估计。

23.2.1稳健估计

稳健估计被设计为基本假设有误差或基本数据受扰动时，估计工作仍然良好。七十年

代,P.J.Huber提出了一类极有影响的Robust估计方法一M估计。其核心思想是：

Zp(Zj)/cr=min(6)

1

式中,0是连续的凸函数口是标量因子,p(Zj)有选权迭代和P-范数最小法两种不同

的形式，对应着两种不同估计准则。针对(1)、(2)两类参数估计模型，按P-范数最小法求解较为

实用。

，r〃

Z2(2)=工用向「=min,l</?<2,6yz>0(7)

1

取p=1即为I-范和最小准则或。估计准则，对方差估计和非随机未知参数估计均适用。如果

给定的约束条件为线性方程，则通用的算法是单纯形法【14】；如果给出的约束条件为非线性

方程，则通常采用迭代求解。结合(1)、(2)和(7)式并令有

0/min£°M

I(8)

A

s.t.u,=

式中他表示观测值的权，由(lc),(2c)确定;其它参数的意义同前。理论上，。估计值不唯一,且

缺乏验后统计特性，而实际上只要算法适当，可保证。估计的唯一性及估计量的无偏性。

23.2.2有偏估计

有偏估计设计为当观测值之间或模型参数之间存在相关关系时，参数的估计量仍有较高

的准确度。参数估计的准确度用均方误差表示如下：

s/A-"C°v(X))卜")T

^5E(X)=——一-—⑼

适当增加偏差P.换取方差。更多的减少，从而使偏差和方差的总影响减小。这里尸反映系统

误差;Q反应随机误差。此时均方误差体现准确度的函义。1970年A.E.Hoerl&R.W.Kennard

提出了一种著名的有偏估计方法一RidgeEstimation(岭估计)。其基本思想是:设有非线性模型

L=F(X)+A,A-W,O-27)

依据均方误差和最小准则

AA八八

SMSE=fn{Var(X：)+［历成(X)］2}=E(%-X)r(X-X)=min(10)

用迭代法求得参数的估值x°(1。)式中x为参数的有偏估计，x为参数的真值，一般未知。

实际计算时，一般认为X,』是比X：更接近真值的准真值。

232.3相关抗差有偏估计

测量数据中往往是既存在样本粗差或残余样本粗差，又存在样本之间或模型参数之间

的相关性。如果单以匕范数和最小或者SMSE和最小准则为依据估计参数，势必不能同时克

服最小二乘法的两个弱点，对于线性模型，文献［15］提出相关抗差.主特征根估计法,对于非

线性模型，本文提出以SMSE,LAS为非线性多目标优化极小为准则，即在(8)式的基础上加上

目标条件：

SMSE=E(XX)「(XX)(11)

式中参数意义与(10)式同。由于(8)式中的约束函数不作线性化,目标函数必须通过迭代求解。

2.3.3非线性目标函数的迭代解

在数学领域迭代算法有比较成熟的理论，提的算法较多。针对具体的测量问题，应根据

非线模型(随机非线性误差模型在此不作讨论)的不特点采取相应的迭代方法并加以改造。对

于测量差中的多参数关系型函数模型，由于模型中未知数多有充分的近似值，这种近似值可以

是历史据也可以是粗略的观测值，采用Gauss-Newto迭代法效果好，收敛快。对于测量数据回

归分析的少数相关关系模型，因缺乏初值的先验信息，用最速下降迭代法较为有利。不失一般

性，将(8)式变化为

/《)=£可闻=|咳(X)-WL|=min(⑵

(12)式中R(X)是函数向量.W是权向量,L是测值向量撮速下降法要求函数F(<)在迭代点

的负梯度方向获得最快下驿，因此沿直线搜索第％+1次迭代点X(z)即：

X“，”=x(k—NF(X”))(13)

(13)式中“Tk为步长因子，应使它满足

F(X(k)-r.VF(X(^))<(Xu>)(14)

于是构成自由极值函数：

(k)(i)

F(X-rAVF(X))=min(15)

(13)、(15)式为最速下降法的基本解式。对于(12)式，尸(X)在X*)处的梯度为：

▽F(X(”=更凶■=W

axx=x%

将(16)式代入(15)得:

(k)(i)

F(X-vkxVVxB,)=|wy,(X-rkxWxBk)-Wl]=min(17)

(17)式对“求导并令其为零，化简得：

20(18)

由(18)式可解得以。最速下降法的算法步骤如下:①设女=0,首先由外部提供一初值;②生成方

向，确定向量▽/(X.)作为当前这一步的方向;③直线搜索，确定正比例步长因子”;④判

断是否满足迭代终止目标、如果满足厕将X("