苏教版高二数学宝典-等比数列要点梳理与解题技巧深度解析

苏教版高二数学宝典_等比数列要点梳理与解题技巧深度解析一、引言在苏教版高二数学的知识体系中，等比数列是数列这一板块的重要内容，它与等差数列共同构成了数列知识的核心框架。等比数列不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际生活和其他学科领域中也有广泛的应用。深入理解等比数列的概念、性质和解题技巧，对于高二学生学好数学，提升逻辑思维能力和解决实际问题的能力都有着至关重要的作用。本文将对苏教版高二数学中等比数列的要点进行全面梳理，并深度解析其解题技巧。二、等比数列的定义与基本概念（一）定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母\(q\)表示（\(q\neq0\)）。用数学语言表示为：对于数列\(\{a_{n}\}\)，若\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)（\(n\inN^{}\)，\(q\)为常数且\(q\neq0\)），则\(\{a_{n}\}\)是等比数列。例如，数列\(2,4,8,16,32,\cdots\)，因为\(\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=\frac{32}{16}=2\)，所以该数列是公比\(q=2\)的等比数列。（二）等比中项如果在\(a\)与\(b\)中间插入一个数\(G\)，使\(a\)，\(G\)，\(b\)成等比数列，那么\(G\)叫做\(a\)与\(b\)的等比中项。根据等比数列的定义可得\(\frac{G}{a}=\frac{b}{G}\)，即\(G^{2}=ab\)（\(ab\gt0\)），所以\(G=\pm\sqrt{ab}\)。例如，\(2\)和\(8\)的等比中项\(G=\pm\sqrt{2\times8}=\pm4\)。需要注意的是，只有同号的两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数。三、等比数列的通项公式与性质（一）通项公式设等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，公比为\(q\)，则其通项公式为\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)（\(n\inN^{}\)）。推导过程如下：根据等比数列的定义，\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q=a_{1}q\cdotq=a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q=a_{1}q^{2}\cdotq=a_{1}q^{3}\)，以此类推，可得\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)。通项公式的变形：\(a_{n}=a_{m}q^{n-m}\)（\(n,m\inN^{}\)），这一变形在已知等比数列中某一项和公比，求其他项时非常有用。例如，已知等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=12\)，\(q=2\)，则\(a_{5}=a_{3}q^{5-3}=12\times2^{2}=48\)。（二）性质1.若\(m+n=p+q\)（\(m\)，\(n\)，\(p\)，\(q\inN^{}\)），则\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)证明：设等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，公比为\(q\)，则\(a_{m}=a_{1}q^{m-1}\)，\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)，\(a_{p}=a_{1}q^{p-1}\)，\(a_{q}=a_{1}q^{q-1}\)。所以\(a_{m}a_{n}=a_{1}^{2}q^{m+n-2}\)，\(a_{p}a_{q}=a_{1}^{2}q^{p+q-2}\)，因为\(m+n=p+q\)，所以\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)。例如，在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{2}a_{6}=16\)，因为\(2+6=4+4\)，所以\(a_{2}a_{6}=a_{4}^{2}=16\)，则\(a_{4}=\pm4\)。2.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，每隔\(k\)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，公比为\(q^{k+1}\)例如，等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比为\(q\)，则\(a_{1}\)，\(a_{k+1}\)，\(a_{2k+1}\)，\(\cdots\)构成的新数列，其公比为\(\frac{a_{k+1}}{a_{1}}=\frac{a_{1}q^{k}}{a_{1}}=q^{k}\)。3.若数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)均为等比数列，则\(\{a_{n}b_{n}\}\)与\(\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}\)（\(b_{n}\neq0\)）也为等比数列设数列\(\{a_{n}\}\)的公比为\(q_{1}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的公比为\(q_{2}\)，则\(\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_{n}b_{n}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\cdot\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=q_{1}q_{2}\)，所以\(\{a_{n}b_{n}\}\)是公比为\(q_{1}q_{2}\)的等比数列；同理\(\frac{\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\cdot\frac{b_{n}}{b_{n+1}}=\frac{q_{1}}{q_{2}}\)（\(q_{2}\neq0\)），所以\(\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}\)是公比为\(\frac{q_{1}}{q_{2}}\)的等比数列。四、等比数列的前\(n\)项和公式（一）公式推导设等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，公比为\(q\)，其前\(n\)项和为\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\)。当\(q=1\)时，\(a_{n}=a_{1}\)，则\(S_{n}=a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{1}=na_{1}\)。当\(q\neq1\)时，\(S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots+a_{1}q^{n-1}\)①\(qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}\)②由①-②得：\(S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\)，即\(S_{n}(1-q)=a_{1}(1-q^{n})\)，所以\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\)（\(q\neq1\)）。综上，等比数列的前\(n\)项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},&q=1\\\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q},&q\neq1\end{cases}\)（二）公式应用例如，求等比数列\(1\)，\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{4}\)，\(\cdots\)的前\(5\)项和。已知\(a_{1}=1\)，\(q=\frac{1}{2}\)，\(n=5\)，因为\(q\neq1\)，所以根据\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\)可得：\(S_{5}=\frac{1\times\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}=\frac{31}{16}\)五、等比数列的解题技巧深度解析（一）利用定义和性质解题在解决等比数列的问题时，要充分利用等比数列的定义和性质。例如，已知等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}a_{7}=64\)，\(a_{4}+a_{6}=20\)，求\(a_{10}\)。根据等比数列的性质\(a_{3}a_{7}=a_{4}a_{6}=64\)，又\(a_{4}+a_{6}=20\)，则\(a_{4}\)，\(a_{6}\)是方程\(x^{2}-20x+64=0\)的两个根。解这个方程\((x-4)(x-16)=0\)，得\(x=4\)或\(x=16\)。当\(a_{4}=4\)，\(a_{6}=16\)时，\(q^{2}=\frac{a_{6}}{a_{4}}=4\)，则\(q=\pm2\)。若\(q=2\)，\(a_{10}=a_{6}q^{4}=16\times16=256\)；若\(q=-2\)，\(a_{10}=a_{6}q^{4}=16\times16=256\)。当\(a_{4}=16\)，\(a_{6}=4\)时，\(q^{2}=\frac{a_{6}}{a_{4}}=\frac{1}{4}\)，则\(q=\pm\frac{1}{2}\)。若\(q=\frac{1}{2}\)，\(a_{10}=a_{6}q^{4}=4\times\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\)；若\(q=-\frac{1}{2}\)，\(a_{10}=a_{6}q^{4}=4\times\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\)。（二）错位相减法求前\(n\)项和当等比数列与等差数列对应项相乘构成的新数列求前\(n\)项和时，通常使用错位相减法。例如，求数列\(\{n\cdot2^{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)。\(S_{n}=1\times2^{1}+2\times2^{2}+3\times2^{3}+\cdots+n\times2^{n}\)①\(2S_{n}=1\times2^{2}+2\times2^{3}+\cdots+(n-1)\times2^{n}+n\times2^{n+1}\)②由①-②得：\(-S_{n}=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}-n\times2^{n+1}\)其中\(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\)是首项为\(2\)，公比为\(2\)的等比数列的前\(n\)项和，根据等比数列前\(n\)项和公式可得\(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}=\frac{2(1-2^{n})}{1-2}=2^{n+1}-2\)。所以\(-S_{n}=2^{n+1}-2-n\times2^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2\)，则\(S_{n}=(n-1)2^{n+1}+2\)。（三）方程思想的应用在等比数列中，通常涉及到首项\(a_{1}\)、公比\(q\)、项数\(n\)、第\(n\)项\(a_{n}\)和前\(n\)项和\(S_{n}\)这五个基本量，只要知道其中的三个量，就可以通过等比数列的通项公式和前\(n\)项和公式列出方程（组），求出另外两个量。例如，已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=2^{n}+k\)，求\(k\)的值。当\(n=1\)时，\(a_{1}=S_{1}=2+k\)；当\(n\geq2\)时，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}+k-(2^{n-1}+k)=2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}\)。因为\(\{a_{n}\}\)是等比数列，所以\(n=1\)时也应满足\(a_{n}=2^{n-1}