江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x|lnx−1A．1,3 B．−∞,3 2．设z=2i5+A．−1−i B．−1+i3．“双曲线C:x2a2−yA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知随机事件A,B互相独立，满足PA+B=3A．516 B．1116 C．11205．三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCDA．12 B．32 C．556．函数fx=−12x2A．2,103 B．2,+∞7．已知圆C:x+42+y+32=1及A0A．0,4 B．4,6 C．8．已知定义在0,1上的函数fx满足：∀x∈0,1，都有f1−xA．18 B．116 C．132二、多选题9．已知函数fx=xA．fπ+f0C．当x∈N时，fx<f10．已知二项展开式1−2xA．a1=−C．a0+a11．一个封闭的直三棱柱容器ABC−A1B1C1内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为α，AA．水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形B．水面可能是正三角形C．当α经过C时，α与面A1BD．当逆时针旋转90°时，水面的面积为三、填空题12．已知x＞0,y＞0，13．已知O是坐标原点，抛物线C:y2=4x的焦点是F，过F的直线与C交于M,14．小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字1，2，3，4，现随机抛掷，记录每次朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次．设这几次记录的最大数字为X，则PX=2=四、解答题15．为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了2025年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数y（百万）与第x个月的数据：x（月份）12345y（人数）23578(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；(2)该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：性别不关注赛事关注赛事男性120380女性80420请依据小概率值α=参考公式：b=i=1nxiα0.0500.0100.001x3.8416.63510.82816．已知函数fx(1)求fx(2)若∀x∈0,+17．如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，A(1)求证：AO⊥B(2)若BC=OA=2OB，AA18．某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到．(1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；(2)设该班乙同学家长收到通知的次数为X，求X的分布列及数学期望；(3)设两次都收到通知的人数为变量Y，则Y的可能取值有哪些？并求出Y取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由．19．已知椭圆G:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为2(1)求椭圆G的方程；(2)求动点P的轨迹方程；(3)过P点作椭圆G的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研数学试题》参考答案题号12345678910答案ABCACBDBBCACD题号11答案ABCD1．A【分析】根据对数的性质化简集合A，结合一元二次不等式的解集及集合并集的概念即可求解.【详解】∵A=x|∴A∪故选：A.2．B【分析】先根据复数的运算法则求复数z，再根据共轭复数的概念求z.【详解】z=2i5+i10=2i所以z=−故选：B3．C【分析】根据双曲线的渐近线夹角为π3求出a【详解】双曲线C:x2所以3a=tanπ6=3“a=3或a=故选：C4．A【分析】根据独立性PAB=PAPB【详解】因为随机事件A,B互相独立，所以则PAP=1解得PB=1116，PB故选：A．5．C【分析】结合题意与面面垂直的性质得到线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和平面的法向量，利用二面角余弦值的向量求法求解即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，取BD的中点O，连接A

因为△ABD和△BC因为平面ABD⊥平面BCD，且AO⊂则以O为原点建立空间直角坐标系，设△ABD和△可得A(0,0,得到AB=(设面ABC的法向量为n=令x=1，解得y=易得面BCD的法向量为设二面角A−BC−D则cosα故选：C6．B【分析】求导，根据题意得−x2+kx【详解】函数fx定义域为0,+因为函数fx在区间1所以f′x=即−x2+所以k>x+1x又y=x+1x故选：B．7．D【分析】将“∠AMB＞π2”转化成MA根据x2+y2【详解】设点Mx,y，则M若满足∠AMB＞π2，则MA令t=x2+y2，则t表示点如图，当线段OM过圆心C时，OM最大，最大值为所以a的取值范围是6,故选：D.a

8．B【分析】在等式fx5=12fx中，令x=0求出f0的值，在等式f1−x+f【详解】定义在0,1上的函数fx满足：∀x∈所以f05=在等式f1−x+fx=所以f15=12f1625=在等式f1−x+fx=所以f110=12f1当0≤x1又因为13125<12025<故选：B.9．BC【分析】结合分段函数的解析式可判断AD选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用作差法可判断C选项.【详解】因为fx对于A选项，fπ对于B选项，当x∈Z时，−x当x∉Z时，−x所以，对任意的x∈R，f−对于C选项，当x∈N时，所以fx+1对于D选项，若x∉Z，则fx故选：BC.10．ACD【分析】令fx=1【详解】令fx对于A选项，1−2x其中0≤k≤2025，对于B选项，a0所以a1对于C选项，f1所以a0对于D选项，f′故2a故选：ACD.11．ABCD【分析】找到临界情况，利用等体积、体积转化，分析此时的情况，逐个选项判断即可.【详解】A选项，水的体积V水VC所以当水面经过A1B1当水面经过点C时，水面与面A1则在此之前水面形状均为三角形，继续旋转直至90°转至90°B选项，初始位置，如图1，DE当水面经过A1B1所以C1F=所以在转动过程中，存在DEC选项，如图4，VC−DEC则S△DED选项，当逆时针旋转90°时，如图6，V且由于△DEC1与△A则水面的面积为S▭12．8【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解.【详解】x＞0,x+当且仅当xy=4xy故x=4,故答案为：813．2【分析】易知直线MN的斜率必不为0，故设直线MN：x=my+1.联立方程组y2=4xx=my+1，消去x并整理得y【详解】抛物线C:y2易知直线MN的斜率必不为0，故设直线MN：联立方程组y2=4xx设Mx1,y1，N设抛物线沿x轴翻折后点M到平面OFN的距离为h，则∴VM故答案为：2314．764【分析】求出X的可能取值和对应的概率，从而计算出期望值，得到答案.【详解】X的可能取值为1，2，3，4，X=抛掷3次，朝下的面上的数字共有43故PXX=分有1个2，2个2和3个2三种情况，故PXX=分有1个3，2个3和3个3三种情况，故PXX=4，抛掷1次，朝下的面上的数字为4，此时概率为或抛掷2次，第二次朝下的面上的数字为4，此时概率为34抛掷3次，第三次朝下的面上的数字为4，此时概率为34故PX故E故答案为：764，5515．(1)y(2)能，理由见解析【分析】（1）求出x、y的值，结合最小二乘法公式求出b、a，即可得出线性回归方程；（2）零假设H0:关注“苏超”赛事与性别无关，计算出【详解】（1）由表格中的数据可得x=1+所以b=a=故y关于x的线性回归方程为y=（2）零假设H0由表格中的数据可得χ2依据小概率值α=16．(1)极小值为fk=(2)−【分析】（1）对实数k的取值进行分类讨论，利用导数分析函数fx（2）对实数k的取值进行分类讨论，分析函数fx在0,+∞上的单调性，在k<0时，可得出f−2k【详解】（1）由题意可知k≠0，且所以f'当k<0时，x−kk−−f−0+0−f减极小值增极大值减此时，函数fx的极小值为fk=当k>0时，x−−−kkf+0−0+f增极大值减极小值增此时，函数fx的极小值为fk=综上所述，函数fx的极小值为fk=（2）当k<0时，由（1）可知函数fx在0若∀x∈0,+∞，都有fx此时−5当k>0时，由（1）可知函数fx在0因为f2与题设条件矛盾.综上所述，实数k的取值范围是−517．(1)见解析(2)6【分析】（1）由题知A1O⊥平面ABC，得到A1O⊥BC，结合BB1⊥（2）由A1O⊥平面ABC，则∠A1【详解】（1）连接AO并延长交BC于点D，连接因为A1在底面ABC所以A1O⊥平面A又因为侧面B1所以BB1⊥BC由于AO∩A所以BC⊥平面又因为AO⊂平面AA1O因为AB=AC，AD则AD为B所以OB因此，AO⊥B（2）由（1）知A1O⊥平面ABC则∠A1AO就是AAcos∠A1则A1∴OVB设点A到平面B1BCVA解得h=又易得AA1//所以AA1到平面B118．(1)1(2)分布列见解析，E(3)Y取到27的可能性最大【分析】（1）先求出甲同学家长未收到通知的概率，再利用对立事件概率公式求解；（2）确定X的可能取值，分别计算各取值的概率，进而得到分布列和数学期望；（3）先确定Y的可能取值，再根据超几何概率公式，结合作商法确定单调性，即可分析Y取到最大值的情况．【详解】（1）李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为2060王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为2060因为李老师和王老师发通知是独立事件，所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为13所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为1−（2）X表示乙同学家长收到通知的次数，X的可能取值为0，1，2，PXPXPX所以分布列为：X012P144期望EX（3）Y表示两次都收到通知的人数，Y的可能取值为20，21，22，…，40，设Y=k，则所以PY令PY=k所以k≤26时，k≥27时，又PY则PY所以k=则Y取到27的可能性最大．19．(1)x(2)x(3)为定值，证明见解析【分析】（1）利用椭圆的性质并结合题意建立方程，求出基本量，进而得到椭圆方程即可.（2）结合题意，设出点的坐标，利用CA=2PC得到x（3）设出切线方程并联立方程组得到(12+【详解】（1）因为椭圆