初中数学浙教版九年级上册34圆心角举一反三

3.4圆心角xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 3【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 6【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 9xixix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．1.（2024•霍邱县模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（）A．3B．3C．4D．4【答案】A【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接OC，OA，过O作OH⊥AB于H，过O作OQ⊥CD于Q，再利用垂径定理求解OQ=OH=3，再证明四边形OQEH是正方形，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：如图，连接OC，OA，过O作OH⊥AB于H，过O作OQ⊥CD于Q，∵AB=CD=8，∴CQ=1∵OC=OA=5，∴OQ=O∴OQ=OH，∴AB⊥CD，OQ⊥CD，OH⊥AB，∴四边形OQEH是正方形，∴OH=EH=3，∴OE=3故选：A．【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算【典型例题】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】A【解析】∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．【举一反三1】如图中是圆心角的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵∠AOB是圆心角，∴∠AOB的顶点为圆心O．故选C．【举一反三2】图中是圆心角的是（）A.

B.

C.

D.

【答案】B【解析】A为圆周角，不符合题意；B是圆心角，符合题意；C不是圆心角，不符合题意；D不是圆心角，不符合题意；故选：B.【举一反三3】将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为

．【答案】200°【解析】最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°．故答案为200°.【举一反三4】如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE=

.【答案】36°【解析】设∠AOE=2x，则∠BOC=∠COD=∠DOE=x，∵∠AOB是平角，∴∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°，∴x+x+x+2x=180°，∴x=36°,∴∠DOE=36°.故答案为36°.【举一反三5】如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．【答案】解：（1）；∵，，，∴.（2）∵，，，，∴，∴.【举一反三6】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？

【答案】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，

由图可得：，，∴，故，即所对的圆心角为．【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算【典型例题】如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（

）A.B.2C.D.【答案】B【解析】如图所示，在上取一点F，使得，连接，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：B．【举一反三1】如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（

）A.B.1C.D.【答案】C【解析】如图，连接，,,又，,即，,，，∴，，∴，，，∵，即，解得，∴，故选：C．【举一反三2】如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且．若∠COD=40°，则∠ADO=____________度．【答案】30【解析】∵，，∴，∴，又，∴，故答案为：30．【举一反三3】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．(1)已知，，求圆O的半径；(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．【答案】解：（1）连接，如图，设的半径为，则，，平分，，，在中，，解得，即的半径为；（2）连接，如图，，，即，，，在中，，，，，，即弦所对的圆心角的度数为．【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明【典型例题】如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（

）①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE.A.①④B.②③C.②③④D.①②③④【答案】B【解析】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，∴CE=DE，，，∴∠BOC=2∠A=40°，，即，故③正确；∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，∴∠C=50°，故②正确；∵∠C≠∠BOC，∴CE≠OE，故①错误；作OP∥CD，交AD于P，∵AB⊥CD，∴AE＜AD，∠AOP=90°，∴OA＜PA，OE＜PD，∴PA+PD＞OA+OE，∵OE＜OA，∴AD＞2OE，故④错误；故选：B．【举一反三1】如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（）

A.B.C.D.【答案】B【解析】A、∵点A是中点，∴，∴，无法得出，故选项A错误；B、如图：连接，∵，∴，∵，∴，∴，故此选项正确；C、∵，∴，故选项C错误；D、无法得出，故选项D错误．故选：B．

【举一反三2】如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（）

A.AB+CD＝EFB.AB+CD＜EFC.AB+CD≤EFD.AB+CD＞EF【答案】D【解析】如图，在弧EF上取一点M，使，

则，所以AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，所以AB+CD＞EF，故选：D．【举一反三3】判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．

（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．

（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．

（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．

【答案】（1）真命题（2）假命题（3）真命题（4）假命题【解析】对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假