专题85椭圆（举一反三讲义）

专题8.5椭圆（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1椭圆的定义及其应用】 4【题型2椭圆的标准方程】 5【题型3曲线方程与椭圆】 8【题型4轨迹问题——椭圆】 9【题型5椭圆的焦距与长轴、短轴】 11【题型6椭圆中的焦点三角形问题】 13【题型7求椭圆的离心率或其取值范围】 15【题型8与椭圆有关的最值问题】 18【题型9椭圆的实际应用】 211、椭圆考点要求真题统计考情分析(1)理解椭圆的定义、几何图形、标准方程(2)掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)(3)掌握椭圆的简单应用2023年新高考I卷：第5题，5分2023年全国甲卷（理数）：第12题，5分2023年北京卷：第19题，15分2024年新高考I卷：第16题，15分2024年新高考Ⅱ卷：第5题，5分2025年全国一卷：第18题，17分2025年全国二卷：第16题，15分2025年北京卷：第19题，15分椭圆的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点内容.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；对于解答题中椭圆的考查，椭圆方程的求解往往在解答题的第一小问中考查，复习时要加强这方面的训练.与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.知识点1椭圆的方程及其性质1．椭圆的定义2．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：椭圆在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的关系3．椭圆的顶点与长轴、短轴(1)顶点令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.这说明A1(a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.(2)长轴、短轴4．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.(2)离心率的范围：0<e<1.(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.知识点2椭圆方程的求解方法1．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程(2)用待定系数法求椭圆的标准方程①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.知识点3椭圆的焦点三角形1．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L=2a+2c.知识点4椭圆离心率或其范围的解题策略1．求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.知识点5椭圆中的最值问题的解题策略1．椭圆中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型1椭圆的定义及其应用】【例1】（2025·广西南宁·二模）已知F1,F2分别是椭圆M:x216+y25=1的左、右焦点，A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解题思路】根据椭圆的定义可得|PF【解答过程】由椭圆M:x216+y因为F1,F2分别是椭圆M:x所以|PF1|+|PF2故选：C.【变式11】（2025·山西晋城·二模）已知F1,F2分别为椭圆C:x29+yA．PF2=2F1C．PF2=F【答案】D【解题思路】根据椭圆的定义可得PF1+PF2=6，结合P【解答过程】由题意可知，F1−2,0，F2由椭圆的定义可知，PF1+PF2=6所以PF故选：D.【变式12】（2024·江西·模拟预测）已知F1,F2是椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点，过FA．23 B．3 C．22【答案】B【解题思路】利用椭圆的定义可得AB+【解答过程】由椭圆的定义，知AF所以AF1+又AF2+故选：B.【变式13】（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆C:x24+y2m=10<m<4的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为M，点NA．1 B．2 C．3 D．3【答案】D【解题思路】根据椭圆的定义求解即可.【解答过程】依题意，MF2=a−c，故N在△NF1F2中，F1故2a−2c=2c，得a=2c，则m=a故选：D.【题型2椭圆的标准方程】【例2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2A．x29+y2=1 B．x【答案】C【解题思路】根据椭圆的定义可得MF1=2a−2，C【解答过程】因为点M在椭圆上，MF2延长线交椭圆于另一点C，且所以MF1=2a−2，CF1所以MF12+CM所以MF1=2a−2=4则c=5，b所以椭圆方程为x2故选：C.【变式21】（2025·广西南宁·二模）已知A,B分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，直线x=a2c（c为椭圆E的半焦距）上存在点CA．x23+C．x24+【答案】B【解题思路】根据锐角三角函数，结合椭圆的性质即可求解CB=AB得【解答过程】如图：∠ABC=120∘,故BM=a2故CB=AB⇒2由于S△ABC故a=2,c=1，故b=a2−故选：B.

【变式22】（2024·山西太原·三模）已知点F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，△PF1FA．x224+y227=1 B．【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得.【解答过程】依题意，设椭圆C的方程为x2a2+y2b显然△PF1F2的内切圆与直线又S△PF1F2=12⋅2c⋅3=3c所以椭圆C的标准方程是x2故选：B.【变式23】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2，离心率为23，过点FA．x23+y2=1 B．y【答案】D【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出a的值，结合离心率求出b的值，即得椭圆方程.【解答过程】如图依题意，△MNF2的周长为解得a=3．设椭圆C的半焦距为c，因为椭圆C的离心率为23，所以e=ca所以b=a故椭圆C的标准方程为y2故选：D.【题型3曲线方程与椭圆】【例3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知方程x2k−2−y2A．2,3 B．3,4 C．2,4 D．2,3【答案】D【解题思路】根据方程表示椭圆列出不等式组得解.【解答过程】因为方程x2所以k−2>0k−4<0k−2≠4−k，解得2<k<3或所以实数k的取值范围是2,3∪故选：D.【变式31】（2025·湖北黄冈·二模）设abc≠0，“曲线ax2+by2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据ac>0判断必要性是否成立，进而确定“曲线ax2+b【解答过程】若曲线ax2+by2因为椭圆中分母须大于0，所以ca>0且cb>0，又因为abc≠0，那么ac>0且bc当ac>0时，比如a=b=1，c=1，此时曲线方程为x2+y所以“曲线ax2+b故选：A.【变式32】（2024·河南·模拟预测）若方程m+1x2+1−myA．−1<m<1 B．0<m<1C．−1<m<0 D．−1<m<0或0<m<1【答案】C【解题思路】利用已知条件，分析椭圆的标准方程，列出不等式，求解即可.【解答过程】方程m+1x2+因为方程x21−m+所以1−m>m+1m+1>0，解得−1<m<0故选：C.【变式33】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线C:x2m−1+y23−mA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解题思路】根据椭圆的标准方程，曲线C表示椭圆求解m的取值范围，再根据充分条件、必要条件进行判断即可.【解答过程】若曲线C:x2m−1+y23−m则“1<m<3”是“曲线C表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.【题型4轨迹问题——椭圆】【例4】（2025·四川成都·三模）已知动圆C与圆(x+1)2+y2=1外切，同时与圆(x−1)A．x29+y28=1 B．【答案】A【解题思路】分析出C1M+C2【解答过程】设圆(x+1)2+y2=1圆心C2且与圆C切于点P，圆(x−1)2由题意得：C1C=5−CQ，所以C1由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以C1,C则2a=6,c=1，解得：a=3,b故动圆圆心C的轨迹方程为x2故选：A.【变式41】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线x2+y22=1，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′A．9x24+y22=1 【答案】A【解题思路】设出点N的坐标，并表示出点P，再代入已知曲线方程即可.【解答过程】设点N(x,y)，由PP′⊥y轴于点P′，且PN=又点P是曲线x2+y所以点N的轨迹方程为9x故选：A.【变式42】（2025·江苏南京·三模）已知曲线C:x2+y2=8y>0，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′A．x28+C．y28+【答案】A【解题思路】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.【解答过程】设点M(x,y)，则P(x,y因为M为PP′的中点，所以y0又P在圆x2所以x2+4y即点M的轨迹方程为x2故选：A.【变式43】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为(−2,0),(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是−34，则点M的轨迹方程为（A．x216+C．x24+【答案】C【解题思路】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简.【解答过程】设M(x,y)，则由已知得kAM化简得x2故选：C．【题型5椭圆的焦距与长轴、短轴】【例5】（2025·福建泉州·二模）若椭圆x2a2+yA．3 B．6 C．26或3 D．23【答案】D【解题思路】分焦点在x轴或y轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a，再求椭圆的焦距.【解答过程】若椭圆的焦点在x轴，则离心率e=a2−3a=若椭圆的焦点在y轴，则离心率e=3−a23=所以该椭圆的焦距为23或6故选：D.【变式51】（2025·云南红河·三模）已知椭圆C:x2m2+y2A．10 B．210 C．2 D．【答案】B【解题思路】由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c=2，由椭圆中的平方关系可求得m的值，进而可求得长轴长.【解答过程】因为椭圆C的右焦点为F2,0，所以c=2，且焦点在x所以m2−6=4，解得m=±10，所以椭圆C故选：B.【变式52】（2025·海南·三模）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C:x2m2+A．2 B．263 C．23【答案】B【解题思路】由题意根据对称性得点12,12在C上，代入【解答过程】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线y=±x上，由于椭圆C在y轴上的两顶点间的距离为2，所以正方形的边长只能为1，因此点12,12在C上，代入C的方程得故C:x213+故选：B.【变式53】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C1:x2+y2b2=1(0<b<1)与椭圆C2:x2m2+y2A．5 B．25 C．26 【答案】B【解题思路】由离心率得到b2=n2m2，求出过C1左顶点A与上顶点B的直线方程，不妨设点N在x【解答过程】因为椭圆C1:x所以1−b2=椭圆C1:x2+又过C1左顶点A与上顶点B的直线方程为y=bx+b不妨设点N在x轴上方，过点N作x轴的垂线，则B为AN的中点，则N1,2b所以12m2+2b所以C2的长轴长为2m=2故选：B.【题型6椭圆中的焦点三角形问题】【例6】（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆E:x216+y212=1的左右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，过F1A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【解题思路】根据条件可得AB=【解答过程】由椭圆E:x216过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于B所以BC为线段AF的垂直平分线，得AB=则△ABC的周长为AB+故选：B.

【变式61】（2025·广东深圳·模拟预测）设F1，F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点，A．315 B．12 C．415 【答案】C【解题思路】由椭圆标准方程可得a=6，b=25，c=4，根据题意得MF1=F【解答过程】由椭圆C：x236+y220=1因M为C上一点且在第一象限，则M由△MF1F2为等腰三角形，则可得当MF1=此时△MF1F当MF2=综上，可得△MF1F故选：C．

【变式62】（2025·湖南永州·三模）已知椭圆E：x24+y23=1，点F−1,0，若直线x+λy−1=0（λ∈R）与椭圆E交于A．23 B．4 C．43【答案】D【解题思路】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长.【解答过程】椭圆E：x24+y2则点F(−1,0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1,0)，而直线AB:x+λy−1=0恒过定点(1,0)，所以△ABF的周长为4a=8.故选：D.【变式63】（2025·湖南永州·模拟预测）设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点AA．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【解题思路】先由题设求得a2=3t.b2=2tc2=t（【解答过程】由题AF2=b2∴b2a=2aP取上顶点时∠F1P∴∠F1PF2不会为直角，∴所以由对称性可知满足△PF1F故选：C.【题型7求椭圆的离心率或其取值范围】【例7】（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线y=kxk≠0与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A, A．32 B．12 C．53【答案】C【解题思路】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率.【解答过程】如图：

设F2B=t，则F2A所以2a=3t，2c=5所以e=c故选：C.【变式71】（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，直线AF1交A．34 B．14 C．13【答案】D【解题思路】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案.【解答过程】由题意，如图，P，D是内切圆与BF因为左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为由BF令CF1=所以BF所以2c−n+2c+n=2a，可得2c=a，故e=c故选：D．【变式72】（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是椭圆C上一点，若点A．13 B．23 C．12【答案】A【解题思路】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率.【解答过程】由F2关于∠PF1F2的角平分线l由椭圆的定义得PF2=2a−

在△PF1F由F1P⋅F1整理得：c2+2ac−79a2=0故选：A.【变式73】（2025·山东泰安·模拟预测）已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，M、A．0,23 C．0,32 【答案】B【解题思路】根据题意，结合椭圆的对称性可得Na2, t，则t=32b，设【解答过程】由题意知P(−a,0)，由OM=OP+ON知OPMN为平行四边形，则M、设M−a2, t，Na因为∠PON∈2π3, 5π所以tanα=ta∴e=c所以椭圆离心率的取值范围为0, 

故选：B.【题型8与椭圆有关的最值问题】【例8】（2025·山东威海·一模）已知F为椭圆C:y29+x25=1的上焦点，P为C上一点，A．1+25 B．3+25 C．5+25【答案】D【解题思路】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、a,c的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解7+PM−P【解答过程】由圆M方程得：圆心M4,0，半径r=由椭圆C方程得：a=3，c=2，设椭圆C下焦点为F′，则F由椭圆定义知：PF′+∵PQ≤PM∴PQ又PM−PF∴PQ+PF≤7+M故选：D.【变式81】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为FA．112 B．132 C．194【答案】D【解题思路】根据题目条件求椭圆C的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值【解答过程】设C半焦距为c，因为F1,0，故c=1又C过点P−32由椭圆得a2=b2+c2=b所以C的方程为x2设C的左焦点为F′−1,0，故根据椭圆的几何性质可知，QF由于两点之间线段最短，所以PQ≤因此PQ+当且仅当P，F′，Q故选：D.【变式82】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点为F1,FA．2 B．2 C．22 【答案】B【解题思路】由直线l:y=kx−1+2经过定点N1,2【解答过程】由椭圆C:x24因为点M为椭圆C:x24直线l:y=kx−1+2经过定点则MF当且仅当M在线段NF所以MF故选：B.【变式83】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆C:x24+y2=1的右焦点，P为C上一点，QA．5 B．5+23 C．3+23【答案】B【解题思路】由题意设椭圆的左焦点为F1(−3,0)，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当【解答过程】由题意知，F(3,0)，设椭圆的左焦点为如图，P为C上一点，Q为圆M:x2+PQ+当且仅当M,F所以PQ+PF的最大值为故选：B.【题型9椭圆的实际应用】【例9】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（

）A．13 B．25 C．23【答案】D【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为y2a2【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，设椭圆方程为y2令y=−c，即−c2a2+x所以a+c=110a2−c2故选：D．【变式91】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a

A．a1−cC．c2a1【答案】D【解题思路】根据图象可知PF=a1−c1=【解答过程】如图可知，∵a1−c1a1>a2，由a1>a2，a1+c2=即b12+2a1c2故选:D.【变式92】（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的角平分线）．已知椭圆C:x2a2+yA．74 B．34 C．154【答案】C【解题思路】作出辅助线，根据光学性质，得到点P处切线l与直线PF1,PF2均为π2−θ，求出点F1,F2到l的距离，结合椭圆的定义得到原点O【解答过程】如图，PM是∠F1PF2设∠F1P根据椭圆的光学性质，点P处切线l与直线PF1,P故点F1,F2到BF∵O为F1∴由梯形中位线性质得，原点O到点P处切线的距离为ON=1∴cosθ=12，故θ=又PF1=(∴4c2=4a2∴C的离心率为e=1−故选：C．【变式93】（2024·陕西西安·一模）已知农历每月的第t+1天（0≤t≤29，t∈N）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为x2r2cosA．农历每月第d（1≤d≤30，d∈N*）天和第B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2rC．月相外边缘的离心率与t无关D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间32【答案】D【解题思路】利用已知条件求出第d天和第30−d天的方程即可判断A，根据椭圆上点到焦点的距离的最大值为a+c，求出a+c的范围即可判断B，求出离心率e的表达式判断C，利用离心率e的表达式，求出农历初六至初八时的e的范围即可判断D.【解答过程】由方程x2r2cos2对于A：当t=d−1时，椭圆方程为当t=29−d时，椭圆方程为化简为x2r2对于B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：a+c=r=r=r=r=r因为0≤t≤29，t∈N所以sin2所以r1+对于C：月相外边缘的离心率为：e=ca=所以月相外边缘的离心率与t有关，所以C错误；对于D：农历初六至初八，即6≤t+1≤8时，即5≤t≤7，此时月相外边缘离心率：sin2π29因为10π29>π3，14所以32故选：D.一、单选题1．（2025·湖南·三模）已知曲线C:x26−t+y2t−2=1，设p:2<t<3，q：曲线C是焦点在A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是2<t<4，再进一步判断即可.【解答过程】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是6−t>0t−2>06−t>t−2，即所以当2<t<3时，2<t<4成立，所以p是q的充分条件，反之当2<t<4时，2<t<3不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．故选：A．2．（2025·湖南永州·三模）已知椭圆E：x24+y23=1，点F−1,0，若直线x+λy−1=0（λ∈R）与椭圆E交于A．23 B．4 C．43【答案】D【解题思路】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长.【解答过程】椭圆E：x24+y2则点F(−1,0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1,0)，而直线AB:x+λy−1=0恒过定点(1,0)，所以△ABF的周长为4a=8.故选：D.3．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆x29+y2b2=1，其右焦点FA．13 B．23 C．12【答案】A【解题思路】结合图形表示出|AF|,|AB|，借助于三角形的面积公式列方程求出c=1，利用离心率公式计算即可.【解答过程】由x29+y2则△BAF的面积为12解得c=1，则椭圆的离心率为e=c故选：A.4．（2025·江苏南京·三模）已知曲线C:x2+y2=8y>0，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′A．x28+C．y28+【答案】A【解题思路】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.【解答过程】设点M(x,y)，则P(x,y因为M为PP′的中点，所以y0又P在圆x2所以x2+4y即点M的轨迹方程为x2故选：A.5．（2025·河南·三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且AD=BD=1，CD=2，当∠ADB在变化时，点(b,c)总在椭圆x2m+A．6 B．62 C．32【答案】A【解题思路】首先根据cos∠ADB+cos∠ADC=0【解答过程】由cos∠ADB+cos∠ADC=0整理得b2即b29+故选：A.6．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆C:x24+y2m=10<m<4的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为M，点NA．1 B．2 C．3 D．3【答案】D【解题思路】根据椭圆的定义求解即可.【解答过程】依题意，MF2=a−c，故N在△NF1F2中，F1故2a−2c=2c，得a=2c，则m=a故选：D.7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2，离心率为23，过点FA．x23+y2=1 B．y【答案】D【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出a的值，结合离心率求出b的值，即得椭圆方程.【解答过程】如图依题意，△MNF2的周长为解得a=3．设椭圆C的半焦距为c，因为椭圆C的离心率为23，所以e=ca所以b=a故椭圆C的标准方程为y2故选：D.8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为FA．112 B．132 C．194【答案】D【解题思路】根据题目条件求椭圆C的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值【解答过程】设C半焦距为c，因为F1,0，故c=1又C过点P−32由椭圆得a2=b2+c2=b所以C的方程为x2设C的左焦点为F′−1,0，故根据椭圆的几何性质可知，QF由于两点之间线段最短，所以PQ≤因此PQ+当且仅当P，F′，Q故选：D.二、多选题9．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上位于第二象限的一点，F1(−2,0),F2(2,0)为C的左、右焦点，O为坐标原点，|OP|=2，∠A．点P在以F1F2为直径的圆上 C．椭圆C的方程为x27+【答案】AC【解题思路】由已知得出△POF2为等腰三角形，过点O作ON⊥PF2，垂足为N，由三线合一及中位线得出∠F1PF2=90°即可判断A；结合又PF1=λOM(λ>0)，得出点M,O,N【解答过程】由题可知，OF1=OF又|OP|=2，所以OP=过点O作ON⊥PF2，垂足为N，则N为PF又O为F1F2中点，所以ON//P又PF1=λ所以点M,O,N在同一直线上，MN又PQ平分∠F1PF2所以PN=MN，即a−x=x+1，解得2x=a−1，即PF在Rt△F1PF2中，所以△PF1F所以b2=a2−因为PF1=a−1=故选：AC．10．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆E：x225+y29=1A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为4C．1≤PF1≤9 【答案】BC【解题思路】由椭圆的方程可得a=5,b=3,c=4，即可判断AB；由a−c≤PF1【解答过程】对于椭圆E：x225+椭圆离心率为e=c点Px0,y0）是椭圆E由PF1⋅PF2=0则该圆方程为x2+y2=16则P574,94或P5故选：BC.11．（2025·广东惠州·模拟预测）动点P在椭圆C上，F1，F2为C的左、右焦点，直线PF1和直线PF2分别交C于点A，B，若△PAFA．椭圆焦距为3B．离心率eC．△PFD．PF1和【答案】BC【解题思路】由焦点弦三角形的周长为20得a=5，由C左顶点和上顶点距离为41得b=4，从而c=3，判断AB选项，由焦点弦三角形的面积判断C选项，由直线斜率公式和椭圆上的点满足椭圆的方程计算判断D选项.【解答过程】因为点P，A在椭圆上，所以PF1+故△PAF2的周长为解得a=5，因为左顶点和上顶点的距离为a2解得b=4，则c=a2−e=cS△P当点P位于y轴上时，△PF设Px,y，则x225因为F1−3,0，F23,0，所以故kP故选：BC.三、填空题12．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆x22m+y2m=1【答案】4【解题思路】根据椭圆的标准方程及椭圆的性质即可求解.【解答过程】∵椭圆x22m+∴m>0，c=2，∴a2=2m，b2=m，故答案为：4.13．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线y=2b3与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0【答案】2【解题思路】根据椭圆的对称性结合点在椭圆上计算求解.【解答过程】直线y=2b3与椭圆C:x2a2+则A−b,2b3,Bb,2b3所以C的离心率为e=c故答案为：2314．（2025·江西新余·模拟预测）已知F1，F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1与y轴的平行线与椭圆【答案】x【解题思路】根据椭圆的特点及定义求解即可.【解答过程】由题意，CD⊥x轴，且|CD|=10，则|DF由椭圆的定义知，2a=|DF2|+|D在Rt△DF1则c=6，所以b2所以椭圆E的方程为x2故答案为：x2四、解答题15．（2025·广西·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l:y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N，点Q4,0，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求实数m【答案】(1)x(2)m=−1【解题思路】（1）根据条件确定a,b,c的值，可求椭圆C的方程.（2）把直线方程与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2，x1x2，再表示出直线MQ【解答过程】（1）由题知a=2，且e=ca=又a2=b2+∴椭圆C的方程为x2（2）如图：

联立y=x+mx24由题意，Δ=64m2−80(m设Mx1,y1，N由kMQ+k即2x1即8(m2−1)−8m(m−4)−40m16．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点(1)求C的标准方程；(2)证明：直线AB的斜率为定值，并求出该值．【答案】(1)x(2)证明见解析，1【解题思路】（1）设F1(−c,0),F2(c,0)，根据题设得到(−c−2)(c−2)+1=−1，从而得到c=（2）设直线MA的方程为y−1=k(x−2)，直线MB的方程为y−1=−k(x−2)，联立直线MA与椭圆方程，消y得到(1+4k2)x2−8k(2k−1)x+16k2−16k−4=0【解答过程】（1）设F1(−c,0),F因为MF1=(−c−2,−1),所以(−c−2)(c−2)+1=−1，解得c=6又点M(2,1)在C上，所以4a2+1b所以C的标准方程为x2（2）设直线MA的方程为y−1=k(x−2)，直线MB的方程为y−1=−k(x−2)，由x28+y2所以xA+2=8k(2k−1)1+4k同理可得xB=8所以kAB即直线AB的斜率为定值，定值为1217．（2025·河南·模拟预测）已知长为3的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，动点P满足AP=12PB，记点(1)求C的方程；(2)若C与y轴非负半轴交于点Q，过点Q作与以点D−3,0为圆心，r(0<r<1)为半径的圆相切的直线l1，l2，且l1，l2分别交C【答案】(1)x(2)证明见详解【解题思路】（1）设出A，B，P的坐标，结合已知条件列式，求得关于x，y的方程；（2）由直线与圆相切，得到两切线斜率的关系，然后讨论直线MN的斜率存在和不存在两种情况，分别求