专题06线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题06.线段中的五类动态模型线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型来源 1真题现模型 2提炼模型 4模型运用 4模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4模型2动态线段中的‌定值模型 7模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10模型4.动态线段中的分类讨论模型 13模型5.动态线段中的新定义模型 16 21动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。（3）解：当点N在线段上时，如图当点N在线段的延长线上时，如图：1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。2、线段的动态模型解题步骤：1）设入未知量t表示动点运动的距离；2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3）根据题设条件建立方程求解；4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）(2)当点在线段的延长线上运动时，为的中点，求的值．（2）解：如图，当在延长线上运动时，长度为6．依题意，分以下两种情况：(1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．模型2.动态线段中的‌定值模型(1)直接写出木棒的长；（2）解：①点C在点B右边时，如图：②点C在点B左边时，如图：（3）证明：当点B与点D重合时，如图：(2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．

则点表示的数为，点表示的数为5，故答案为：，5．②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等，模型3.动态线段中的存在性模型（探究型）(2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．例2（2425七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．(3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．故答案为：，4；(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度（用含a，b的代数式表示）；(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；【详解】（1）解：因为P是线段的中点，Q是线段的中点，（3）如图①，模型4.动态线段中的分类讨论模型如图所示，以点A为原点，射线的方向为正方形，为1个单位长度建立数轴，∴点A表示的数为0，点B表示的数为5，点C表示的数为20，点D表示的数为50；∵点、分别为、的中点，(3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值．(4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值．（3）解：的长度不变，其值为，证明如下：的长度不变，其值为；①当是的中点时，如图所示，②当是的中点，如图所示，模型5.动态线段中的新定义模型（2）由题意可知，点N是线段的中点，（3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”，故P或Q点是“三等分点”．A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】DA． B． C． D．【答案】D【答案】2【答案】6【答案】①分两种情况：）当在点左侧时，如图，）当在点右侧时，如图，【答案】(1)，(2)①3；②2或6

当点P在线段上时，如图，

∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为，

当点P、点Q均在点N左侧时，如图，

综上所述，的长为17或25．点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示：(2)当P，Q两点重合时，求t的值；(3)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．综上所述，满足条件的值为4或7或．14．（2425七年级上·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8．【答案】(1)当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8综上所述：当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8；（2）解：线段的长度不发生变化，其值为5．分下面两种情况：①当点在、两点之间运动时（如图）．②当点在点的左侧运动时（如图）．综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5．【答案】(1)；线段的长为或；(2)线段的长为或．如图，当点在点的右侧，点在点的左侧时，（2）解：如图，当线段在线段上时，如图，当点在的延长线上，点在线段上时，如图，当线段在线段的延长线上时，综上，线段的长为或．（3）解：当点N在线段上时，如图当点N在线段的延长线上时，如图：17．（2425七年级上·湖南长沙·阶段练习）如下图所示，在数轴上点A、B、C起初表示的数分别是、2、20，从某一时刻开始，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点C同时出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，点M是线段的中点.(1)运动开始前，线段的中点M表示的数是______；(2)点A、C运动t秒后，线段的中点M表示的数是______（用含的式子表示并化简）；(3)按照上述方式运动，A、C两点同时出发多少秒后相遇，相遇点表示的数是多少?【答案】(1)6(2)(3)7秒后相遇，相遇点