第03讲导数与函数的极值最值（复习讲义）

第03讲导数与函数的极值、最值目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 3知能解码 3知识点1函数的极值 3知识点2函数的最大（小）值 4知识点3函数的最值与极值的关系 5题型破译 6题型1函数图象与极值（点），最值的关系 6题型2求已知函数的极值（点） 8题型3根据函数的极值（点）求参数 10【方法技巧】根据极值点求参数要回代检验题型4求函数的最值（不含参） 13【方法技巧】求区间上函数最值步骤题型5求函数的最值（含参） 16题型6根据函数的最值求参数 19题型7函数的单调性、极值、最值的综合应用 2304真题溯源·考向感知 2805课本典例·高考素材 32考点要求考察形式2025年2024年2023年（1）函数的极值（2）函数的最值单选题多选题填空题解答题全国二卷T18（1）（4分）全国二卷T13（5分）上海卷T19（2）（8分）北京卷T20（1）（4分）全国一卷T19（1）（4分）全国甲卷（理）T21（1）（5分）全国II卷T16（2）（9分）全国乙卷（理）T21（3）（6分）全国II卷T22（2）（9分）全国II卷T5（5分）北京卷T20（3）（7分）考情分析：高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．复习目标：（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．（2）会用导数求函数的极大值（点）、极小值（点）．（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识点1函数的极值（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.自主检测（2025·四川·三模）函数fx=x【答案】−6【详解】由题意可得f'当x<13或x>1时，f′x>0，则f当13<x<1时，f′x<0故fx故答案为：−6.知识点2函数的最大（小）值自主检测已知函数f(x)=x3−(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)求函数f(x)在区间−2,2上的最小值．【答案】(1)a=1(2)单调递增区间为1,+∞,−(3)8【详解】（1）f′(x)=3x即3−2−a=0，解得a=1，故f′令f′(x)>0得x>1或x<−13，令故x=1为极小值点，满足要求；（2）由（1）可知，f(x)=xx>1或x<−13时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为1,+∞,−（3）由（1）知x=1为极小值点，f(1)=1−1−1+2=1，又f(−2)=−8−4+2+2=−8，f(2)=8−4−2+2=4，显然−8<1<4，故f(x)在区间−2,2上的最小值为8知识点3函数的最值与极值的关系（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.自主检测已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx在−2,3【答案】(1)极小值为−4，极大值为0(2)fxmax=16【详解】（1）定义域R，f′x=−3x2+6x=−3xx−00,222,+f−0+0−f单调递减极小值−4单调递增极大值0单调递减当x=0时，fx有极小值，极小值为f当x=2时，fx有极大值，极大值为f（2）x−2−2,000,222,33f−0+0−f16单调递减极小值−4单调递增极大值0单调递减−4所以fxmax=f题型1函数图象与极值（点），最值的关系例11已知定义域为−3,5的函数fx的导函数为f′x且fA．fx在3,5上单调递增 B．fxC．fx有3个极值点 D．fx在【答案】C【详解】由题图知，在[−3,0),(2,4)上f′x<0，则f在(0,2),(4,5]上f′x>0，则f所以fx在3,5上不单调，f4为极小值，且共有3个极值点，故选：C例12（多选）已知函数fx，x∈−a,a的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为f′x，函数A．fx在x=−1处取最大值 B．x=1是fC．fx没有极小值点 D．x=1可能不是导函数f【答案】ACD【详解】当−a≤x<−1时，gx∴f′x同理可得：当−1<x<0时，f′x<0所以x=−1为函数fx当0<x<1时，f′x<0当1<x≤a时，f′x<0,所以函数fx在−1,a从而fx在x=−1又0<x<1和1<x≤a时，f′g(1)=0，而x2−x在x=1时等于0，所以当f′1=0时，x=1当f′1≠0时，x=1故选：ACD.【变式训练11】（多选）已知函数fx的导函数f′xA．函数f′x在b,c上单调递增 B．函数C．函数fx在a,e上单调递减 D．函数fx在【答案】ABC【详解】根据f′x的图象可知：函数f′根据f′x的图象可知：f′x=0而是x=c不是导函数的变号零点，故函数fx根据f′x的图象可知：在x∈a,e时，f′x根据f′x的图象可知：f′x=0而是x=c不是导函数的变号零点，故函数fx在x=c故选：ABC．【变式训练12】（多选）函数fx的定义域为a,b，导函数f′x在a,bA．函数fx在a,b内一定不存在最小值 B．函数fx在C．函数fx在a,b内有两个极大值点 D．函数fx在【答案】BCD【详解】对AB，设f′x=0的根为x函数fx在a,x1内单调递增，在x在x3,b内单调递减，所以函数fx在区间a,b当fx2≤fa,fx2所以A错误，B正确；对C，函数fx在区间a,b内有极大值f对D，当fa≥0,fx2>0,f故选：BCD．【变式训练13】（多选）已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是（

A．limΔx→0fΔx−2−fC．函数f(x)在x=1处取得极大值 D．函数f(x)有最大值【答案】ABC【详解】对A：由图可知，limΔ对B：由图可知，当x∈(−∞,−1)时，故函数f(x)在(−∞对C：由图可知，当x∈(−1,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,2)，故函数f(x)在x=1处取得极大值，故C正确；对D：由图可知，当x∈3,+∞时，故f(x)在3,+∞故选：ABC.题型2求已知函数的极值（点）例21（2025·广东·模拟预测）已知函数fx=xex+【答案】2【详解】因为fx=xe当1<x≤3时，1+x>3−x≥0,ex>所以f′当x>3时，1+x>0>3−x，故1+xe所以f′综上，当x>1时，f′x>0恒成立，故f又因为f1+x=x+1即f1+x=f1−x，所以f故fx在区间−∞,1上单调递减，故x=1为fx的极小值点，故答案为：2例22函数fx=1【答案】3【详解】由fx=12x当x∈0,1时，f′x<0，则当x∈1,+∞时，f′x>0故fx在x=1取得极小值为f故答案为：32【变式训练21】已知函数fx=lnxx【答案】1e/【详解】函数fx=lnxx的定义域为(0,+∞)x(0,e(f+0f(x)单调递增极大值单调递减所以函数f(x)的极大值为f(e故答案为：1【变式训练22】已知函数fx=x2【答案】3−4【详解】易知函数的定义域为0,+∞，由题知f令f′x=0，得到x=2，当x∈0,2时，f′所以fx在x=2处取得极小值，极小值为f故答案为：3−4ln【变式训练23】若函数fx=x2−ax−2e【答案】−2【详解】由函数fx=x因为函数fx在x=−2处取得极大值，可得f即(−2)2+(2−a)(−2)−(a+2)=0，解得将a=2，代入可得f′当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，f′所以函数fx在(−∞,−2),(2,+所以x=2时，函数fx取得极小值，极小值为f故答案为：−2e题型3根据函数的极值（点）求参数A． B． C．0 D．或1【答案】A故选：A【答案】D故选：D.方法技巧根据极值点求参数要回代检验【答案】B故选：B.【答案】故答案为：11.【答案】/故答案为：.题型4求函数的最值（不含参）例41已知函数fx(1)若fx在R上单调递增．求实数m(2)若m=−1，求fx在[−2,2]【答案】(1)0，(2)[−10,2].【详解】（1）因为f(x)=x3+m因为f(x)在R上单调递增，所以f′则Δ=(2m)2−12m≤0，解得0≤m≤3，即实数（2）因为m=−1，则fx则f′由f′(x)>0，得x<−13或x>1；由可知f(x)在−2,−13,(1,2]因为f(−2)=−10,f−1所以f(x)在[−2,2]上的值域为[−10,2]．例42已知函数fx=x(1)求实数a，b的值；(2)求函数fx在区间−4,1【答案】(1)a=3,b=0(2)最大值为4，最小值为−16【详解】（1）由题可知f'(x)=3x2+2ax此时f(x)=x当x∈(−∞,−2)时，f'(x)>0，所以当x∈(−2,0)时，f'(x)<0，所以当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0，所以所以f(x)在x=−2时取得极大值．所以a=3,b=0．（2）由（1）可知，f(x)在[−4,−2)单调递增，在(−2,0)单调递减，在又因为f(−4)=−16，f(−2)=4，f(0)=0，f(1)=4，所以函数f(x)在区间[−4,1]上的最大值为4，最小值为−16．方法技巧求区间上函数最值步骤【变式训练41】已知函数fx=ax3+bx+2(1)求a,b的值；(2)求曲线y=fx在点0,f(3)求函数fx在0,2【答案】(1)a=−2，b=6(2)6x−y+2=0(3)最大值为6，最小值为−2【详解】（1）∵f′x=3ax2+b∴f−1=−a−b+2=−2当a=−2，b=6时，f′∴当x∈−∞,−1∪1,+∞时，∴fx在−∞,−1，1,+∴x=−1是fx综上所述：a=−2，b=6.（2）由（1）得：f′x=−6x2+6，∴y=fx在点0,f0处的切线方程为：y−2=6x−0（3）由（1）知：fx在−∞,−1，1,+∴fx又f0=2，f2∴fx在0,2上的最大值为6，最小值为−2【变式训练42】已知函数f(1)求函数fx在x=0(2)求函数fx(3)求函数fx在−3,3【答案】(1)y=−9x+5(2)单调递增区间为−∞,−1，1,+(3)最大值为59，最小值为−49【详解】（1）因为fx=3x3−9x+5所以f′0=−9，所以函数fx在（2）函数f(x)的定义域为R，且f′由f′(x)>0，解得x<−1或x>1，所以fx的单调递增区间为−由f′(x)<0，解得−1<x<1，所以fx（3）由（2）可知，fx在−3,−1上单调递增，在−1,1上单调递减，在1,3所以fx在x=−1处取得极大值，在x=1又f−3=−49，f−1=11，所以函数f(x)在−3,3上的最大值为59，最小值为−49.【变式训练43】设函数fx(1)求fx在x=−2(2)求fx在区间−5,2【答案】(1)7x+y+10=0，50(2)f(x)min【详解】（1）由题意可知，f′(x)=−3x2又f(−2)=8−4−2+2=4，则f(x)在x=−2处的切线方程为：y−4=−7(x+2)，即7x+y+10=0，所以f(x)在x=−2处的切线方程7x+y+10=0；令x=0，则y=−10，令y=0，则x=−107，（2）令f′(x)=−3x2−2x+1=0则x，f′(x)，x(−−1(−1,1(f−0+0−f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以的单调递增区间为(−1,13)，单调递减区间为(−所以f(x)在[−5,−1)上单调递减，在(−1,13)又f(−5)=125−25−5+2=97，f(−1)=1−1−1+2=1，f(13)=−所以f(x)min=f(2)=−8题型5求函数的最值（含参）例51（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数fx(1)当a=1时，求fx在0,f(2)讨论fx【答案】(1)y=2x+2(2)答案见解析【详解】（1）当a=1时，fx=e则f0=2，则fx在0,f0处的切线方程：y−2=2x−0（2）由fx=e①当a≥0时，f′x>0在R上恒成立，故f②当a<0时，由f′(x)=0，解得当x<ln−a时，f′x<0当x>ln−a时，f′x>0所以fx在x=ln−a例52已知函数f(x)=2e(1)求函数f(x)的极值；(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>−3)上的最小值g(t)．【答案】(1)极小值为f(−2)=−2e(2)g【详解】（1）f'由f'(x)>0，得x>−2；由f'∴f(x)在(−2,+∞)上单调递增，在∴f(x)的极小值为f(−2)=−2e（2）由（1）知f(x)在(−2,+∞)上单调递增，在∵t>−3，∴t+1>−2．①当−3<t<−2时，f(x)在[t,−2)上单调递减，在(−2,t+1]上单调递增，∴g(t)=f(−2)=−2②当t≥−2时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，∴g(t)=f(t)=2egt【变式训练51．已知函数fx(1)已知fx在点P1,f1处的切线方程为y=6x+2，求实数a(2)求函数fx在0,2【答案】(1)a=3，b=4.(2)答案见解析【详解】（1）因为fx=x所以f′1=3+a=6又f1=1+a+b=8，所以综上所述a=3，b=4.（2）因为f′（ⅰ）当a≥0时，f′所以函数fx在0,2所以fx（ⅱ）当a<0时，由f′x=3x2当x>−a3或x<−−a3时，f′当−−a3<x<−a3①当−a3≥2时，即a≤−12，所以函数f所以fx②当−a3<2时，即−12<a<0，函数fx在又f0=b，f2所以当−4<a<0时，f2>f0，当−12<a<−4当a=−4时，f2所以fx综上所述，当a>−4时，fxmax=2a+b+8；当a≤−4【变式训练52】已知函数fx(1)讨论fx(2)求fx在1,e上的最小值【答案】(1)答案见解析(2)g【详解】（1）由题意知：fx的定义域为0,+∞，当a≤0时，x−a>0，∴f′x>0恒成立，∴fx当a>0时，若x∈0,a，f′x<0；若∴fx在0,a上单调递减，在a,+∴fx的极小值为f综上所述：当a≤0时，fx无极值；当a>0时，fx的极小值为（2）当a≤1时，f′x≥0在1,e上恒成立，∴fx当1<a<e时，若x∈1,a，f′x<0∴fx在1,a上单调递减，在a,∴fx当a≥e时，f′x≤0在综上所述：fx在1,e上的最小值【变式训练53】已知函数fx(1)当a=1时，求函数fx(2)当a>0时，求函数fx【答案】(1)fx在(0,1)上为增函数；f(x)在(1,+(2)a(【详解】（1）f(x)的定义域为(0,+∞当a=1时，fx=ln当f′x=当f′x=∴f(x)在(0,1)上为增函数；f(x)在(1,+∞（2）f(x)的定义域为(0,+∞f′当a>0时，令f′x>0，得0<x<a，令f∴f(x)的递增区间为(0,a)，递减区间为(a,+∞)．f(x)题型6根据函数的最值求参数【答案】(1)答案见解析；A． B． C． D．【答案】D所以实数的取值可以是.故选：D1+00+增极大值减极小值增【答案】(1)答案见解析(2)此时不存在最大值，与题意不符，题型7函数的单调性、极值、最值的综合应用例71（2025·北京·二模）已知函数fx=ax−1(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线经过点2,2，求(2)证明：函数fx(3)记函数fx的最小值为ga，求【答案】(1)a=(2)证明见解析(3)0【详解】（1）求导，得f′所以f1=0，故曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为将点2,2代入切线方程，得a=3（2）函数fx的定义域为0,+设函数mx=ax由x>0，得m′所以函数mx在0,+因为m0所以存在唯一的x0∈0,1a当x变化时，f′x与x0,xxf0+f↘极小值↗所以函数fx在0,x0故函数fx存在极小值f（3）由（2）知，函数fx有最小值f由f′x0所以ga设函数ℎx=x−1今ℎ′x=0，得x=−2当x变化时，ℎ′x与x0,111,+ℎ+0ℎ↗极大值↘所以函数ℎx在0,1上单调递增，在1,+所以当x=1时，ℎ(x)max=ℎ1=0结合a=1ex0x由函数y=1exx2故当且仅当a=1e时所以当a=1e时，g例72（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数fx(1)当a=2时，求fx(2)若fx在0,+∞有最小值，且最小值大于−a，求【答案】(1)−1(2)1<a<【详解】（1）当a=2时，fxf′令f′x=0，解得x=0当x<0或x>ln2，f′当0<x<ln2时，f′所以当x=0时，fx的极大值为f（2）fx=x−1当a<0时，x∈0,+∞，f′当a>0时，令f′x=xex当0<a≤1时，x∈0,+∞，f′当a>1时，当0<x<lna，f′x<0所以fx在0,lna单调递减，在lna,+∞最小值为fln所以alna−1−1化简得−12ln解得0<lna<2，即【变式训练71】已知函数f(1)当a=3时，求fx(2)若a>0，求fx在区间0,1【答案】(1)极大值f0=b，极小值(2)0<a<3时，最小值为fa3=−a3【详解】（1）当a=3时，fx=2x3−3所以，当x<0或x>1时，f′x>0，fx单调递增；当0<x<1时，所以，fx在x=0处取得极大值f0=b，在x=1（2）由题意，f′令f'x=0，解得x=0因为a>0，所以当x<0或x>a3时，f′x>0；当0<x<所以，当0<a3<1即0<a<3时，fx在则fx在区间0,1的最小值为f当a3≥1即a≥3时，fx在0,1上单调递减，则fx在区间综上所述，0<a<3时，fx在区间0,1的最小值为fa≥3时，则fx在区间0,1的最小值为f【变式训练72】（2024·四川成都·模拟预测）设fx(1)当a=2时，求fx(2)若fx的极大值为4，求a【答案】(1)0(2)a=3【详解】（1）f'当a=2时，f'x=−fx在−∞,−2x∈−2,0,f因此fx的极小值为f（2）当a=1时，f'x=−当a>1时，f'x=−fx在−∞,2−2ax∈2−2a,0,f'x>0,fx在(−2,0)当a>1时，由f0=4当a<1时，f'x=−fx在−∞,0x∈0,2−2a,f'x>0,fx在(−2,0)当a<1时，f2−2a=−4设ga=e因此ga在−∞,1上单调递减，g综上可知，当且仅当a=3时，fx【变式训练73】设函数f(1)当a=0时，求fx(2)已知a∈Z，若fx单调递增，求(3)已知a>0，设x0为fx的极值点，求【答案】(1)极小值为−1(2)−1(3)−【详解】（1）当a=0时，fx=x令f′x当x∈0,1e时，f′x当x∈1e,+∞时，f′所以fx的极小值为f（2）解法一：由f′若fx单调递增，必有f令φx=ln当a≥0时，由已知fx单调递增，但φ当a<0时，令φ′x>0故函数φx的减区间为0,−a，增区间为−a,+∞又由函数tx=ln又由a∈Z，故a的最大值为−1解法二：f′x=所以f′1因为a∈Z，所以a≤−1当a=−1时，f′设gx=当x∈0,1时，g′x<0，当x∈1,+∞时，g′x>0所以g所以a=−1满足题意，即a的最大值为−1；（3）当a>0时，易知f′易知f′1所以存在x0∈1e,ea使得f所以fx0=设ℎx=−整理得ℎ因为y=−x−lnx−2<−1所以当x∈1e,1时，ℎ′x当x∈1,ea时，ℎ′x所以ℎx≤ℎ1=−11．（多选）（2024·新课标Ⅰ·高考真题）设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则（

）A．x=3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<fC．当1<x<2时，−4<f(2x−1)<0 D．当−1<x<0时，f(2−x)>f(x)【答案】ACD【详解】对A，因为函数fx的定义域为R，而f易知当x∈1,3时，f′x<0，当x∈函数fx在−∞,1上单调递增，在1,3上单调递减，在3,+∞上单调递增，故对B，当0<x<1时，x−x2=x而由上可知，函数fx在0,1上单调递增，所以f对C，当1<x<2时，1<2x−1<3，而由上可知，函数fx在1,3所以f1>f2x−1对D，当−1<x<0时，f(2−x)−f(x)=1−x所以f(2−x)>f(x)，正确；故选：ACD.2．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数fx的定义域为R，fxy=A．f0=0 C．fx是偶函数 D．x=0为f【答案】ABC【详解】方法一：因为f(xy)=y对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=−1，f(1)=f(−1)+f(−1)=2f(−1)，则f(−1)=0，令y=−1,f(−x)=f(x)+x又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.方法二：因为f(xy)=y对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=−1，f(1)=f(−1)+f(−1)=2f(−1)，则f(−1)=0，令y=−1,f(−x)=f(x)+x又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y故可以设f(x)x2=当x>0肘，f(x)=x2ln令f′x<0，得0<x<e−故f(x)在0,e−1因为f(x)为偶函数，所以f(x)在−e−1

显然，此时x=0是f(x)的极大值点，故D错误.故选：ABC.3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数fx(1)当a=−2时，求fx【答案】(1)极小值为0，无极大值.【详解】（1）当a=−2时，f(x)=(1+2x)ln故f′因为y=2ln(1+x),y=−1故f′(x)在−1,+∞故当−1<x<0时，f′(x)<0，当x>0时，故fx在x=0处取极小值且极小值为f4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当0<x<1时，x−x（2）已知函数fx=cosax−ln1−x【答案】（1）证明见详解（2）−【详解】（1）构建Fx=x−sinx,x∈0,1则Fx在0,1上单调递增，可得F所以x>sin构建Gx则G′构建gx=G′x则gx在0,1上单调递增，可得g即G′x>0则Gx在0,1上单调递增，可得G所以sinx>x−综上所述：x−x（2）令1−x2>0，解得−1<x<1，即函数f若a=0，则fx因为y=−lnu在定义域内单调递减，y=1−x2在则fx=1−ln1−x故x=0是fx的极小值点，不合题意，所以a≠0当a≠0时，令b=因为fx且f−x所以函数fx由题意可得：f′（i）当0<b2≤2时，取m=min1由（1）可得f′且b2所以f′即当x∈0,m⊆0,1时，f′x结合偶函数的对称性可知：fx在−m,0所以x=0是fx（ⅱ）当b2>2时，取x∈0,由（1）可得f′构建ℎx则ℎ′且ℎ′0=b3可知ℎx在0,1b所以ℎx在0,1b当x∈0,n时，则ℎx<0则f′即当x∈0,n⊆0,1时，f′x结合偶函数的对称性可知：fx在−n,0所以x=0是fx综上所述：b2>2，即a2>2，解得故a的取值范围为−∞5．（2023·北京·高考真题）设函数f(x)=x−x3eax+b，曲线y=f(x)在点(1)求a,b的值；(2)设函数g(x)=f′(x)(3)求f(x)的极值点个数．【答案】(1)a=−1,b=1(2)答案见解析(3)3个【详解】（1）因为f(x)=x−x3e因为fx在(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1所以f(1)=−1+1=0，f′则1−13×所以a=−1,b=1.（2）由（1）得gx则g′令x2−6x+6=0，解得x=3±3，不妨设x1=3−易知e−x+1所以令g′x<0，解得0<x<x1或x>x2所以gx在0,x1，x2,+即gx的单调递减区间为0,3−3和3+3,+∞（3）由（1）得f(x)=x−x3e由（2）知f′x在0,x1，x2当x<0时，f′−1=1−4e所以f′x在−∞,0上存在唯一零点，不妨设为此时，当x<x3时，f′x<0，则fx单调递减；当所以fx在−当x∈0,x1时，f则f′x1所以f′x在0,x1上存在唯一零点，不妨设为此时，当0<x<x4时，f′x>0，则fx单调递增；当所以fx在0,当x∈x1,x2则f′x2所以f′x在x1,x此时，当x1<x<x5时，f′x<0，则f所以fx在x当x>x2=3+