专题01勾股定理（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题01勾股定理（5知识&8题型&3易错）【清单01】勾股定理注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.【清单04】勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【题型一】利用勾股定理求线段长【答案】C【详解】解：如图，故选：．【答案】A【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．由等腰三角形的性质，结合已知可得为的中点，从而可得的长度，根据勾股定理即可得的长．【详解】解：∵是边上的高，∴为的中点，故选：A．【变式12】已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成．【详解】解：当3和4是直角边时，当3是直角边，4是斜边时，故选：D．A． B． C． D．【答案】B故选：B．【题型二】直角三角形三边为边长的正方形面积关系【例2】如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（

）．A．336 B．C．464 D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理计算即可．【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形，故选A．【变式21】以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．即正方形的面积为，故选：．【变式22】如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（

）A．9 B．11 C．36 D．41【答案】A即正方形的面积为9．故选：A．A．150 B．200 C．225 D．无法计算【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理，结合正方形面积公式求解．故选：C．【题型三】直角三角形斜边上的高【例3】若直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为（

）A．10 B．8 C．6 D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求解．先利用勾股定理求出斜边长度，再通过等面积法计算即可．设斜边上的高为h，故选：D．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．故选：C．A． B．3 C． D．【答案】D故选：D．A．0.6 B． C．1.2 D．【答案】B故选：B．【题型四】勾股定理在网格中的应用A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理与网格图．根据勾股定理解答，即可解答．即线段长为的是．故选：D．【变式41】如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，即可求解．故选：D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理即可直接得出答案．故选：A．【答案】C【分析】本题考查三角形面积，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．点到线段的距离为，故答案为：C．【题型五】线段的平方关系【答案】20【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，故答案为：20.【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.【答案】34【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．故答案为：34．【答案】625【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可．故答案为：625．

【答案】17【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；故答案为：17．【题型六】水上航行【答案】10.4【分析】过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，由锐角三角函数的定义求出SC的长即可．【详解】解：过S作SC⊥AB于C．∵∠SBC=60°，∠A=30°，∴∠BSA=∠SBC∠A=30°，即∠BSA=∠A=30°．∴SB=AB=12（海里），Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，∴SC=SB•sin60°=12×=6≈10.4（海里）．故答案为：10.4．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形求出SC的长是解题的关键．【变式61】如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°60°=30°，【变式62】如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距海里．【答案】60【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了48海里和36海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴2小时后两船相距60海里．故答案为：60．【答案】26故答案为：26．【题型7】勾股定理逆定理【答案】【详解】解：如图，连接，∴则这块地的面积为：故答案为：【变式71】木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面．（填“合格”或“不合格”）【答案】不合格【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【详解】解：不合格，理由：∵802+1002=16400≠1302，即：AB2+BC2≠AC2，∴∠B≠90°，∴四边形ABCD不是矩形，∴这个桌面不合格．故答案为：不合格．【变式72】在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是．【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．【题型8】选址问题

【详解】∵C、D两村到E站的距离相等，故答案为：；【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解．【答案】10∵B、C两村到P站的距离相等，故答案为10．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键．【变式83】如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m，且C、D两处的距离为600m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走m.【答案】1000【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可．【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，∵CD=600m，BD=300m，AC=500m，∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m，∴A′E=A′C+CE=500+300=800m，在Rt△A′EB中，即牧童最少要走1000米．故答案为1000．【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形．【题型一】折叠问题中找不到等量关系建立方程致错A． B． C． D．【答案】B故选：B．A．2 B．3 C． D．【答案】D【详解】解：点D为的中点，故选：D．A．5 B．6 C．7 D．【答案】D故选：D．A． B． C． D．【答案】B将边沿翻折，使点落在上的点处，将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，故选：B．【题型二】求第三边是未分情况讨论漏解致错【例2】直角三角形两边分别为和，则第三边为（

）A．3 B．4 C． D．4或【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的计算，掌握勾股定理的计算是关键．根据勾股定理分类讨论即可求解．综上所述，第三边长为或，故选：D．【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】解：设第三边为x，则（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，【变式22】若直角三角形的两小边为、，则第三边为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理直接计算，即可求解．【详解】解：∵直角三角形的两小边为、，