专题02一元二次方程（考点清单知识导图5个考点清单12个题型解读）

清单02一元二次方程（9个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】一元二次方程的基本概念1.定义:只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=02.一般形式:ax3.项数和系数:ax二次项:ax2;一次项:bx;二次项系数:常数项:c4.注意事项:(1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程【清单02】解一元二次方程的方法各种一元二次方程的解法及使用类型对于一元二次方程ax2∆=b∆=b∆=b【清单04】一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且∆=【清单05】一元二次方程在生活中的应用列方程解应用题的一般步骤答、审、设、列、解、检(1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系(2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题(4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性，(5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语【考点题型一】一元二次方程的定义【例1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2−2x+y=0B．x3−2x+1=0C．x【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程，利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：x2x3x22x故选：C．【变式11】下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．x−2y=1 B．x2+3=2x C．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，即可求解．【详解】解：A、x−2y=1，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、x2C、x2−2y+4=0，含有D、x2故选：D【变式12】关于x的方程m+1xm+1−m−1A．−1 B．1 C．±1 D．0【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0)本题根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：根据题意得：m+1≠0m解得：m=1．故选：B．【变式13】一元二次方程x2−2x+1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（A．1，2，1 B．1，−2，1 C．0，−2，−1 D．0，−2，1【答案】B【详解】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可．【分析】解：方程x2−2x+1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、故选：B．【变式14】已知1为关于x的一元二次方程x2−ax+1=0的根，则a值为（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将x=1代入方程可得1−a+1=0，解一元一次方程即可得解．【详解】解：∵1为关于x的一元二次方程x2∴1−a+1=0，∴a=2，故选：A．【变式15】若m−3xm−1−x−5=0是关于x的一元二次方程，则m【答案】−1【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义，可知m−3≠0且m−1=2，由此即可求得m【详解】解：由题意可知，m−3≠0且m−1=2解得：m≠3，且m=3或m=−1，∴m=−1，故答案为：−1．【考点题型二】用直接开方法解一元二次方程【例2】一元二次方程x2+m=0(m<0)的解是（A．x1=−m，x2=C．x1=−−m，【答案】C【分析】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法解一元二次方程是解决此题的关键．利用直接开方法解一元二次方程即可．【详解】解：∵m<0∴−m>0xx解得：x1=−−m故选C．【变式21】若关于x的一元二次方程x−a2=1的两个根均为正整数，则a的值可能为（A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用．先解一元二次方程，然后根据两个根均为正整数列不等式组求解即可．【详解】解：∵x−a2∴x−a=±1，∴x1=a+1，∵关于x的一元二次方程x−a2∴a+1>0a−1>0，且a解得a>1，且a为正整数，观察四个选项，a可以为2，故选：D．【变式22】方程x2−4=0的解是【答案】x【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可得到答案．【详解】解：x移项得：x2方程两边同时开方得：x=±2，解得x1故答案为：x1【变式23】42x−1解：2x−122x−1=9……第一步；2x=8……第二步；x=4……第三步；(1)以上解方程的过程中从第_______步开始出现错误．(2)请写出正确的解方程过程．【答案】(1)一(2)过程见解析，x=2或x=−1【分析】本题主要考查了用直接开平方的方法解一元二次方程：（1）观察解题过程可知，在第一步方程两边同时开方时，方程右边没有进行开方，据此可得答案；（2）利用直接开平方的方法解方程即可．【详解】（1）解：观察解题过程可知，在第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时开方时，方程右边没有进行开方；（2）解：42x−12x−122x−1=±32x=1+3或2x=1−3x=2或x=−1．【考点题型三】用配方法解一元二次方程【例3】用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，此方程可变形为（A．x+32=1 B．x−32=17 C．【答案】D【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成(x+m)2【详解】移项，得x配方，得x2即(x−3)2故选：D．【变式31】用配方法解方程x2−10x=1，下列配方正确的是（A．x−52=26 B．x−52=24 C．【答案】A【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．在方程左右两边同时加上一次项系数−10的一半的平方，然后配方即可．【详解】解：x2方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2配方得（x−5故选：A．【变式32】将一元二次方程x2−6x−1=0配方为x+m2【答案】x−3【分析】本题考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键，先把方程化为x2【详解】解：xxxx−3故答案为：x−32【变式33】用配方法解方程(1)x(2)−3【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查配方法解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程即可；（2）根据配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）x2∴x2x+32∴x+3=±14∴x1（2）−3x∴x2∴x2即x+1∴x+1∴x1【考点题型四】用公式法解一元二次方程【例4】解下列方程(1)2xx−3(2)14【答案】(1)x1=(2)x1=12+2【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法和步骤．（1）首先将原方程整理为2x（2）首先将原方程整理为x2【详解】（1）解：2xx−3整理可得2x∵a=2,b=−7,c=−3，∴Δ=∴x=−∴x1=7+（2）解：14整理可得x2∵a=1,b=−24,c=12，∴Δ∴x=−∴x1=12+233【变式41】解方程：x2【答案】x【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：∵x2∴a=1，∴Δ=∴x=−b±解得x1【变式42】用公式法解方程：3x【答案】x【分析】本题考查了利用公式法求解一元二次方程，根据公式法即可求解．【详解】解：∵a=3,b=4,c=−2，∴Δ=∴x【变式43】用公式法解方程：x2【答案】x1=−2+【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程即可．【详解】解：原方程整理得x2a=1，b=4，c=−3，Δ=∴x=−4±∴x1=−2+7【考点题型五】用因式分解法解一元二次方程【例5】方程x2−2x=0的根是（A．x1=xC．x1=0，x2=2 【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：x2xx=0或x−2=0所以x1=0，故选：C．【变式51】一元二次方程xx−2=2−x的解是（A．x1=x2=−1 B．x1=x2=2【答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．【详解】解：xxxx+1x+1=0或x−2=0∴x1=2故选：D．【变式52】一元二次方程5x2=4x【答案】x【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先把5x【详解】解：依题意，5x5xx5x−4x=0或5x−4=0，x1故答案为：x1【考点题型六】一元二次方程判别式的应用【例6】在平面直角坐标系中，若直线y=kx+1不经过第四象限，则关于x的方程x2+x−k=0的实数根的情况为（A．无解 B．两个不相等的实数根C．两个相等的实数根 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当【详解】解：∵直线y=kx+1不经过第四象限，∴k≥0，∵关于x的方程x2+x−k=0∴Δ∴关于x的方程x2故选：B．【变式61】已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实根，则m的值为【答案】1【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=解得：m=1．故答案为：1．【变式62】已知：关于x的一元二次方程mx2−3(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．【答案】(1)m≠3且m≠0(2)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键．（1）由方程有两个不相等的根，可得Δ=m−32>0，由一元二次方程的定义可得（2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证．【详解】（1）解：Δ=∵方程有两个不相等的实数根，∴m−32>0且∴m≠3且m≠0，∴m的取值范围是m≠3且m≠0；（2）解：由求根公式得x=−b±∴x1x2∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1．【考点题型七】一元二次方程根与系数的关系【例7】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0的两个实数根为x1和x【答案】53/【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=−【详解】解：由题意得，x1∵x1∴x1x∴2m+12解得：m=53或∵Δ=∴m≥−5∴m=−3舍，∴m=故答案为：53【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式，根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【变式71】已知一元二次方程x2−5x+2=0的两个根为x1、x2，【答案】5【分析】本题考查了韦达定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据韦达定理进行计算即可．【详解】解：∵∴a=1，b=−5∴故答案为：5．【变式72】已知关于x的一元二次方程2x(1)证明：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若方程的两个实数根分别为α,β，且α−3β=5，求m的值．【答案】(1)证明见解析(2)m=±【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：（1）只需要证明Δ=（2）根据根与系数的关系得到α+β=32，αβ=−m【详解】（1）证明：由题意得，Δ=∵m2∴Δ=16∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：∵关于x的一元二次方程2x2−3x−2∴α+β=32又∵α−3β=5，∴α−3β=5α+β=解得α=19∴αβ=−m∴m=±133【变式73】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可）①x2−2x−3=0；②x2(2)如果关于x的方程x2−8x+c=0是“三倍根方程”，求(3)如果点p,q在反比例函数y=3x的图象上，那么关于的x方程(4)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0是“3倍根方程”，那么【答案】(1)③(2)c=12；(3)方程px(4)3【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；（2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程x2−8x+c=0的两个根为（3）方程px2−4x+q=0（4）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为ax−t【详解】（1）解：由x2−2x−3=0可得：由x2−3x=0可得：由x2+8x+12=0可得：故答案为：③；（2）解：设关于x的方程x2−8x+c=0的两个根为由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+3x∴x1=2，（3）解：∵点p,q在反比例函数y=3∴q=3∴方程px2−4x+q=0整理得px−3px−1解得x1=3∴方程px（4）解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为t∴原方程可以改写为ax−t∴ax∴b=−4atc=3a解得3b∴a，b，c之间的关系是3b故答案为：3b【考点题型八】增长率问题（一元二次方程的应用）【例8】某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为（

）A．5% B．10% C．15%【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设该公司2023年利润增长率为x，则该公司2022年利润增长率为2x，根据题意建立方程，解方程即可得．【详解】解：设该公司2023年利润增长率为x，则该公司2022年利润增长率为2x，由题意得：50001+2x解得x1即该公司2023年利润增长率为10%故选：B．【变式81】某校图书馆第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率为x．则可列方程．【答案】128【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用第三月进馆人次=第一月进馆人次×(1+进馆人次的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，依题意得：128(1+x)故答案为：128(1+x)【变式82】近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2021年数字阅读市场规模为400万元，2023年数字阅读市场规模为576万元，若年平均增长率不变，预计2024年该市数字阅读市场规模是多少万元？【答案】预计2024年该市数字阅读市场规模约是691.2万元【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设年平均增长率为x，结合2023年数字阅读市场规模为576万元，建立方程求解百分率，从而可得答案．【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得：4001+x解得x1=0.2=20%∴5761+x答：预计2024年该市数字阅读市场规模约是691.2万元．【变式83】某商场今年1月份开始营业，已知2月份盈利2万元，4月份的盈利达到2.88万元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．(1)求每月盈利的平均增长率．(2)按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？【答案】(1)20(2)34560元【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×(1+增长率）2=4（2）5月份盈利=4月份盈利×(1+增长率）．此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×(1±x)2=后来的量，其中增长用+【详解】（1）解：设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：20000(1+x)解得：x1=20%答：每月盈利的平均增长率为20%（2）解：依题意，28800(1+20%答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到34560元．【考点题型九】利润问题（一元二次方程的应用）【例9】物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月销售量的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月销售量的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元．【分析】（1）设二、三这两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）设商品降价a元时，商场获利4250元，根据题意列出方程即可求解；本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．【详解】（1）解：设二、三这两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得，2561+x解得x1=0.25=25%答：二、三这两个月销售量的月平均增长率为25%（2）解：设商品降价a元时，商场获利4250元，由题意得，40−25−a400+5a解得a1=5，答：当商品降价5元时，商场获利4250元．【变式91】中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍．(1)求商家购买笔和圆规的进价；(2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过10%【答案】(1)商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元(2)每个圆规的售价为11元【分析】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和x+2元，列出分式方程，即可求解；（2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解．【详解】（1）解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和x+2元，根据题意，得1600x解得x=4，经检验，x=4是原方程的解，∴x+2=6，答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元；（2）解：设每个圆规的售价为m元，根据题意，得m−630+10解得m1=10，又降价幅度不超过10∴m=11，答∶每个圆规的售价为11元．【变式92】有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．(1)设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则P=________；(2)如果该个体户将这批葡萄一次性出售后销售金额为760元，为了尽快回收资金，那么他应存放多少天后再一次性售出？【答案】(1)3(2)10天【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据金额、售价、质量之间的关系列出方程是解题的关键．（1）市场价等于原价与5天上涨的价格之和，由此可解；（2）根据销售金额等于x天后的市场价×可售葡萄的总质量列方程求解即可．【详解】（1）解：由题意知，P=2+5×0.2=3，故答案为：3；（2）解：设应存放x天后再一次性售出，由题意得2+0.2x200−x整理，得0.2x解得x1=10，∵要尽快回收资金，∴x=10，即他应存放10天后再一次性售出．【变式93】某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%，商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000【答案】50元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每套纪念品应定价为x元，根据题意列出方程组，求出x的值，再结合售价不能超过进价的200%【详解】解：设每套纪念品应定价为x元，由题意得，x−30500−10解得x1=50，当x=50时，50÷30<200%当x=70时，70÷30>200%，不合题意，∴x=50，答：每套纪念品应定价为50元．【考点题型十】几何问题（一元二次方程的应用）【例10】我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么直角三角形中的较长直角边长为．【答案】8【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据大正方形和小正方形的面积，得到AB=10，FG=2，每个直角三角形的面积为24，设AG=x，则BG=AF=AG−FG=x−2，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，∴AB=10，FG=2，4个全等的直角三角形的面积和为96，∴每个直角三角形的面积为24，设AG=x，则BG=AF=AG−FG=x−2，由勾股定理得：AG∴x解得：x=8或x=−6（舍），即直角三角形中的较长直角边长为8，故答案为：8【变式101】用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设AB为xm(1)如果要围成面积为45m2的花圃，AB(2)能围成面积为50m2【答案】(1)5(2)不能，见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用，函数解析式的综合运用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键，要注意题中自变量的取值范围．（1）将面积用函数解析式表达出来，进而代数求值；（2）根据判别式来判断根的情况，得到答案．【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽AB为x m，则BC为(24−3x)米，则S=x(24−3x)=−3当S=45时，−3x解得x1∵0<24−3x≤10，∴8>x≥143，故舍去∴x=5．故若要围成面积为45m2的花圃，则AB的长是（2）解：不能．假设能围成面积为50m2的花圃，3xΔ=故方程无实数根，所以不能围成面积为50m【变式102】为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）．(1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；(2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由．【答案】(1)生态园垂直于墙的边长为6米；(2)生态园的面积不能达到153平方米，理由见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，正确列出一元二次方程并灵活运用根的判别式成为解题的关键．（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为42−3x米，根据生态园的面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程求解即可；（2）假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为42−3y米，根据生态园的面积为153平方米，可列出关于y的一元二次方程，再根据根的判别式Δ=−8<0【详解】（1）解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为42−3x米，根据题意得：x42−3x整理得：x2解得：x1答：生态园垂直于墙的边长为6米；（2）解：生态园的面积不能达到153平方米，理由如下：假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为42−3y米，根据题意得：y42−3y整理得：y2∵Δ=∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米．【考点题型十一】动点问题（一元二次方程的应用）【例11】如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=7，BC=5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q【答案】1【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键设t秒后的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可．【详解】解：设t秒后△PCQ的面积等于4，由题意得：BP=t,CQ=2t，则∵S△PCQ∴4=12×2t×解得：t1=1，∵点Q从点C到点A的时间为72∴t2∴1秒后，△PCQ的面积等于4．故答案为：1．【变式111】在矩形ABCD中，已知AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度运动．当点Q(1)分别用含t的代数式表示PB与BQ；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时【答案】(1)PB=(5−t)(2)t=0或2秒(3)存在，t=1秒，使得五边形APQCD的面积等于26【分析】（1）依据点P和点Q运动的速度和时间可求得AP、BQ的长，然后依据PB=AB−PA可求得PB的长；（2）Rt△PBQ中，依据勾股定理可得到关于t的方程，从而可求得t（3）先求得矩形ABCD的面积，然后由五边形的面积可求得△PQB的面积=4cm2，然后依据△PQB的面积=4cm2列出关于本题主要考查的是一元二次方程的应用，四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理和三角形的面积公式列出关于t的方程是解题的关键．【详解】（1）解：∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s∴AP=tcm∵AB=5cm∴PB=(5−t)cm∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s∴BQ=2tcm（2）解：在Rt△PBQ中，依据勾股定理可知：P即：(5−t)2解得：t1=0，当t=0或2秒时，PQ的长度等于5cm（3）解：存在t=1秒，使得五边形APQCD的面积等于26cm理由如下：长方形ABCD的面积是：5×6=30(cm使得五边形APQCD的面积等于26cm则△PBQ的面积为30−26=4(cm∴12解得：t1=4（不合题意舍去），即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm【变式112】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm．点P、Q为AB边及BC边上的两个动点．若点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿(1)经过几秒，△PBQ的面积等于8cm(2)是否存在PQ平分△ABC的面积的情况？如果存在，请求出BP的长度；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)2秒或4秒(2)不存PQ平分△ABC的面积的情况．理由见解析．【分析】本题考查了图形动点运动以、解一元二次方程和一元二次方程根的判别式：（1）设运动时间为t秒，根据△PBQ的面积等于8cm（2）依题意，列式12×2t6−t=1【详解】（1）解:设运动时间为t秒，∵△PBQ的面积等于8cm∴12解得t1故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm（2）不存PQ平分△ABC的面积的情况．理由：依题意有12即t2∵Δ∴不存在PQ平分△ABC的面积的情况．【变式113】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4c(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm(3)在（1）中，△PBQ的面积能否等于8c【答案】(1)1秒后，△PBQ的面积等于4(2)0秒或2秒后，PQ的长度等于5(3)不能，理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找到关键描述语，结合图形得出等量关系是解决问题的关键．（1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，AP=x，BP=5−x，BQ=2x，则S△PBQ=1（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）S△PBQ【详解】（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm此时AP=xcm，BP=5−xcm由12BP⋅BQ=4，得整理得：x2解得：x=1或x=4(舍)，∴1秒后△PBQ的面积等于4cm（2）设经过t秒后，PQ的长度等于5由PQ即25=(5−t)解得：t1=0，∴0秒或2秒后，PQ的长度等于5cm；（3）不能，理由如下：由题意，得：1整理得：x2由于b2∴该方程没有实数根，∴△PQB的面积不能等于8cm2【考点题型十二】其他问题（一元二次方程的应用）【例12】要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（

）．A．12xx+1C．xx+1=15 【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=15，把相关数值代入即可．【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛x−1场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：12故选：B【变式121】在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯66次，则参加聚会的人数为．【答案】12【分析】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．由题意设参加聚会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯66次，则可得每个人可碰(x−1)次，继而可得x人一共碰杯12x(x−1)次，即可得出关于【详解】解：设参加聚会的人数为x人，根据题意得：12整理，可得：x2解得：x1=12，x2=−11则参加聚会的人数为12人，故答案为：12．【变式122】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？【答案】6【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为96x，实际每天栽棵树x+2棵，实际完成任务所需的天数为96依题意列方程得：96x整理得：x解方程得：x1故原计划每天栽6棵桂花树．【变式123】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为300米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为300米【分析】选择（1）时，设原计划每天修建x米，则实际每天修建1+25%x米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于选择（2）时，设原计划每天修建盲道x米，则实际每天修建x+75米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；【详解】选（1）或（2）（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x米3000x=300经检验：x=300是所列方程的解答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．（2）解