专题03勾股定理（期中知识清单5知识11题型4易错清单）（原卷版）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03勾股定理（5知识&11题型&4易错清单）【清单01】基本定义与术语勾股定理相关术语：1.勾：直角三角形中较短的直角边。2.股：直角三角形中较长的直角边。3.弦：直角三角形的斜边。【清单02】勾股定理核心内容1.定理表述：直角三角形中，两直角边（勾与股）的平方和等于斜边（弦）的平方。符号表示：若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。2.定理验证方法：（1）赵爽弦图法：通过四个全等直角三角形拼合正方形，利用面积关系推导。（2）欧几里得证明法：基于几何图形分割与面积等式推导。（3）毕达哥拉斯拼图法：通过正方形面积差验证定理。【清单03】勾股定理的逆定理1.定理内容：若三角形三边满足a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形，且c所对角为直角。2.应用场景：判断三角形形状（锐角/直角/钝角）。构造直角三角形解决实际问题。【清单04】勾股数与常见组合1.勾股数定义：满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数。2.常见勾股数组：（1）基础型：3,4,5；6,8,10；9,12,15。（2）扩展型：5,12,13；8,15,17；7,24,25。（3）规律型：勾为奇数时，弦与股相差1（如3,4,5）。勾为偶数时，弦与股相差2（如6,8,10）。【清单05】勾股定理的应用1.边长计算：已知两边求第三边（如直角边或斜边）。2.几何证明：证明线段平方关系（如垂直线段长度）。验证图形性质（如矩形对角线长度）。3.面积计算：直角三角形面积：S=½ab。组合图形面积（如通过勾股定理求斜边后计算外围图形面积）。4.实际问题建模：测量高度（如梯子靠墙问题）。路径优化（如最短距离问题）。工程应用（如建筑结构稳定性分析）。【题型一】勾股数（树）【例1】下列各组数中，是勾股数的是（

）【变式11】下列属于勾股数的是（

）A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D．，2，【变式12】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．【题型二】组成直角三角形的是【例2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（

）A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6【题型三】赵爽弦图【变式31】如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．72【题型四】网格问题【例4】如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（

）【变式42】如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为．【题型五】最值问题A． B． C． D．A． B．4 C． D．2【题型六】勾股定理的应用【例6】《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（

）【变式62】如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米．(1)这个梯子顶端离地面有几米；(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）【题型七】折叠问题

A．2 B． C． D．4【变式72】【初步感知】【深入探究】【题型八】等腰三角形的动点求t(1)出发1秒后，求的长；(1)出发秒后，求的长；【题型九】直角三角形的动点求t(1)若点P运动到的中点时，t的值是；(1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？【题型十】勾股定理的新定义②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（

）A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形【题型十一】无刻度尺作图(1)在图1中，画出边上的高；(2)在图2中，画出边上的中线；【题型一】直角边与斜边未明确【例1】若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（

）【变式11】若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（

）【变式12】若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为．【题型二】三角形形状不明A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【题型三】立体图形最短路径路线不全

【变式31】如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是．【变式32】综合与实践【主题】自制环保笔筒【实践操作】步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒．【实践探索