专题03勾股定理（期中知识清单5知识11题型4易错清单）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03勾股定理（5知识&11题型&4易错清单）【清单01】基本定义与术语勾股定理相关术语：1.勾：直角三角形中较短的直角边。2.股：直角三角形中较长的直角边。3.弦：直角三角形的斜边。【清单02】勾股定理核心内容1.定理表述：直角三角形中，两直角边（勾与股）的平方和等于斜边（弦）的平方。符号表示：若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。2.定理验证方法：（1）赵爽弦图法：通过四个全等直角三角形拼合正方形，利用面积关系推导。（2）欧几里得证明法：基于几何图形分割与面积等式推导。（3）毕达哥拉斯拼图法：通过正方形面积差验证定理。【清单03】勾股定理的逆定理1.定理内容：若三角形三边满足a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形，且c所对角为直角。2.应用场景：判断三角形形状（锐角/直角/钝角）。构造直角三角形解决实际问题。【清单04】勾股数与常见组合1.勾股数定义：满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数。2.常见勾股数组：（1）基础型：3,4,5；6,8,10；9,12,15。（2）扩展型：5,12,13；8,15,17；7,24,25。（3）规律型：勾为奇数时，弦与股相差1（如3,4,5）。勾为偶数时，弦与股相差2（如6,8,10）。【清单05】勾股定理的应用1.边长计算：已知两边求第三边（如直角边或斜边）。2.几何证明：证明线段平方关系（如垂直线段长度）。验证图形性质（如矩形对角线长度）。3.面积计算：直角三角形面积：S=½ab。组合图形面积（如通过勾股定理求斜边后计算外围图形面积）。4.实际问题建模：测量高度（如梯子靠墙问题）。路径优化（如最短距离问题）。工程应用（如建筑结构稳定性分析）。【题型一】勾股数（树）【例1】下列各组数中，是勾股数的是（

）【答案】A【分析】此题考查了勾股数．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．D、，，，不是整数，故此选项不符合题意；故选：A．【变式11】下列属于勾股数的是（

）A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D．，2，【答案】A故选：A．【变式12】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．【答案】2026【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和．【详解】解：如图，则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026．故答案为：2026．【题型二】组成直角三角形的是【例2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（

）A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握三角形三边关系以及运用勾股定理的逆定理判定直角三角形成为解题的关键．故选：B．【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．故选：D【答案】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．故答案为：．【题型三】赵爽弦图【答案】B【详解】解：如图，故选：B．【变式31】如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．72【答案】A【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键．故选：A．【答案】13【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积．的值是13．故答案是13．【题型四】网格问题【例4】如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（

）【答案】B【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、实数与数轴，由勾股定理求出的长即可求解．由图可得，点在原点的右侧，∴点在数轴上表示的数为．故选：B．【答案】A故选：．【变式42】如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为．【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点到表示数1的点的距离，然后结合点在数轴上的位置即可得出答案．【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1，∴点到表示数1的点的距离是，【题型五】最值问题A． B． C． D．【答案】D故选：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定，利用辅助线构造全等及两点之间线段最短，在根据勾股定理求解等相关知识点，解题关键在于熟练掌握辅助线及最小值的方法．A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三线合一，勾股定理的计算，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．故选：C．【答案】14∴将线段沿射线平移的长度，得到，连接、，故答案为：14．【题型六】勾股定理的应用【例6】《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（

）【答案】B【详解】解：如图，故选：B．【答案】12米即旗杆的高度为12米．故答案为：12米．【变式62】如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米．(1)这个梯子顶端离地面有几米；(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）【答案】(1)12米【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理求出即可；（2）根据勾股定理求出，进而求出即可答：梯子顶端离地面有12米；【题型七】折叠问题A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】此题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点．故选：A．【答案】/折叠，点落在边上的点处，解得，故答案为：【变式72】【初步感知】【深入探究】【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理．【题型八】等腰三角形的动点求t(1)出发1秒后，求的长；【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；（3）解：分以下三种情况讨论：【答案】(1)见解析(2)2.5(3)或或8【分析】（1）直接运用角平分线的画法作图即可；（3）分作为底和腰两种情况讨论即可．（3）解：当作为底边时，如图所示：当作为腰时，如图所示：综上分析可知，t的值为或或．【点睛】本题主要考查了基本作图——角平分线的画法、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键．(1)出发秒后，求的长；(2)秒；(3)秒或秒或秒。【分析】（1）先根据速度和时间分别算出与的长度，再利用勾股定理计算的长．点Q在边BC上运动时，出发秒钟，△PQB能形成等腰三角形；综上，运动时间为秒或秒或秒时，△BCQ成为等腰三角形。【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及动点问题，熟练掌握勾股定理，灵活运用等腰三角形的分类讨论思想，结合动点的运动速度和路程关系进行计算是解题的关键．【题型九】直角三角形的动点求t（）利用三角形的面积求出，再利用勾股定理求出，进而用点运动的路程除以速度即可求解；本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．【详解】（1）解：如图，(1)若点P运动到的中点时，t的值是；【答案】(1)2(3)或（3）根据题意进行分类讨论，解答即可．本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形．故答案为：2．（2）解：连接，故4秒内，点P在上运动，(1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？【分析】本题考查了动点问题的解决方法，线段垂直平分线性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解决本题的关键．【题型十】勾股定理的新定义【分析】本题考查的是长方形的性质，垂直的定义、勾股定理的应用；熟练掌握长方形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．（2）如图，连接．②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（

）A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案；②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，∴正方形是等补四边形，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等．正确作出辅助线是解题的关键．【答案】(1)是【分析】本题是新定义题，主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识．故答案为：是；∴设两直角边长为：a、b，斜边长为c，分以下两种情况讨论：【题型十一】无刻度尺作图(1)在图1中，画出边上的高；(2)在图2中，画出边上的中线；【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解（答案不唯一）【分析】本题主要考查了基本作图．（1）根据三角形高的定义作图即可．（2）根据三角形中线的定义作图即可．（3）根据全等三角形的性质作图即可．【详解】（1）解：如图1，即为所求．（2）解：如图2，取的中点E，连接，则即为所求．【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)画图见解析．【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键．（）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；【详解】（1）解：如图，∴点即为所求；（2）解：如图，（3）解：如图，【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查了三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键．（1）根据三角形的分类进行作图即可；（2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图；（3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可．【详解】（1）解：如图，点C为所求作的点；

（2）解：如图，点C为所求作的点；（3）解：如图，点C为所求作的点；【题型一】直角边与斜边未明确【例1】若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（

）【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用及直角三角形边长的分类讨论，解题的关键是分“8为直角边”和“8为斜边”两种情况，结合勾股定理计算第三边长，避免漏解．已知直角三角形两边长为6和8，需分两种情况：当6和8均为直角边时，用勾股定理求斜边；当8为斜边、6为直角边时，用勾股定理求另一直角边；两种情况的结果均为第三边可能的长度，据此判断选项．【详解】解：设直角三角形第三边长为x，分两种情况讨论：①当6和8均为直角边时，由勾股定理得：②当8为斜边、6为直角边时，由勾股定理得：故选：C．【变式11】若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（

）【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可．故选：B．【变式12】若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为．【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可．【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边，当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边，【题型二】三角形形状不明【答案】C①当高在三角形内部时，如图，∵是高线，②在三角形外部时，如图故选：．A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D故选：D．【详解】本题有两种情况：（1）如图，∴点B到CD的距离等于点A到的距离，∴点B到的距离为；（2）如图：∴点B到的距离即的长，【题型三】立体图形最短路径路线不全

【答案】B【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，则长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，

故选：．【变式31】如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是．【答案】【分析】本题考查了最短路径，勾股定理等知识，在展开图中，根据勾股定理求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：如图：由题意可知，此时的路程最短，∴