专题22分式的加法和减法（举一反三讲义）数学湘教版2024八年级上册（原卷版）

专题2.2分式的加法和减法（举一反三讲义） 【湘教版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1同分母分式的加减】 2【题型2最简公分母】 2【题型3通分】 2【题型4异分母分式的加减】 3【题型5整式与分式的加减】 3【题型6已知分式恒等式确定分子或分母】 4【题型7分式的加减混合运算】 4【题型8分式加减的实际应用】 5知识点2分式的通分1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．2.几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母．3.通分的步骤（1）求各分式的最简公分母；（2）用这个最简公分母除以分式的分母；（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．知识点2分式的加减1.同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为ac2.异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为ab【题型1同分母分式的加减】【例1】（2024·山东临沂·模拟预测）若1x+1=A−2x+1x+1，则A是（）A．−3 B．2 C．3 D．−2【变式11】（2025·河南三门峡·二模）化简4m−2−mA．−m−2 B．m−2 C．m−2m+2 D．【变式12】若Ax+Bx−3=5xx−3+3x−13−x【变式13】（2024·河北唐山·三模）若a，b互为倒数，且a≠b，则分式a2ba−bA．0 B．−1 C．−2 D．1【题型2最简公分母】【例2】1a+1−1A．a+1a−1 B．a+1C．a−1a2−2a+1【变式21】（2425八年级下·江苏南京·期末）分式23ab，1a2b，【变式22】分式2x2(x+y)2与A．x4y4 B．(x2+y2)(x2﹣y2) C．(x﹣y)4 D．(x+y)2(x﹣y)【变式23】（2425八年级下·河南周口·期末）分式1x−2，23x+6，3x【题型3通分】【例3】将分式11−a2与分式a+1a2−2a+1通分后，a+1aA．1−a B．1+a C．−1−a D．−1+a【变式31】（2223八年级上·湖南娄底·期中）把y4x2，56xy通分，则y4x2【变式32】分式1x2−3x与1【变式33】（2324八年级上·山东聊城·期中）通分：(1)x2x−42，16x−3(2)−18x4y【题型4异分母分式的加减】【例4】（2425七年级下·安徽蚌埠·期中）观察如图佳佳计算x−3x2−4x−3x2−4+=x−3(x+2)(x−2)=x−3−x−2

③=−5

A．运算完全正确 B．第①②两步都有错C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错【变式41】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）化简m+1m−n−1A．1 B．m−nmn C．n−mmn 【变式42】（2425八年级上·天津河西·期末）已知x+5(x+1)(x−3)=Ax+1−Bx−3【变式43】（2425八年级上·四川绵阳·期末）如果a>1，那么式子5a−12与5aA．5a−12>C．5a−12【题型5整式与分式的加减】【例5】（2024·四川广安·模拟预测）已知a2−3a+1=0，则4a【变式51】计算2x−1−1，结果是（A．1x−1 B．−1 C．2x−2 【变式52】计算a2a−b−a−b【变式53】（2425七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：2x+3x+1=2(1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）．①xx−1=1+1x−1（

）；②(2)若分式4a+3a−1的值为整数，求满足条件的所有正整数a(3)若分式3x+63−2x和1x的值同时为整数，求满足条件的所有实数【题型6已知分式恒等式确定分子或分母】【例6】（2324八年级上·吉林长春·期末）阅读：分式3x−2x+1可进行如下变形：3x−2探索：如果5x−3x+2=5+mx+2，则总结：如果ax+bx+c=a+mx+c（其中a，b，c为常数），则应用：利用上述结论解决：若代数式4x−3x−1的值为整数，求满足条件的整数x【变式61】若3x−4(x−1)(x−2)=K【变式62】已知4xx2+4=Ax+Bx+Cx【变式63】（2223七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx【题型7分式的加减混合运算】【例7】（2025·江西赣州·一模）计算：aa解：原式=a=a(1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________；①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则．(2)计算：x2【变式71】（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：xx+2−x【变式72】（2324八年级上·全国·单元测试）计算：(1)12(2)3x+2(3)1−1(4)a2【变式73】计算：(1)1x(x+1)(2)2a−b−c(a−b)(a−c)【题型8分式加减的实际应用】【例8】（2425八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路a米，原计划平均每天修b米．因天气原因，平均每天少修c米（c<b）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（

）A．abbb−c B．acbb−c C．【变式81】（2425八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了千米/小时．(结果化为最简形式)【变式82】（2425九年级下·陕西西安·阶段练习）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（

）A．甲方案实惠 B．乙方案实惠C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠【变式83】（2425八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向