专题03勾股定理（期中复习讲义）（原卷版）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03勾股定理（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律勾股定理的直接应用能运用勾股定理进行直角三角形的边长计算基础必考点，选择题、填空题中出现频率较高勾股定理的逆定理能运用逆定理判定三角形是否为直角三角形概念理解、判定条件难点勾股定理的实际应用能建立数学模型解决实际问题应用能力考查，建模思想勾股定理与折叠、旋转问题能综合运用勾股定理解决几何变换问题综合能力难点，空间想象能力要求高勾股定理与方程思想的结合能运用方程思想解决复杂几何问题高阶思维能力要求高知识点01勾股定理1.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2.数学表达：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²＋b²＝c²3.适用范围：仅适用于直角三角形4.基本应用：已知两边求第三边·示例：1.如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（）A．−5 B．－2+5 C．2−5 D．2.如图在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则B到直线AC的距离为（）A．7105 B．755 C．3.若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x2＝．·易错点：未确定直角边和斜边就直接套用公式；在代数运算中忘记开平方或平方计算错误；直角三角形的条件，在非直角三角形中使用勾股定理.知识点02勾股定理的逆定理1.逆定理内容：如果三角形的三边满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形2.判定方法：计算三边平方关系，判断最大边的对角是否为直角3.基本应用：判定三角形形状，证明垂直关系·示例：1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，11 D．5，12，23·易错点：未将最长边作为斜边进行判断；计算平方时出现错误；混淆勾股定理与逆定理的使用条件.知识点03勾股定理的实际应用1.建模思想：将实际问题抽象为直角三角形模型2.常见类型：梯子问题、航海问题、距离问题、高度问题3.解题步骤：识别直角三角形→标注已知量→建立勾股关系→求解验证·示例：如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm，支架BC的长度为12cm，∠ABC＝90°，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是（）A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm2.如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为m．·易错点：实际问题中识别直角三角形困难；单位不统一导致计算错误；忽略实际意义，未验证解的合理性.题型一勾股定理的直接应用解｜题｜技｜巧1.识别直角三角形，确定直角边和斜边2.根据已知条件选择合适的勾股关系式3.注意代数运算的准确性，特别是平方和开方运算易｜错｜点｜拨在不确定哪条边是斜边时，应该将最长边作为斜边进行验证【典例1】如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示－1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（）A．22 B．1.8 C．－1＋22 D．3【典例2】数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE＝a，HG＝b，则正方形BDFA的面积是（）A．a2−b22 B．a2+b22 C．a2【典例3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明a2＋b2＝c2的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【变式1】如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，“希波克拉底月牙”的面积是（）A．18 B．410 C．24 【变式2】直角三角形的三边为a－2b，a，a＋2b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（）A．18 B．19 C．21 D．22【变式3】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1＋S4＝135，S3＝49，则S2＝．题型二勾股定理逆定理的应用答｜题｜模｜板1.确定三角形三边长度，找出最长边.2.计算较短两边的平方和与最长边的平方3.比较两者大小，得出结论4.注意：只有当a²＋b²＝c²时才是直角三角形【典例1】以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（）A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、2、3 D．8、15、17【典例2】在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足a＝m－n，b=2mn，c＝m＋n（m＞n（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）是否存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，请说明理由．【变式1】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是．【变式2】在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝32千米，AD＝123千米．（1）求小溪流AC的长．（2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）题型三勾股定理的实际应用与综合问题答｜题｜模｜板1.仔细审题，将实际问题转化为几何问题2.构造直角三角形，标注已知量和未知量3.建立勾股方程，注意单位的统一4.求解并验证答案的合理性易｜错｜点｜拨实际问题中经常需要添加辅助线构造直角三角形，这是解决问题的关键【典例1】已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，下列结论中，正确的是（）①当a2＋b2＝c2时，则∠ACB＝90°．②当∠ACB＝90°时，则a＋b＝c＋h．③当∠ACB＝90°时，则1a④当∠ACB＝90°时，则ab＝ch．A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④【典例2】华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（）米．A．317 B．20 C．15 D．【典例3】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m＝1米，n＝5米，则旗杆AB的长为米．【变式1】清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：AD是锐角△ABC的高，则BD=12(BC+AB2−AC2BC)．当AB【变式2】如图，在△ABC中，点P在△ABC内部，AB＝AC＝13，BP⊥CP于点P，BP＝8，CP＝6，求阴影部分的面积为．【变式3】（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝.（请直接写出结果）．（3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1.．下列结论中，正确的有（）①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，如果S2＋S1－S3＝16，则阴影部分的面积为（）A．6 B．4 C．5 D．83.如图，这是边长为1的3×3的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边BC上的高是．4.勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即c=a2+b2（a为勾，b为股，c5.如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C的距离CD为15cm，出水口D到点E的距离为17cm，且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为cm．6.如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口32期中重难突破练（测试时间：10分钟）1.如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD＋CE＋AF＝27，则BD＋BF的长是（）A．18 B．10＋63 C．19 D．172.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为AC上的动点，点E，F分别为AB，AD的中点，则EF最小值为（）A．54 B．52 C．653.如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为．4.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是－3，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为．5.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，已知AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是平方里．6.著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+(a−b)2，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则S△ABDSA．1+2 B．2+2 C．5−22.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（）A．36 B．42 C．48 D．523.如图，已知边长为2的正△ABC的两顶点A，B分别在直角∠MON的两边上滑动，点C在∠MON内部，则OC长的最大值为．4.如图，四边形ABDC中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝2∠D，AC＋1＝BC＋CD，AB＝3，则线段BD的长为．5.【探究发现】某校数学兴趣小组开展了如下探究活