专题22直线与圆的位置关系（举一反三讲义）数学苏教版2019选择性

专题2.2直线与圆的位置关系（举一反三讲义）【苏教版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1判断直线与圆的位置关系】 2【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】 3【题型3圆的切线长问题】 5【题型4圆的切线方程的求解】 7【题型5求圆的弦长与中点弦】 9【题型6已知圆的弦长求方程或参数】 11【题型7直线与部分圆的相交问题】 13【题型8直线与圆有关的最值问题】 15【题型9直线与圆的实际应用】 19知识点1直线与圆的位置关系及判定1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组解的情况有两组不同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离.②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.【题型1判断直线与圆的位置关系】【例1】（2425高二上·辽宁·期末）直线3x+2y+1=0与圆x+1A．相交 B．相切 C．相离 D．与r有关【答案】A【解题思路】根据圆心在直线上，判断得解.【解答过程】由题可得，圆心为−1,1，又点−1,1满足直线3x即直线3x+2y所以直线3x+2y故选：A.【变式11】（2425高二上·重庆·期末）直线l：y=x+1与圆CA．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能【答案】A【解题思路】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案.【解答过程】圆C的圆心坐标为1,0，半径为2，直线l的方程为x−圆心到直线l的距离为1−0+11+1所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选：A.【变式12】（2425高二上·福建莆田·期中）若点a,b在圆M:x2+yA．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离【答案】B【解题思路】根据点(a,b)在圆外求出【解答过程】因为点(a,b)在圆圆M:x2+y根据点到直线的距离公式，圆心(0,0)到直线ax+by=2由a2+b2>2，可得a所以直线ax+by=2故选：B.【变式13】（2425高二上·陕西西安·期中）如果a2+b2=13A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切【答案】C【解题思路】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断.【解答过程】因为圆x2+y2=2则圆心到直线的距离为ca即直线与圆相离.故选：C.【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】（2425高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx+y−1=0与圆x−22A．−34 B．1 C．34【答案】A【解题思路】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案.【解答过程】因为直线l:mx+所以圆心到直线的距离d=2m故选：A.【变式21】（2425高二上·上海闵行·阶段练习）“a=1”是直线a+1x+aA．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要【答案】A【解题思路】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可.【解答过程】当a=1时，直线为2x+2=0当直线a+1x+圆心到直线的距离d=化简得a2+2>0，显然恒成立，故不能推出所以“a=1”是直线a+1x故选：A.【变式22】（2425高二上·四川成都·期末）若圆x−a2+y2=1A．1 B．3 C．2 D．2【答案】C【解题思路】根据给定条件可知直线y=【解答过程】因圆(x−a则直线x−3y=0与圆即|a|12+所以a的值为2.故选：C.【变式23】（2425高二上·江苏南通·期中）已知直线l1:x−y+1=0关于P(1,1)A．m>−1 B．m<1 C．−1<m<1 【答案】C【解题思路】由条件求出直线l2【解答过程】设直线l2上任一点为x,y，则其关于P(1,1)的对称点∴x+a2∴2−x−2−∴直线l2∵圆C:x2∴圆心C−1,0，半径r=1−∴圆心C−1,0到直线l2:∵直线l2与圆C∴d>r，即2>1−m故选：C.知识点2圆的切线及切线方程1．自一点引圆的切线的条数：(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程：(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.(2)重要结论：【题型3圆的切线长问题】【例3】（2425高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆C:(x−3)2+(y−3)2=8，过点A．6 B．17 C．23 【答案】B【解题思路】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可.【解答过程】PC=32所以PQ=故选：B.【变式31】（2425高三下·海南·阶段练习）过点P−2,0作圆x2+y2−4y=1的两条切线，设切点分别为A．304 B．154 C．302【答案】C【解题思路】根据条件，得到圆心为M(0,2)，半径为r=5，从而得到MP【解答过程】因为x2+y2−4y=1又P−2,0，所以MP=4+4由12×AB故选：C.【变式32】（2425高二上·安徽马鞍山·期末）由点P(−1,4)向圆x2+A．3 B．5 C．10 D．5【答案】A【解题思路】将圆的方程化为标准形式，求出点P(−1,4)到圆心2,3【解答过程】圆x2+y2−4点P(−1,4)到圆心2,3的距离为d所以点P(−1,4)向圆x2+故选：A.【变式33】（2425高二上·山东临沂·期中）若圆C:x2+y2=1，点P在直线l:2x+yA．1 B．2 C．5 D．4【答案】B【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点P的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点P的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点P的最小距离就是圆心到直线的距离.【解答过程】对于圆C:x2+y根据点(x0,y0则d=根据切线长、圆半径和圆心到点P距离构成直角三角形，设切线长为|PA|，圆心到点P的距离为d，圆半径由勾股定理|PA|=d2−r2此时|PA故选：B.【题型4圆的切线方程的求解】【例4】（2425高二上·湖北·期中）已知圆x−22+y−32=rA．x−y−9=0C．x−y=0【答案】D【解题思路】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程.【解答过程】圆x−22+y−32=因此圆在点P处的切线方程为y−5=−(x−4)故选：D.【变式41】（2425高二上·吉林长春·期末）已知圆(x−2)2+(A．x+2y−7=0C．2x+y【答案】B【解题思路】由题意点P(1,3)在圆上，故由直线CP【解答过程】因为圆(x−2)2+(y−1)这表明点P(1,3)在圆上，所以直线CP的斜率为kCP=1−32−1所以该切线方程为y−3=12故选：B.【变式42】（2425高二上·山东泰安·期中）已知圆C:x+12+y+1A．5x+12y−29=0 C．5x−12y+19=0 【答案】D【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可.【解答过程】C:x+1由于1+12+2+1当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=1当切线斜率存在时，设切线方程为y−2=kx则−k+1−k+2k2+1综上所述，切线方程为：5x−12y故选：D.【变式43】（2425高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆C:x2+y2−2A．y=±12C．y=±33【答案】C【解题思路】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可.【解答过程】将P3,0代入圆方程得3C:x2+y当切线斜率不存在时，此时直线方程为x=3则设切线方程为：y=kx则有−2kk2+1=1故选：C.知识点3圆的弦长1．圆的弦长问题(1)几何法(2)代数法①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.2．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.①如图2514①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2514②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2514③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=dr，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【题型5求圆的弦长与中点弦】【例5】（2425高二上·浙江杭州·阶段练习）直线x+2y+1=0被圆(xA．25 B．35 C．45【答案】C【解题思路】求出圆心到直线的距离，再根据半径为5，利用弦长公式求得弦长．【解答过程】圆心(2,1)到直线x+2y+1=0的距离为d故弦长为2r故选：C．【变式51】（2425高二上·陕西榆林·阶段练习）直线l:y=x被圆A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解题思路】先求出圆C的圆心和半径，再运用点到直线距离公式和勾股定理即可.【解答过程】由题意得圆心(3,1)到直线l:y=故直线l:y=x被圆C:故选：B.【变式52】（2425高二上·重庆江北·期中）若直线l:x+2y=0与圆C:A．1 B．3 C．2 D．2【答案】D【解题思路】根据“几何法”求圆的弦长.【解答过程】因为：圆C：x−22+y2=圆心C到直线l的距离：d=21故选：D.【变式53】（2425高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线ax+by−a+2b=0与圆C:xA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解题思路】由题计算可得直线ax+by−a+2b=0【解答过程】直线可化为：ax−1+by+2=0，令x所以直线过定点1,−2，设P1,−2由圆C:x2+y则PC=1，则当PC⊥AB此时AB=2故选：B.【题型6已知圆的弦长求方程或参数】【例6】（2425高二上·河南濮阳·期中）已知直线l经过点P2,1，且与圆C：x+12+y−22=9相交于A，BA．x−y−1=0或7x+C．4x+3y−11=0或3x【答案】A【解题思路】根据弦长|AB|=2，利用垂径定理求出圆心到直线的距离d.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线【解答过程】已知弦长|AB|=2，半径r=3把r=3，|AB|=2代入可得当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x=2，此时圆心C(−1,2)到直线x=2所以直线l斜率不存在时不满足条件.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−1=k(根据点到直线距离公式，由圆心C(−1,2)到直线kx−y可得|−k−2−2k两边平方得(3k+1)2k2+1=8，展开得当k=1时，直线l的方程为y−1=x当k=−7时，直线l的方程为y−1=−7(x−2)故选：A.【变式61】（2425高二上·四川成都·阶段练习）已知直线3x+4y−a=0（a>0）与圆x2+yA．5 B．52 C．53 【答案】B【解题思路】由条件得到点O到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求解.【解答过程】由题知,△AOB由∣AB∣=22，及勾股定理得点故d=|−a故选：B.【变式62】（2425高二上·山东·阶段练习）直线3x−4y+10=0与以点C(−1,−2)为圆心的圆相交于A，B两点，且|A．(x+1)2C．(x+1)2【答案】A【解题思路】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可.【解答过程】点C(−1,−2)到直线3x−4所以圆C的半径为r=则圆C的方程为(x故选：A.【变式63】（2425高二上·广西南宁·阶段练习）直线y=kx+3被圆(x−2)2+A．3 B．±3 C．33 【答案】D【解题思路】由弦长为23，可得y=kx【解答过程】由题可得圆(x−2)2+(设y=kx+3到2,3距离为d，因直线y则l=2则d=故选：D.【题型7直线与部分圆的相交问题】【例7】（2425高二上·甘肃兰州·期中）曲线y=1+4−x2−2≤x≤2A．512,+∞ B．512,34【答案】B【解题思路】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点2,4，然后结合图形得到直线y=kx−2+4【解答过程】曲线y=1+4−x2−2≤所以曲线y=1+4−x直线y=kx如图所示，当直线y=kx−2+4l1与半圆相切，则−2k+4−1l2经过点−2,1，则1=k−2−2所以k∈故选：B.【变式71】（2425高二上·河北·阶段练习）若直线y=kx−1与曲线y=−1−A．0,43 B．13,43【答案】D【解题思路】结合题设易得直线y=kx−1为恒过点C0,−1的直线，曲线y=−【解答过程】由y=−1−x则曲线y=−1−x−22直线y=kx−1结合图形可知，当直线与圆相切于点B2,−1时，斜率k取得最小值，此时k当直线与圆相交于点A1,0时，斜率k最大，此时k综上所述，所以实数k的取值范围是0,1.故选：D.【变式72】（2425高二上·天津·期中）若直线y=x+b与曲线y=A．[−2,2] B．[−1,2]【答案】B【解题思路】由曲线表示的几何图形，借助直线与圆的位置关系求出范围.【解答过程】曲线y=1−x2，即在坐标平面内作出半圆C:x2当直线y=x+b与半圆C相切时，b>0当直线y=x+b过点(1,0)时，1+b=0，即当直线y=x+b在直线y=x−1此时直线y=x+b的纵截距b在当直线y=x+b在直线y=所以直线y=x+b与曲线故选：B.【变式73】（2425高二·全国·课后作业）若直线kx−y−2=0与曲线1−(yA．43,2 C．−2,−43∪【答案】C【解题思路】分x≥1和x≤−1去掉x的绝对值，作出直线kx−【解答过程】当x≥1时，曲线1−(y−1)2表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆的右半圆；当x≤−1时，曲线1−(y−1)2表示以(−1,1)为圆心，1为半径的圆的左半圆；所以曲线1−(当直线kx−y−2=0位于l1与l2直线与曲线有两个不同的交点，当直线kx−y−2=0则k−3k2当直线kx−y−2=0位于l直线kx−y−2=0位于l1与同理可得，直线kx−y−2=0位于l1与综上，实数k的取值范围是−2,−4故选：C.【题型8直线与圆有关的最值问题】【例8】（2425高二上·山西·期中）已知⊙M:x2+y2−4x−4y+4=0，直线l:2x+A．−510 B．25 C．5【答案】D【解题思路】判定直线与⊙M【解答过程】依题意，⊙M：(x−2)圆心M到直线l的距离为|4+2+4|4+1=25>2，即直线则当PA，PB分别为圆的切线，且MP最小时，sin∠APM又0<∠APM<π2，则∠APM而(sin∠APM)max所以cos∠APB的最小值为3故选：D.【变式81】（2425高二上·重庆·期中）圆C:x−22+y2=4，P是直线l:x+2y−8=0A．55 B．1655 C．【答案】B【解题思路】PC⋅MN的最小值满足四边形PMCN的面积最小，可转化为当PC最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算PC，求出【解答过程】圆C:x−22+如图所示：SPMCN当PC⋅MN最小时四边形PMCN面积最小，因为CM=2，所以当四边形PMCNPM=所以只需直线x+2y−8=0上的动点P到C此时PM=PC⋅故选：B.【变式82】（2425高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C:x2+y2−2x−4y+m=0被x(1)求m的值；(2)求四边形PACB面积的最小值．【答案】(1)−4(2)3【解题思路】（1）根据弦长和圆心到直线的距离可求得半径，利用半径可求m的值.（2）利用几何特征可得SPACB=2S【解答过程】（1）如图，设圆C与x轴交于M,N两点，则过点C作CQ⊥MN于点Q，连接CN，则∴CN=52+2∴圆C标准方程为x−12+∴m=−4（2）如图，连接PC.由题意得，PA⊥AC,PB⊥∴SPACB当CP取最小值时，四边形PACB的面积有最小值，CP的最小值为点C到直线x+y+5=0∴四边形PACB的面积的最小值为3×4【变式83】（2025高三·全国·专题练习）已知点Px,y(1)求P点到直线3x(2)求x−2(3)求y−2【答案】(1)最大值为115，最小值为(2)最大值为5−2，最小值为(3)最大值为3+34【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；（2）解法一，转化为直线x−2y−（3）首先设y−2x−1=k【解答过程】（1）圆心C−2,0到直线3x+4∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为（2）解法一：设t=x−2y，则直线∴|−2−t|1则tmax=5−2,tmin=−2−解法二：设x=−2+cosθ,y=sin∴得−2−5≤x−2y≤−2+5（3）y−2x−1表示圆上的点Px,设y−2x−1=k，即kx设d=解得3−3则kmax=3+34,k【题型9直线与圆的实际应用】【例9】（2425高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度AB=40m，拱高OP=10m，与OP相距am的支柱A1PA．5 B．53 C．15 D．【答案】C【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果.【解答过程】设拱桥所在圆心为O1，连接OO1,O设圆的半径为r，在△OBO1即r−102+易知P1在△P1P2O1中，易知故选：C.【变式91】（2425高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东30km的A处出发，径直驶向位于海监船正北40km的B处岛屿，速度为28km/h．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（

）A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时【答案】C【解题思路】以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．【解答过程】如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，由题意可知A(30,0)，B(0,40)，圆O方程x2直线AB方程：x30+y设O到AB距离为d，则d=所以外籍轮船能被海监船检测到，如图，设直线与圆交点为M,N，取MN中点H，连接OH，则所以MN=2设监测时间为t，则t=故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时．故选：C．【变式92】（2425高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向距O岛42千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐