专题02一次函数（期中复习讲义）（原卷版）八年级数学上学期新教材沪科版

专题02一次函数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律函数的相关概念能准确区分变量与常量，理解函数定义，掌握函数的三种表示方法及描点法画函数图象的步骤基础必考点，多在小题中考查对概念的理解，是后续函数学习的基础正比例函数的图象与性质能熟练掌握正比例函数的定义、图象特征（过原点的直线）及性质（k对图象象限、增减性的影响）重要基础考点，常结合一次函数考查，在小题中涉及图象、性质分析一次函数的图象与性质能掌握一次函数的定义、图象画法（两点法）、性质（k对增减性的影响），理解图象与系数k、b的关系，以及图象的平移规律核心考点，各类题型均有涉及，是函数部分的重点，常与应用、方程不等式结合考查一次函数的应用能将实际问题抽象为一次函数模型，利用函数性质解决问题，熟练掌握实际问题的解题步骤（审题、设未知数、列解析式、解决问题、得出结果）高频应用型考点，多以实际场景（如行程、销售、工程等）为背景，以解答题形式考查，难度中等一次函数与方程、不等式的关系能从“数”和“形”两个角度，理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的联系，解决相关问题重要综合考点，常与方程、不等式综合，在中档题中考查，体现函数与代数的联系知识点01函数的相关概念1、变量与常量常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量.2、函数函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.3、函数的表示方法（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.（2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式）（3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法.4、描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.知识点02正比函数的图象与性质1、正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．2、正比例函数的图象：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线.3、正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．k越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.知识点03一次函数的图象与性质1、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．2、一次函数图象的画法：两点法：经过两点（0，b）、（−b注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．3、一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．k越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.4、一次函数图象与系数的关系直线y＝kx+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；5、一次函数图象的平移将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝kx+b．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．知识点04一次函数的应用1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题.2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤：审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系；设未知数：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式；解决问题：利用函数解析式或图象的性质解决问题；得出结果.知识点05一次函数的方程、不等式的关系1、一次函数与一元一次方程的关系从“数”的角度看:求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.2、一次函数与二元一次方程（组）的关系从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．题型一根据一次函数的定义求参数解｜题｜技｜巧1.认准形式：标准式y=kx+b，两参数待定。2.单点代入：已知一点坐标，直接代数建模。3.两点联立：用两组对应值解二元一次方程组。题型二根据一次函数解析式判断其经过的象限解｜题｜技｜巧直线y＝kx+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；A．一、二、三象限B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限题型三一次函数图象与坐标轴的交点问题解｜题｜技｜巧1.求x轴交点（横截距）令y=0，解方程kx+b=0→得交点坐标。注意：当直线过原点时，此点即原点(0,0)。2.求y轴交点（纵截距**直接取x=0，代入得y=b→交点为(0,b)。(1)求直线的函数表达式；(1)一次函数的表达式；(2)求出点C的坐标；题型四根据一次函数增减性求参数解｜题｜技｜巧当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．(1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)若y是x的正比例函数，求m的值．题型五一次函数的应用解｜题｜技｜巧一次函数的实际问题解题步骤：审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系；设未知数：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式；解决问题：利用函数解析式或图象的性质解决问题；得出结果.【典例1】随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：收费方式月使用费/元包时上网时间超时费/（元）A12400.5Bmn0.6(1)如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填：；．(3)如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？(1)、两款保温杯销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？根据函数图像回答下列问题：(1)求慢车的速度；(2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围；(3)试在图中补全点以后的图象．题型六已知直线与坐标轴交点求方程的解解｜题｜技｜巧从“数”的角度看:求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.题型七根据两条直线的交点求不等式的解集解｜题｜技｜巧1.确定两条直线对应的方程。2.联立求解交点坐标，解二元一次方程组找到两直线的交点。3.分析不等式的符号方向。4.结合图像绘制辅助判断，画出草图标注交点及区域范围，尤其注意边界线的虚实（实线含等号，虚线不含）。5.处理特殊情形，若两直线平行无交点，则需单独讨论每条直线对应的不等式解集；若重合则合并为同一条件。此时不存在传统意义上的“交点”。6.写出最终解集形式。题型八求直线围成的图形面积解｜题｜技｜巧1.明确边界：确定所有参与围成的直线方程。2.求交点坐标：找出所有顶点位置。3.绘制草图：直观判断图形形状。4.选择合适的面积公式进行计算。(1)求点的坐标；(2)求直线的解析式；(1)求和的值；(2)画出函数图象（需标出坐标轴及关键点）；(4)求该函数与坐标轴围成的三角形面积．(1)求直线的解析式；期中基础通关练（测试时间：10分钟）A．1 B． C． D．无法确定A． B． C． D．…012……52…B．随的增大而减小(1)点A坐标为__________，点B坐标为__________．(1)在图中画出该函数的图象；(1)求直线l所对应的函数表达式．7．（2526八年级上·全国·期中）应用意识某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下：方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．(1)________，________；(2)求打折前的每次健身费用和的值．(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由．(1)问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？期中综合拓展练（测试时间：15分钟）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？6．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：款式成本（元/件）售价（元/件）甲7001000乙8001200根据以上信息，解答下列问题：(1)列方程（组）解应用题若该厂投入元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B