北师大版九年级上册 第1章 特殊的平行四边形 单元测试卷（含答案）

北师大版九年级上册第1章特殊的平行四边形单元测试卷一．选择题（共12小题）1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．邻边相等D．对角线相等2．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，则∠ECB的度数是（）A．15°B．30°C．60°D．75°3．如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，且OE=3，则CD的长是（）A．3B．4C．5D．64．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把▱ABCD变成“矩形”，需要增加的条件是（）A．AC=BDB．AD=BCC．AB=BCD．AB=CD5．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A．相等B．互相垂直C．互相平分D．平分一组对角6．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=（）A．20°B．30°C．40°D．50°7．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边相等8．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠D=60°，点P为边CD中点，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF=BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为（）A．9B．6C．18D．189．菱形ABCD的对角线长分别为5和8，它的面积为（）A．20B．40C．24D．3010．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．（1）以点A为圆心，任意长为

半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D；（2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；（3）分别连接DC，BC.则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形11．在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（）A．AC=BDB．∠C=∠DC．∠A=∠BD．AC⊥BD12．已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=3，∠ACB=30°，延长DC至点E，使得CE=DC，连接OE交BC于点F，则CF的长度为（）A．1B．3C．2D．3二．填空题（共5小题）13．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AC=6，BD=8，则OE的长为______．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点．若∠A=35°，则∠BCD的度数为______°．15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若OE=2，则AB的长为16．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，OE=CE，则BC的长为______．17．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，F在CD上，AE平分∠BAF，若AF=5DF，FC=3，则线段AE的长为______．三．解答题（共5小题）18．如图，在正方形ABCD中，以AD为边在AD下方作等边△ADE，连接BE、CE．求证：BE=CE．19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE=CF，连接BE、BF．求证：△BAE≌△BCF．20．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB=60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．

（1）求证：DM=ME；

（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s.

（1）经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？

（2）分别求出菱形AQCP的周长和面积．22．《九章算术》句股章[一五]问“句股容方”描述了关于图形之间关系的问题：知道一个直角三角形较短直角边（“句”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾股正方形”）

其文如下：

题：今有句五步，股十二步，问句中客方几何？

答：方三步，十七分步之九．

术：并句、股为法，句股相乘为实，实如法而一，得方一步．

“题”、“答”、“术”的意思大致如下：

问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“句容正方形”的边长是多少？

答案：3917．

解法5×125+12=6017=3917．

（1）根据“句股容方”中描述的直角三角形与其“句容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；

（2）应用（1）中的命题解决问题：

某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示．其中，E是DC的中点，点H，G在BC边上，HF垂直平分AE，垂足为F，∠BAE=∠AEG．

今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆．该菱形场地面积为19200m2，且两条对角线长度之和为400m.考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，(参考答案)一．选择题（共12小题）1、D 2、D 3、D 4、A 5、C 6、A 7、A 8、C 9、A 10、D 11、D 12、B 二．填空题（共5小题）13、2.5； 14、55； 15、2+22； 16、43cm； 17、315三．解答题（共5小题）18、证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠EAD=∠ADE=60°，AE=ED，

∴∠BAD-∠EAD=∠ADC-∠ADE，

即∠BAE=∠CDE，

又∵AB=CD，AE=ED，

∴△ABE≌△DCE（SAS），

∴BE=CE．19、证明：∵菱形ABCD，

∴BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∴∠BAE=∠BCF，

∵AE=CF，

在△BAE和△BCF中，

{AE=CF∠BAE=∠BCFBA=20、（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，

∴∠ACP=∠BCP=30°，

∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，

∴PD=PE，

在Rt△DCP和Rt△ECP中

{CP=CPPD=PE，

∴Rt△DCP≌Rt△ECP，

∴CD=CE，

在△DCM和△ECM中

{CD=CE∠DCM=∠ECMCM=CM，

∴△DCM≌△ECM，

∴DM=ME；

（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．

理由如下：∵∠DCP=30°，

∴PC=2PD，∠CPD=60°，

∵PD=PE，MD=ME，

∴当DM=DP时，PD=PE=MD=ME，则四边形DMEP为菱形，

此时△PDM为等边三角形，

∴21、解：（1）∵四边形AQCP是菱形，

∴AQ=CQ，

设CQ=x,则BQ=BC-CQ=8-x,

在Rt△ABQ中，根据勾股定理得，AB2+BQ2=AQ2，

即42+（8-x）2=x2，

解得x=5，

所以，CQ=5，

BQ=8-5=3，

∵点P，Q的速度都是1cm/s,

∴运动的时间=3÷1=3（s）；

（2）菱形AQCP的周长=4CQ=4×5=20cm,

面积=CQ•AB=5×4=20cm2．22、解：（1）命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,那么该直角三角形的“句容正方形”的边长是aba+b；

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,四边形DECF是正方形，且点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，

求证：DE=aba+b．

解法一：

证明：如图1，∵四边形DECF是正方形，

∴DE∥AC，DE=EC，

∴△BED∽△BCA，

∴DEAC=BEBC，

∴DEb=a-DEa，

∴DE=aba+b；

解法二：

如图2，连接CD，

∵四边形DECF是正方形，

∴∠DEC=∠DFC=90°，DE=DF，

∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=12•a•DE+12•b•DF=12（a+b）•DE，

∵∠ACB=90°，

∴S△ABC=12ab,

∴12ab=12（a+b）•DE，

∴DE=aba+b；

（2）去年的规划方案可行，理由如下：

设菱形场地的两条对角线长分别为2a米，2b米，

由题意得：{12•2a•2b=192002a+2b=400，化简得：{ab=9600a+b=200，

如图3，若正方形ABCD的四个顶点分别在菱形PLNQ的四条边上，且DC⊥OQ，点E在线段OQ上，则DE是Rt△POQ的“句容正方形”的边长，

由（1）得：DE=aba+b=48米，

如图4，∵E是DC的中点，

∴DC=2DE=96米，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=DC=96米，∠D=