第05讲 复数（九大重难点）（原卷版）

-2024-2025学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019必修第二册）第05讲复数一、数系的扩充及复数的有关概念1.复数的有关概念（1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且.（2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集.（3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部.2.数系的扩充3.复数相等若,则复数与相等的充要条件是且.4.复数的分类（1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数.这样,复数可以分类如下:二、复数的几何意义1.复平面（1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.（2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数.（3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.（4）原点:原点表示实数0.2.复数的几何意义（1）复数一一对应复平面内的点.（2）复数一一对应平面向量.3.复数的模向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即.如果,那么是一个实数,它的模就等于4.共轭复数（1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数.（2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则.（3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即.利用这个性质,可以证明一个复数是实数.三、复数的加减运算1.复数的加减运算（1）运算法则:设,则（2）加法运算律：对任意，有交换律结合律2.复数加减法的几何意义（1）复数加法的几何意义.如图,设复数对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是.（2）向量减法的几何意义如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应.四、复数的乘除运算1.复数的乘法法则设是任意两个复数,则2.复数的乘法的运算律对于任意,有交换律结合律乘法对加法的分配律3.复数的除法法则设,且,则.注:.4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式（1）当时,;（2）当时,重难点01复数的概念【解题必备】判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.例1．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（）A． B． C．2 D．3例2．写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)0．【跟踪练习】练习1．复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C．的虚部为 D．的虚部为1练习2．若，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．练习3．已知为虚数单位，则的虚部为（

）A． B． C． D．练习4．已知复数是纯虚数，则复数的虚部是.重难点02复数的四则运算例3．已知复数，，若，则实数的取值范围为．例4．若，则（

）A． B．C． D．【跟踪练习】练习1．复数的虚部是（

）A． B． C． D．练习2．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．练习3．已知复数，，其中．若，求的值．练习4．数学试题）已知，则（

）A． B． C．1 D．3重难点03复数的乘方运算【解题必备】有如下性质：如果，那么有例5．已知复数，则（

）A． B． C． D．1例6．（多选）设，为复数，则下列说法中正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则为纯虚数【跟踪练习】练习1．已知i为虚数单位，若，则（

）A． B． C．2 D．练习2．若，，则的取值可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1练习3．复数的虚部是实部的（

）A． B．倍 C． D．2倍练习4．若，则.重难点04复数的几何意义【解题必备】用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面:（1）熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.（2）要注意数形结合思想的运用例7．已知复数，其中是实数．(1)若，求的值；(2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围．例8．若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（

）A． B． C． D．【跟踪练习】练习1．复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限练习2．在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是．练习3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．练习4．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（

）A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴重难点05复数的相等与共轭复数【解题必备】利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据.（2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.例9．已知复数和复数．“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件例10．设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于．【跟踪练习】练习1．已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为．练习2．设，则（

）A．1 B．2 C． D．练习3．关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（

）A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称B．C．必为实数，必为纯虚数D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根练习4．（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（

）A．对应的点位于第二象限B．为纯虚数C．的模长等于D．的共轭复数为重难点06复数的模【解题必备】（1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小.（2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.例11．设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小．(1)求向量对应的复数；(2)设中点为Z，求．例12．若，则的取值集合为（

）A． B． C． D．【跟踪练习】练习1．请写出一个同时满足①；②的复数z，z=．练习2．如图，复数z对应的向量为，且|z-i|=5，则向量在向量上的投影向量的坐标为（

）A． B． C．(6.5) D．练习3．已知复数满足，的实部与虚部的积为.（1）求；（2）设，，求的值.从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）练习4．（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，则（

）A．两点在以原点为圆心的同一个圆上B．两点之间的距离为C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是重难点07复数的三角形式例13．将下列复数的代数形式化成三角形式：(1)；(2)．例14．下列复数与复数相等的是（

）A． B． C． D．【跟踪练习】练习1．欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限练习2．复数的辐角的主值为（

）A． B． C． D．练习3．计算：．练习4．复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（

）A．3 B．12 C． D．重难点08与复数有关的最值问题【解题必备】涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.例15．已知复数z满足，则的最大值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3例16．如果复数z满足，那么的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【跟踪练习】练习1．复数z满足，则复数z的模的范围是练习2．若复数满足，则的取值范围是.练习3．复数满足，则.练习4．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（

）A． B．4 C． D．6重难点09复数方程【解题必备】在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法（1）求根公式法：当时,;当时,.（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解.例17．若是关于的实系数方程的一个复数根，则.例18．已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．(1)求复数；(2)求复数