《中位数的概念》教案

《中位数的概念》教案教学目标及教学重点、难点教学目标：1.了解并掌握中位数的概念,体会其优势和研究必要性.2.感受中位数在实际情境中的意义,能应用其解决简单问题.3.在解决问题的过程中培养数据分析观念和数学运算能力.教学重点：中位数的概念及特点.教学难点：中位数在实际问题中的意义及简单应用教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入【引言】在前两节课中,我们学习了一个刻画数据集中趋势的重要统计量——平均数.它代表的是一组数据的平均水平,在我们的生活中应用十分广泛.那么,这个统计量它是不是万能的呢？是不是无论怎样的数据,都可以用平均数来很好地刻画其特征呢？下面,就让我们一起来看看小林遇到的这个问题.【问题】小林在应聘一家公司时,想要去了解其员工的薪酬水平.一位主管称全公司所有员工的平均工资为9200元.小林心想自己应聘的中层岗位应该可以达到和平均工资相近的水平,可一看合同才发现,这个岗位的实际工资仅为6000元.他又询问了公司的另外几位职员,发现他们中没有一个人达到了9200元的平均水平.小林觉得很奇怪,怀疑是那位主管提供了虚假的信息,可这位主管拿出了公司员工的具体薪酬分布表格.分析表格的意义,第一行是数据,第二行是数据出现的次数.数据的总个数为1+1+1+3+6+1+11+1=25.求平均数：由此看出,公司主管并没有说谎.在仔细分析数据的特点后可发现,只有60000、30000、18000这3个数高于平均数9200,其他数据均未达到.可由于前三个数与后面的数差距很大,对平均数的影响也大,这是一个典型的由少数极端值影响了整体平均数水平的例子.用平均数这个统计量来描述这组数据的集中趋势显然是片面的.由此,我们来引入一个新的统计量.通过一个具体问题,帮助学生感受平均数作为应用广泛的重要统计量,也有着容易被极端值所影响的局限性.由此引出学习和使用其他统计量的必要性.同时,培养学生在统计表中分析和提取信息的能力.新课【中位数的概念讲解】给出如下一组数据：1、7、3、4、9、5、10将这组数据按照由小到大的顺序进行排列,得到：1、3、4、5、7、9、10易知,这组数据的个数是7,为一个奇数.那么,一定可以找到位于其最中间位置的一个数.我们称这个中间位置的数5为这组数据的中位数.如果将数据调整为：1、3、4、5、6、7、9、10数据的个数变成了8,是一个偶数.此时,我们可以找到这组数据最中间的两个数5和6,再计算他们的平均数得到5.5.将这个平均数称为是这组数据的中位数.【中位数的概念梳理】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列,若数据的个数为奇数,则称位于中间位置的数为这组数据的中位数；若数据的个数为偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.【中位数概念的简单应用】下面通过几道练习进一步熟悉中位数这个统计量.练习1.（1）一组数据的个数为13,将其按从大到小的顺序重新排列后,中位数应是第____个数.（2）一组数据的个数为20,将其按从小到大的顺序重新排列后,中位数应是第___个和第___个数的_____.解答：由中位数的概念易得（1）第7个数.（2）第10个和第11个数的平均数练习2.一组数据中包括3个25,2个23,1个30和1个27,那么这组数据的中位数是_____.解答：数据需要先排序（此处按从大到小）得到：30,27,25,25,25,23,23.再根据定义找到中位数为25.练习3.若一组数据20,30,40,m,35,10的平均数是30,则这组数据的中位数是______.解答：需先确定字母m的值.根据平均数为30可列：,解得m=45.再将整组数据按顺序排序得到：10,20,30,35,40,45.从而易得其中位数为30和35的平均数32.5.在具体数据的例子中逐步操作给出中位数的概念,便于学生理解.在带领学生经历过具体数据的操作后,再次梳理归纳概念,便于学生完整叙述并掌握.通过几个简单例子对中位数的概念及求法进行巩固,便于学生落实掌握.例题【例1】例1.在一次男子马拉松长跑比赛中,抽得12位选手所用的时间（单位：min）如下所示：136140129180124154146145158175165148（1）这组样本数据的中位数是多少？（2）一名选手的成绩是148min,你认为他的成绩如何？解答：（1）先对数据进行整理并排序,得到124129136140145146148154158165175180数据的总个数为12,根据定义,易得中位数应是第6个数146和第7个数148的平均数,即这组样本数据的中位数是147.它代表了这12名运动员中,位于中间位置的水平.换句话说,就是有一半人的成绩比147min快,而另一半人的成绩比147min慢.（2）用中位数147来比较,148大于147,说明该选手的用时比至少一半的选手要长,即他比至少一半的选手要慢.用平均数为150来比较,148小于150,说明该选手的用时比平均用时要短,即其成绩比整组选手的平均成绩快.这里需要根据不同的需求,从不同的角度去进行数据分析,从而得到相应的结果.在比赛更关心排名、顺序等问题时,中位数作为位置代表值,应用性更强.【根据情境选择统计量】（1）了解某小区居民家庭每年的用电量水平.（2）给一批应聘者划定初试达标线,使得其中一半左右的人可以进入复试.（3）了解你所在班级同学的视力水平.解答：（1）平均数更合适（2）中位数更合适（3）根据需求和角度不同,平均数和中位数均可【例2】例2.学校开展线上防疫知识大赛,将八年级（1）班40名学生的成绩数据(百分制)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.竞赛成绩的频数分布直方图如下:b.竞赛成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：828384848585858687888889（1）求该班级学生竞赛成绩的中位数.解答：先分析统计图.横轴表示的是竞赛的成绩,分为四组.而纵轴表示的频数是每组内学生的人数,即每组中数据的个数.这组数据的总个数为40,中位数从小到大排序后的第20个与第21个数据的平均数.从图中易看出,前两组的数据个数为4+15=19,那么第20和21个数显然在80到90这一组里.该组的具体数据均以给出,所需的第20、21个数为82和83.由此,这组数据的中位数是他们的平均数82.5.（2）学校要求每班按成绩高低推荐一半左右的同学参加复赛.两个班的班长在对成绩进行初步统计后,列出了如下的表格：小江同学说：“虽然我没达到班平均,但肯定能进复赛！”而小张同学说“我超过了班平均分,却也要被淘汰了.”你是否能够判断他们来自于哪个班级？解答：是否被推荐参加复赛,取决于个人的成绩是否能排在班级的前一半里.要想晋级,成绩至少应不低于全班成绩的中位数.小江说他没有达到平均数,却可以晋级,说明他的分数应低于班平均,却高于班中位数.也就是说,他所在的班级成绩的平均数高于中位数.观察表格发现八年级2班的数据满足这个特点.同理,小张说他达到了平均分却没有晋级,说明他的成绩高于平均数却低于中位数.因此,他所在的班级中位数比平均数高.观察得,八年级1班满足这个条件.所以,所以小江来自2班,而小张来自1班.（3）你认为在本次竞赛中哪个班级的成绩更好？解答：2班同学认为自己班级的平均分高于1班,说明在这次竞赛中他们的平均水平更强.而1班的同学认为他们班级成绩的中位数高于2班,说明他们得到高分的优秀同学更多.两个班同学选取不同的统计量从不同角度对数据进行了分析和比较,都是具有实际意义的.此处的答案并不唯一.【对引入部分问题的解答】根据定义,可求出该组数据的中位数为6000.相比于平均数的9200而言,显然中位数更好的描述了该公司中层岗位的薪酬水平.如果公司主管没有只选择平均数,而是也给出其中位数作参考,小林也就不至于面对期望和现实的巨大落差了.看来,学好不同的统计量,会从不同的角度去分析和描述数据,真的是很有必要的.通过例题,巩固求一组数据的中位数的基本过程.体会中位数在实际情境中所代表的的意义,感受从不同的需求出发,选取不同的统计量从不同角度对数据进行分析,可能会得到不同的结论.关键在于具体情境的具体需要.通过几个具体情境,帮助学生体会根据需要选择统计量的重要性.培养学生阅读统计图,从图中分析和提取信息的能力.进一步经历求数据中位数的过程,体会中位数在实际情境中的意义,明确根据情境与需求,可以从不同的角度选取不同的统计量对数据进行分析.呼应本节课开篇的问题,当平均数描述数据特征有片面性时,对引入新统计量有了需求.而利用本节课学习的中位数,描述这组数据的特征更加适合.帮助学生体会学习中位数的作用与优势.总结【课堂小结】今天,我们重点学习了中位数的概念及求法.给出一组数据,先要将其按从小到大或从大到小的顺序排列好.找到这组数据的总个数,判断其奇偶性.若个数为奇数,则取最中间位置的那个数,若个数为偶数,则最中间两个数的平均数,所得到的结果即为这组数据的中位数.有时,数据是以统计图或统计表的形式给出的,那就需要我们先仔细分析,将数据进行有效的提取,再按照前面的求法操作.我们还学习了中位数的特点.它是反映数据集中趋势的位置代表量,且只与一组数据中的部分数据有关.相比于平均数,中位数更不易受极端数据的影响.在研究与中等水平,排名,顺序等相关的问题时,具有较强的实际意义,是我们进行数据分析的好帮手.对本节课所学进行归纳总结,帮助学生再次巩固求一组数据中位数的基本步骤,明确中位数这个统计量的特点、优势及作用.作业在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：（1）分别求出这15名运动员成绩的平均数和中位数.（2）若小张跳了1.75米,你认为他成绩如何？巩固落实,检测学习效果.知能演练提升能力提升1.学校朗诵比赛,共有9位评委分别给出某选手的原始评分.在评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数据特征是()A.平均数 B.中位数C.众数 D.方差2.自然数4,5,5,x,y从小到大排列后,其中位数为4.如果这组数据唯一的众数是5,那么所有满足条件的x,y中,x+y的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.63.某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统计结果如下表,对于这组统计数据,下列说法中正确的是()班级1班2班3班4班5班6班人数425052444852A.平均数是49 B.中位数是49C.众数是50 D.众数是24.根4.根据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图如图所示,则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为()A.9,8 B.8,9C.8,8.5 D.19,175.某校足球队有16名队员,队员的年龄情况统计如下:年龄/岁13141516人数3562则这16名队员年龄的中位数和众数分别是()A.14,15 B.15,15C.14.5,14 D.14.5,156.已知两组数据:3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6.若将这两组数据合并为一组数据,则这组新数据的中位数为.

7.已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3,则这三个数分别为.★8.某学校四个绿化小组,在植树节这天种下白杨树的棵数如下:10,10,x,8.已知这组数据的众数和平均数相等,则这组数据的中位数是.

9.配餐公司为某学校提供A,B,C三类午餐供师生选择,三类午餐每份的价格分别是:A餐5元,B餐6元,C餐8元.为做好下阶段的营销工作,配餐公司根据该校上周A,B,C三类午餐购买情况,将所得的数据处理后,制成统计表(如下表);根据以往销售量与平均每份利润之间的关系,制成统计图(如图).该校上周购买情况统计表种类数量/份A1000B1700C400以往销售量与平均每份利润之间的关系统计图请根据以上信息,解答下列问题:(1)该校师生上周购买午餐费用的众数是元;

(2)配餐公司上周在该校销售B餐每份的利润大约是元;

(3)请你计算配餐公司上周在该校销售午餐约盈利多少元?10.为了普及环保知识,增强环保意识,某中学组织了环保知识竞赛活动,初中各年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩(满分为100分)如下表所示:年级决赛成绩/分七80868880889980749189八85858797857688778788九82807878819697888986(1)请你填写下表:年级平均分众数中位数七85.587八85.585九84(2)请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析:①从众数和平均数相结合看,分析哪个年级成绩好些;②从平均数和中位数相结合看,分析哪个年级成绩好些.(3)如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛,你认为哪个年级的实力更强些?并说明理由.创新应用★11.我们约定:如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”.为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数,我们从该校九年级男生中随机选出10名男生,分别测量出他们的身高(单位:cm),收集并整理成如下统计表:男生序号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩身高x/cm163171173159161174164166169164根据以上表格信息,解答如下问题:(1)计算这组数据的三个统计量:平均数、中位数和众数;(2)请你选择其中一个统计量作为选定标准,找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几位男生,并说明理由.

知能演练·提升能力提升1.B2.C在自然数4,5,5,x,y中,其中位数为4,唯一的众数是5,所以x,y中一个等于2,一个等于3时,x+y最大,即x+y的最大值为5.3.B平均数为16×(42+50+52+44+48+52)=16×288=48,故选项A错误;原数据按照从小到大的顺序排列如下:42,44,48,50,52,52,第3,4两个数分别是48,50,所以,中位数是49,故选项B正确;6个数据中,52出现2次,所以众数是52,故选项C,D错误.故选4.B