27.1.3 圆周角（同步课件）-华东师大版九下

第二十七章圆27.1圆的对称性第3课时圆周角1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)2．能运用圆周角定理进行简单的证明或计算．(难点)

CAEDB思考：

图中过球门

A、E两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置

B、C、D有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角为圆周角如图(2)所示的两条射线所成的角叫做圆周角(2)(1)(3)(4)那么根据图(2)，如何用一句话概括圆周角呢？圆周角的定义·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA练习

下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.顶点A不在圆上顶点

A不在圆上边

AC没有和圆相交是是是

如图，线段AB

是☉O的直径，点

C

是☉O上的任意一点(除点

A、B外)，那么，∠ABC就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.因此，不管点

C

在☉O上何处(除点

A、B外)，∠ACB

总等于90°.思考：圆周角和直径的关系圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.特别提醒圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.例1

如图27.1-26，□ABCD

的顶点A，B，D在⊙O

上，顶点C

在⊙O的直径BE

上，连结AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是()44°54°72°53°解题秘方：紧扣直径所对的圆周角的特殊性，转化为求直角三角形锐角的度数解决问题.解：由BE

为⊙O

的直径知∠BAE=90°.∵∠E=36°，∴∠B=90°－36°=54°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC=∠B=54°.答案：B变式[中考·南充]如图，BC

是⊙O

的直径，A

是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是()58°60°64°68°A

如图，AB

是⊙O的直径，BD是⊙

O的弦，延长BD

到点C，使AC=AB.求证：BD=CD.例2方法技巧：紧扣“直径所对的圆周角是直角”结合等腰三角形“三线合一”性质求解.

如图，AB

是⊙O的直径，BD是⊙

O的弦，延长BD

到点C，使AC=AB.求证：BD=CD.例2证明：如图27.1-27，连结AD.∵AB

是⊙O

的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.

12测量：如图，连接

BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半.等于圆周角定理及其推论圆心

O在∠BAC的内部圆心

O在∠BAC的一边上圆心

O在∠BAC的外部圆心

O

与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.圆心

O在∠BAC的一边上

(特殊情形)OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠COABDOACDOABCD圆心

O在∠BAC的内部OACDOABDOABDOCADOABDCOADCOABDCOADOABD圆心

O在∠BAC的外部1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.特别提醒：“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.拓展：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.2.圆周角定理的推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.问题1

如图，OB，OC都是⊙O的半径，点

A，D

是上任意两点，连接

AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.互动探究D∴∠BAC=∠BDC.解：相等.理由如下：∵问题2

如图，若∠A与∠B相等吗？解：相等.想一想：反过来，如果∠A=∠B，那么成立吗？DABOCEF

如图27.1-28，AB

是⊙O

的直径，弦BC=BD，若∠BOD=50°，求∠A的度数.例3解题秘方：连结OC，将求BC所对的圆周角转化为求BC所对的圆心角来解.︵︵3-1.[中考·杭州]如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧

AB上.若∠ABC=19°，则∠BAC=()A.23°B.24°C.25°D.26°D

如图27.1-29，已知经过原点的⊙P

与x轴，y

轴分别交于A，B两点，点C是弧AB

上一点，则∠ACB

的度数是()80°90°100°无法确定例4解题技巧：利用“90°的圆周角所对的弦是直径”结合“直径所对的圆周角是直角”求解.解：如图27.1-29，连结AB.∵∠AOB=90°，∴AB

是⊙P的直径.∴∠ACB=90°.4-1.[中考·重庆]如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB=4，AD=3，则图中阴影部分的面积为___________.(结果保留π)圆内接多边形1.圆内接多边形：如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.

如图，四边形

ABCD为⊙O

的内接四边形.

探究性质猜想：∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系为：

∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.想一想：

如何证明你的猜想呢？∵∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α，∴同理，

证明猜想连接

OB，OD．α

β

∴圆内接四边形的对角互补.拓展：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.圆周角定理的推论2(圆内接四边形的性质):注意：●内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系.●每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.CODBA∵弧

BCD和弧

BAD所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，E延长

BC

到点

E，有∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想图中∠A与∠DCE

的大小有何关系？1.四边形

ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，

∠B=80°，则∠C=

°

，∠D=

°.2.⊙O的内接四边形

ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=

1∶2∶3，则∠D=

°.

7010090练一练例5

如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形

ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于

E，∴AB垂直平分

CD.∴AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.∴∠FGD＝∠ADC.5-1如图27.1-30，四边形ABCD

为⊙O

的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为()50°80°100°130°

答案：D1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）同弦所对的圆周角相等（）√××2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，

则∠AOB=

．166°BACO3.如图，已知

BD是

⊙O的直径，⊙O的弦

AC⊥BD于点

E，若∠AOD=

60°，则∠DBC的度数为（）A.

30°B.

40°C.

50°D.

60°A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.ABCDO4.如图，四边形

ABCD内接于⊙O，如果∠BOD=130°，则∠BCD的度数是（

）

A115°B130°

C65°D50°5.如图，等边三角形

ABC内接于⊙O，P是

上的一点，则∠APB=

.ABCPC60°∴∠ACB=2∠BAC.证明：5.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.∠AOB=2∠BOC，∵AOBC6.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布