27.1 圆的认识 第6课时 圆的对称性（五） 教案-华东师大版九下

课题：27.1圆的认识第六课时圆的对称性（五）＆.教学目标：1、理解并记住垂径定理及其逆定理。2、会用垂径定理及其逆定理进行求值计算。3、在探究垂径定理的过程中培养学生动手操作的能力，进一步体验圆的对称美。＆.教学重点、难点：重点：垂径定理、逆定理的内容及应用。难点：垂径定理及其推论的正确区分与运用。＆.教学过程：一、情景导入1、垂径定理的内容是怎样的？请将这个命题写出“如果………那么”的形式，并找出题设和结论。2、在半径为的⊙中，有长的弦.计算：（1）点与之间的距离；（2）之间的度数。3、思考：对于垂径定理可以分成几个部分，若一条直线满足：（1）垂直于弦；（2）过圆心的线（半径、直径等等），则可推出：（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.若将题设和结论交换得到新的命题，这个命题成立吗？二、探究新知§.探究垂径定理推论（1）问题1：若，是直径，那么，，吗？讨论：通过折叠得到两部分重合，且，，.猜想：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。问题2：你能用逻辑推理的方法证明你的猜想吗？已知：在⊙中，是直径，是弦（不是直径），与相交于点，且.求证：，，.解析：因为，，是公共边，所以，得，，.CEDBAO图1证明：∵CEDBAO图1∴∴，∴，∵∴，即归纳：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。问题2：（1）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所的另一条弧.这两个命题成立吗？请你加以说明。教学方法：教师引导学生类似上面进行加以证明。＆.垂径定理推论1：（1）平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.（2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所的另一条弧.注意：（1）当平分弦的条件时，被平分的弦不能是直径，否则得到的不是真命题，因为任意两条直径相互平分，但不一定相互垂直。（2）垂径定理及推论的五个元素“①直径；②平分优弧；③平分劣弧；④垂直于弦；⑤直径平分不是直径的弦.”把其中两个元素作为条件，其他三个条件作为结论，命题成立（记成“二”推“三”）。数学语言表达：（如图）（1）是直径，，，.（2）（不是直径），是直径，，.（3），是直径，，.（4）是直径，，，.………………§.探究垂径定理推论（2）问题3：如图，，那么吗？请你加以说明.MCAO图2MCAO图2BND∵∴∴，∴.＆.垂径定理推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。数学表达：∵∴三、讲解例题，巩固新知§.例1、年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长为米拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为米，求桥拱的半径（精确到米）。图3图3CAOBD图4解：如图，表示桥拱，的圆心为，半径为米。经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点.根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高.由题设得：CDO图5ACDO图5AB∴，在中，由勾股定理得：即解这个方程，得：（米）答：赵州石拱桥的桥拱半径约为米。同步练习：在直径为的圆柱油槽内装有一些油后，截面积如图，若油面宽，则油的最大深度为多少？方法点拨：1、在使用垂径定理时，一定与勾股定理结合着使用。2、垂径定理中是两个作为条件可推出三个结论。§.例2、某地有座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为米，拱顶高出水面米，现有一艘宽米，顶部为长方形并高出水面米的货轮要经过这里，如图，问此货轮可以通过拱桥吗？解析：求出当为米时，是否够米或为米时，是否够米即可解决问题。EHAFMNCDOEHAFMNCDO图6AB∴，∴，在中，由勾股定理得：即解这个方程，得：（米）在中，，若，则即∴（米）答：此货轮可以通过拱桥。方法点拨：若，则，，则，米。CPDO图7AB§.例3、如图，点在以为直径的⊙上，于，设，.CPDO图7AB（1）求弦的长；（2）如果，求的最大值，并求出此时，的值。解：（1）连结，则，∴∴.（也可根据∽求解）ECDO图8AB（2ECDO图8AB所以的最大值为，此时.四、巩固练习教材练习五、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1、理解掌握垂径定理及推论并能利