2025年中考数学真题完全解读（湖南长沙卷）

2025年中考真题完全解读（长沙卷）

2025年长沙市中考数学试卷严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》，在

考查学生基础知识、基本技能的同时，注重数学核心素养的培育，包括数学抽象、逻辑

推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等六个方面。与2024年相比，2025

年的试卷在题型设计、难度分布、知识覆盖及创新应用等方面均有所调整和优化。

试卷设计科学合理，题型多样，难度适中，既有对基础知识的全面覆盖，也有对重

难点知识的深入考查。试题情境贴近生活实际，注重数学与生活的联系，体现了数学的

应用价值。此外，试卷还注重考查学生的数学文化素养，通过融入数学史、数学文化等

元素，提升学生的数学兴趣和数学素养。以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为

唯一准绳，六大学科核心素养全覆盖，突出“三会”：会用数学眼光观察、会用数学思维

思考、会用数学语言表达。以“强省会战略、智能制造、乡村振兴、绿色湘江”四大真实

情境为主线，落实立德树人，兼顾选拔。

结构稳定，模块均衡：

数与代数(38分/31.7%)：覆盖实数、代数式、方程(组)、不等式、函数等主干知

识。

图形与几何(34分/28.3%)：重点考查三角形、四边形、圆的性质、变换、坐标、

证明与计算。

统计与概率(15分/12.5%)：聚焦数据整理、统计量应用、概率计算。

综合与实践(33分/27.5%)：强化学科内综合及跨学科应用、数学建模、解决实

际问题。

结构与难度：

总分120分，时长120分钟。题型比例：

选择题10×3＝30分

填空题6×3＝18分

解答题8题72分（含2道综合探究）

难度系数0.69（去年0.63），区分度0.45。基础题、中档题、压轴题比例≈5∶3∶2，

呈现“前松后紧”梯度，利于分层选拔。

逐题精解与命题意图

【选择题亮点】

第6题智慧农业m个机械手→列代数式10m，考查“数与式”与真实劳动场景融

合。

第9题折叠问题→轴对称性质+周长转化，难度不大，但文字+图形阅读量增加。

【填空题亮点】

第16题“第几步推理出错”→以“数学文化+逻辑辨析”呈现，引导学生关注数学法

则的严谨性。

【解答题亮点】

第22题科技兴农（二元一次方程组+一元一次不等式）

①模型构建：利润=收入－成本；

②不等式约束：总利润≥某值；

③整数解讨论：实际情境必须取整千克。

命题意图：让学生经历“真实问题→数学模型→模型求解→回到现实”的全过程。

第24题“对偶函数”

新定义：P(x,y)与Q(y,x)均在图象上，且x≠y。

①判断反比例、一次、二次函数是否满足；

②求一次函数与坐标轴围成等腰直角三角形面积；

③二次函数含参，用判别式求a的范围。

命题意图：考查现场学习能力、抽象概括、逻辑推理。

第25题圆综合探究

(1)证切线——角平分线判定；

(2)比较线段大小——切线长定理+勾股；

(3)建系求函数关系——坐标几何与相似三角形综合。

命题意图：压轴但不偏，层层递进，空间想象与代数运算并重。

相较于2024年，2025年长沙市中考数学试题在以下几个方面出现了新变化：

三“增”三“减”一目了然

增

①跨学科融合：第10题（GDP增长+地理）、第22题（科技兴农利润+经济）、第23题

（景区方位+地理），共21分；

②创新定义：第24题“对偶函数”定义题（10分），考查学生现场学习、即时迁移；

③真实数据：第20题阅读教育论坛统计图，数据来源于市教育局真实报告。

减

①纯技巧计算题减少4分；

②套路几何证明减少6分；

③机械应用题减少4分——让位于“阅读-建模-解决”链条。

试题中增加了更多需要逻辑推理、抽象思维和创新思维的题目，如探究题、开放题等，旨

在培养学生的高阶思维能力。

模块题号分值核心考点变化点

实数运算、有理数的实际应用、科

数与代数1,3,4,6,10,11,1724分学记数法、有理数的实际应用、因较去年，难度有所下降

式分解

图形与几三视图、三角形与四边形的有关知几何证明题分值增加，且压

，分5%

何2,7,8,9,14,15,19,212341识及证明、圆轴题更注重实践探究

方程与不分式方程、不等式、二元一次方程

分方程的应用更加贴近生活

等式13,16,18,2221组

统计与概

分概率计算、数据统计分析统计图表阅读难度提升

率5,12,2014

综合实践24,2520分圆的综合、函数综合创新题占比达12%

1.回归基础，强化训练：扎实掌握数学基础知识，包括概念、公式、定理等，确保

基础题不丢分。加强基础题型的训练，如选择题、填空题，提高解题速度和准确率。

数学刷题提高复习质量，数学需要实践，需要大量做题，但要从题海中解脱出来，

做题要多总结思路方法技巧，注重发现题与颗之间的内在联系，通过同类对于同类型颗

目通过比较发行规律做到出类旁通复习时需要多做习题，从习题中掌握学习的技巧，不

同的解题方法。不要在意刷题的数量，要做到每做完一道题就能明白这道题背后运用的

公式定理同类型题目的解题思路，做到举一反三，更好地掌握知识点，提高复习质量。

2.注重思维，提升能力：多做探究题、开放题，培养逻辑推理、抽象思维和创新思

维能力。学会从多个角度分析问题，灵活运用数学知识解决实际问题。

3.跨学科整合：补充地理、物理中的数学模型应用（如弧度制、简单机械原理）。

4.探究性学习：模拟第25题的“操作-猜想-证明”流程，培养逻辑链构建能力。

5.注意解题过程的规范性和计算的准确度：中考解题一定要规范，所以在复习中要

训练审题运算书写及解题技巧，运算能力是数学学习的基础,是数学考试成败的关键，每

次训练做到熟练准确，简洁迅速，是复习时要注意掌握答题技巧，把解题思路作为得分

点，比如选择填空，采用特殊指法或者排除法，减少做题时间，做解答题时灵活运用，

比如手拉手模型，一线三等角模型等构造辅助线，从而提高解题效率。

6.应试策略，错题归类：时间分配建议：选择题（20分钟）、填空（20分钟）、解

答题（基础题20分钟，压轴题60分钟）。建立“易错题库”。

2025年湖南省初中学业水平考试数学试题

（本试卷满分120分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘

贴在答题卡上指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、单选题

1．人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变

化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，用科学记数法将数据149600000表示为（）

A．1.496109B．1.496108C．1.496107D．14.96107

【答案】B

【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数

【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中

1a10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移

动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数．熟记相关结论即可．

【详解】解：∵1496000001.496108，

故选：B．

2．下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】判断简单组合体的三视图

【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答．

【详解】

解：它的左视图是．

故选：A．

3．在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作80米，那么向西走

60米记作（）

A．60米B．80米C．90米D．60米

【答案】A

【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用

【分析】本题考查正负数表示相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，向东记为正数，则向西记为

负数，据此即可求解．

【详解】解：将向东走80米记作80米，说明“向东”为正方向，与之相反的“向西”应为负方向．因此，向

西走60米应记作60米．

故选：A．

4．下列运算正确的是（）

A．2aa22a3B．6a2ba6b

7

C．aba7b7D．19613

【答案】C

【知识点】合并同类项、积的乘方运算、二次根式的加减运算

【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键．

【详解】解：A：2a与a2不是同类项，无法合并，故A错误；

B：6a2ba中，6a2b与a的字母部分不同，无法合并，故B错误；

7

C：根据积的乘方法则，ab=a7b7，等式成立，故C正确；

D：19、6、13均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误；

故选：C

5．2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公

民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家

庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：76，78，77，79，78，75，78，80．则这组数据的众数是（）

A．77B．78C．79D．80

【答案】B

【知识点】求众数

【分析】本题考查了众数的求解，根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，统计各数值出现

的次数即可求解；

【详解】解：∵78出现的次数最多（3次），

∴众数为78，

故选：B

6．智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器

人搭载m个机械手（m1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（）

A．6mB．m10C．60mD．10m

【答案】D

【知识点】列代数式

【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数

为每个机械手的效率之和．

【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数10m10m，

故选：D．

7．如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G．若∠170，

250，则GEF的度数为（）

A．50B．60C．65D．70

【答案】B

【知识点】根据平行线的性质求角的度数

【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质得到AEG250，进而根据角的和差

即可求解．

【详解】解：∵AB∥CD，

∴AEG250，

∵∠170，

∴GEF1801AEG180705060．

故选：B

8．如图，AC，BC为O的弦，连接OA，OB，OC．若AOB40,OCA30，则BCO的度数为（）

A．40B．45C．50D．55

【答案】C

【知识点】圆周角定理

1

【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出ACBAOB20，即

2

可求解．

【详解】解：∵AOB40,OCA30，

1

∴ACBAOB20，

2

∴BCOOCAACB302050，

故选：C．

9．如图，将VABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB4,BC5,AC6，则CDE的

周长为（）

A．5B．6C．6.5D．7

【答案】D

【知识点】折叠问题

【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到AEAB4，DEDB，从而

，从而CCECDDECECB即可解答．

CEACAE2CDE

【详解】解：由折叠可得AEAB4，DEDB，

∴CEACAE642，

∴CCDECECDDECECDDBCECB257．

故选：D．

10．中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行

公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元．

附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表

国家GDP总量（单位：万亿美元）国家GDP总量（单位：万亿美元）

德国4.59巴西2.33

印度3.93俄罗斯2.05

英国3.49韩国1.76

法国3.13瑞士0.93

预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：

2025年中国GDP的增．长．量．与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（）

A．法国B．瑞士C．巴西D．英国

【答案】B

【知识点】有理数乘法的实际应用

【分析】本题考查了有理数的运算，计算2025年中国GDP的增长量即可求解；

【详解】解：2025年中国GDP的增长量为：18.535%18.530.050.9265万亿美元．

∴瑞士的GDP总量0.93万亿美元与增长量0.9265万亿美元最接近；

故选：B

二、填空题

11．分解因式：mx2my．

【答案】mx2y

【知识点】提公因式法分解因式

【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可；

【详解】解：mx2mymx2y，

故答案为：mx2y

12．为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体3600名学生中，随机调查

了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计该校全体学生中，从未使

用该平台辅助学习的学生有名．

【答案】108

【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量

【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，计算出样本中从未使用该平台辅助学习的学生所

占比例即可求解．

3

【详解】解：∵3600108，

100

∴估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有108名．

故答案为：108．

32

13．分式方程的解为．

x12x1

5

【答案】x

4

【知识点】解分式方程（化为一元一次）

【分析】本题考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再

把求出的值代入最简公分母检验是否增根即可．

32

【详解】解：，

x12x1

去分母得：32x12x1，

去括号得：6x32x2，

移项得：6x2x32，

合并同类项得：4x5，

5

系数化为1得：x，

4

5

检验：当x时，

4

559627

可得：x12x11210，

44448

5

x是原分式方程的解．

4

5

故答案为：x．

4

14．如图，AB为O的弦，OCAB于点C，连接OA，OB，若ABOA，AC3，则OA的长为．

【答案】6

【知识点】解直角三角形的相关计算

AC

【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得VAOB是等边三角形；得出OAC60，根据OA6

cos60

即可求解．

【详解】解：∵ABOA，OAOB，

∴ABOAOB，

∴VAOB是等边三角形；

∴OAC60；

∵AC3，

AC

∴OA6，

cos60

故答案为：6．

15．如图，五边形ABCDE中，B120，C110，D105，则AE°．

【答案】205

【知识点】多边形内角和问题

【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可．

【详解】解：多边形的内角和为180(n2)，

∴五边形ABCDE的内角和为180(52)540，

AE540BCD540120110105205，

故答案为：205．

16．衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法

律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．

例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．

命题：如果a，b，c为实数，且满足abc．那么21．

推理过程如下：

第一步：根据上述命题条件有abc；①

第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a2aa,b2bb,c2cc；②

第三步：把②代入①，可得2aa2bb2cc；③

第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2abcabc；④

第五步：把④两边同时除以abc，得21．⑤

请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则．

【答案】五

【知识点】等式的性质2

【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可．

【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．

∴对于等式2abcabc；

当abc0时，该等式恒成立；

当abc0，两边同时除以abc，得21；

∵abc，

∴abc0

∴上述推理过程中，第五步是错误的；

故答案为：五．

三、解答题

1

120

17．计算：2213π2028．

5

【答案】22

【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂

【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．

【详解】解：原式22153122

12xx6,

18．解不等式组：

4x3x2.

【答案】7x2

【知识点】求不等式组的解集

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小

取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

12xx6①

【详解】解：

4x3x2②

解不等式①，得x7．

解不等式②，得x2．

∴不等式组的解集为7x2．

19．如图，在VABC中，ABAC,B72，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于

1

点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D．

2

(1)求BCD的度数；

(2)若BC2.5，求AD的长．

【答案】(1)36

(2)AD2.5

【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边对等角、三角形内角和定理的应用

【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可.

（1）由题意得ACBB72，根据CD是ACB的角平分线即可求解；

（2）求出BDC180BBCD72，得到CDCB；求出

ABDCACD723636．AACD．推出ADCD．即可求解；

【详解】（1）解：ABAC,B72，

ACBB72．

由作图可知，CD是ACB的角平分线，

1

BCDACDACB36．

2

（2）解：在△BCD中，由三角形内角和定理得BDC180BBCD72，

BDCB，

CDCB，

在ACD中，BDCAACD,ACD36，

ABDCACD723636．

AACD．

ADCD．

ADBC．

BC2.5，

AD2.5．

20．2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探

索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，

随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C

代表一般、D代表合格．）

等频

频率

级数

A20m

B300.30

Cn0.44

D60.06

根据图表中所给信息，解答下列问题：

(1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中m______，n______；

(2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度；

(3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参

加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一

个班级的概率．

【答案】(1)100；0.20；44

(2)72

1

(3)见解析，

3

【知识点】求扇形统计图的圆心角、频数分布表、列表法或树状图法求概率

【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能

力．

（1）根据频数分布表求出总人数即可求解；

（2）根据A等级所占比例即可求解；

（3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．

【详解】（1）解：由频数分布表可得，总人数为：300.3100（人）；

20

∴m0.20，n1000.4444，

100

故答案为：100；0.20；44

20

（2）解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：36072，

100

故答案为：72

（3）解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学

生为丙和丁，画出树状图：

一共有12种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果．

41

PA．

123

21．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BEDF．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)连接EF，若BC12，BE5，求EF的长．

【答案】(1)见解析

(2)237

【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、证明四边形

是平行四边形

【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识

点．

（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB∥CD且ABCD．结合BEDF，得出AECF．结合AE∥CF，

即可证明四边形AECF是平行四边形．

（2）过点E作EHCD于点H．根据四边形ABCD是正方形，BC12，得出

CDBC12,BBCD90．结合EHC90，证出四边形EBCH是矩形．得出

EBHC5,EHBC12．结合DFBE5，得出HF2．在Rt△EHF中，由勾股定理求出EF．

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD且ABCD．

又BEDF，

ABBECDDF．

∴AE=CF．

又AE∥CF．

∴四边形AECF是平行四边形．

（2）解：过点E作EHCD于点H．

∵四边形ABCD是正方形，BC12，

CDBC12,BBCD90．

又EHC90，

∴四边形EBCH是矩形．

EBHC5,EHBC12．

又DFBE5，

HFCDDFCH12552．

在Rt△EHF中，由勾股定理得EFEH2FH212222148237．

22．为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，

该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4

千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元．（不考虑加

工损耗）

(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？

(2)若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，

则至少需加工A等级农产品多少千克？

【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10元

(2)要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克

【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题

【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可．

6x4y112,

（1）设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，由题意得

4x2y68.

即可求解；

（2）设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品6000m千克，由题意得

128m1086000m16000．即可求解；

【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，

6x4y112,x12,

由题意得解得

4x2y68.y10.

答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10元．

（2）解：设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品6000m千克，

由题意得128m1086000m16000．

解得m2000，

答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克．

23．如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为

了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的

北偏东60方向上，位于景点A的北偏东30方向上，景点B位于景点D的南偏西45方向上．已知AB800m．

(1)求ACB的度数；

(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）

【答案】(1)30

(2)12004003m

【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)

【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．

（1）由题意可得CBE60,CAF30,BDM45,BMDM，BE∥AF∥DM．从而得出

BCMCBE60,ACMCAF30，根据ACBBCMACM即可求解．

（2）根据CBE60，得出CBM30．由（1）得ACB30．则ABCACB30，故

ABAC800．在RtACM中，解直角三角形求出AM，CM，从而求出BM．再根据

BDM45,BMDM，求出DMBM1200，即可求解．

【详解】（1）解：如图，由题意可得CBE60,CAF30,BDM45,BMDM，BE∥AF∥DM．

BCMCBE60,ACMCAF30．

ACBBCMACM603030．

（2）解：CBE60，

CBM90CBE906030．

由（1）得ACB30．

ABCACB30．

又AB800，

ABAC800．

AMCM

在RtACM中，sinACM，cosACM，

ACAC

1

AMACsinACM800sin30800400，

2

3

CMACcosACM800cos308004003．

2

BMBAAM8004001200．

BDM45,BMDM，

DMBM1200．

DCDMCM12004003m．

∴景点C与景点D之间的距离为12004003m．

22x,yx,y

24．我们约定：当x1,y1,x2,y2满足x1y2x2y10，且x1y10时，称点11与点22为一

对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下

列问题：

(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：

k

①函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（）

x

②函数y2x1一定不是“对偶函数”；（）

③函数yx2x1的图象上至少存在两对“对偶点”．（）

(2)若关于x的一次函数yk1xb1与yk2xb2（b1,b2都是常数，且b1b20）均是“对偶函数”，求这两个

函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；

(3)若关于x的二次函数y2ax21是“对偶函数”，求实数a的取值范围．

【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×）

122

(2)b1b2

2

3

(3)a

8

【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数图象所在象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题

【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”，“对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性

质进行分析得出结果；

y1k1x1b1

（2）由题意可得x2y1，y2x1，得出从而求出k11，k21，得出两个一次函数的图

x1k1y1b1

象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出

图形得出结果；

2①

y12ax111

（3）由题意可得a0，且xy时，有，整理得到2ax2x10，利用关于

112②11

x12ay112a

x1的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可．

2222

【详解】（1）解：x1y2x2y10，且x1y20，x2y10，

22

x1y20，x2y10，

x1y2，x2y1，

k

①函数y（k是非零常数）的图象上，xyxy，

x1122

满足x1y2，x2y1，故①正确；

②由题意可得x2y1，y2x1，

则点x1,y1与点y1,x1且x1y1是一对“对偶点”，

函数y2x1的图像如下图：

函数y2x1中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确；

2

215

函数yxx1x的图象上如下图，

24

由题意可得x2y1，y2x1，

则点x1,y1与点y1,x1且x1y1是一对“对偶点”，

图中不存在“对偶点”，故③错误；

故答案为：①（√）；②（√）；③（×）

（2）由题意可得x2y1，y2x1，点x1,y1与点y1,x1且x1y1是一对

“对偶点”，由于yk1xb1是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”．

y1k1x1b1

从而有，两式相减可得k11，同理可得k21．

x1k1y1b1

两个一次函数为yxb1，yxb2，由于b1，b2都是常数，且b1b20，

两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等

腰直角三角形，如下图所示

122

求得其面积之和Sb1b2；

2

2①

y12ax11

（3）由题意可得a0，且xy时，有，

112②

x12ay11

1

以上两式相减可得xy，

112a

1

从而将yx，

112a

1

代入①整理可得2ax2x10，

112a

此关于x1的一元二次方程必有实数根，

12

由于Δ18a138a0时，x1y1（不符合题意）．

2a3

3

从而必有Δ38a0，解得a．

8

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函

数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键．

25．如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的

动点，连接CD，且始终满足CDADBC．

(1)求证：CD与该半圆相切；

22ab

(2)当半径r2时，令ADa，BCb，m，n，比较m与n的大小，并说明

2a2b1a1b

理由；

(3)在（1）的条件下，如图2，当半径r1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG

41

并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EGx，CDy，求y关于x的函数解析式．（不

AEBEFG

考虑自变量x的取值范围）

【答案】(1)见解析

(2)mn，理由见解析

3

(3)y

x

【知识点】切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、函数解析式、应用切线长定理

求证

【分析】（1）如图3，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OECD于点E．

根据AD与BC均为该半圆的切线，得出ADAB,BCAB，则AD∥BC，可得M1．证明

△OAM≌△OBC，得出AMBC．根据CDADBC，得出CDADAMDM．则M2，可得

12，即CO平分BCD．又OECD,OBCB，得出OEOB，即可证明CD与该半圆相切．

（2）如图4，过点C作CMAD，交AD于点M，在VCDM中，由勾股定理可得CD2DM2CM2，根

据CDADBCab,DMab,CM2r，列等式得出r2ADBCab2，代入可得

22ababba

mn．

2a2babaabb1b1a

（3）如图5，根据CD,AD,BC均为该半圆的切线，则DADE,CBCE，证明DAG∽BCG