湖南省长沙市望城区第六中学2025~2026学年高一上册（10月）月考数学试卷（含解析）

/湖南省长沙市望城区第六中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1.若集合U={−1,2,3,6}，N={−1,6}，则A．{−1,3} B．{−1,6} C．{2,3} D．{2,6}【答案】C【解析】∵U={−1,2,3,6}，N={−1,6}，∴故选：C.2.（2025·北京）已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R取x0=x取f(x)=2x，D=R取x0=x1，则fx所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R故选A.A．∀x∉MC．∃x∈M【答案】D【解析】∀x∈M故选：D4.为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有()人A．24 B．26 C．28 D．30

【答案】C【解析】设去了洪崖洞的同学组成集合A，去了南山一棵树的同学组成集合B，去了磁器口的同学组成集合C，依题意，n(而n(A∩解得n(A∩故选：C5.（2025·北京）已知a>0,A．a2+b2>2ab B．1【答案】C【解析】对于A,当a=b时，对于BD，取a=121a对于C，由基本不等式可得a+故选C.6.已知实数a，b满足3aA．b<a<0 B．2b<a【答案】B【解析】解：设3a则a=log3当k>1时，a>0，b>0则1<a∴0<b当k=1时，当0<k<1时，a<0，b则1<a∴2综上所述，有可能成立的是2故选B7.我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为()A．12 B．52+5 C．5【答案】B【解析】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则a2又因为(a所以a+b≤5故三角形周长的最大值为52故选：B．8.若不等式a2+b2⩾2k(a+A．12 B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由不等式a2+b2⩾2k∵a2+b2故k2⩽1故选：A．二、多选题9.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A,B∈F，则A∩∁A．若U={1,2,3,4,5,6}，则F={∅,{1,3,5},{2,4,6},UB．若U={a,b,c}C．若U=Z，则存在U的一个环F，FD．若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且【答案】ABC【解析】由题意知：①∅∈F，②若A,B∈F对于A中，全集U={1,2,3,4,5,6}且F满足∅∈F且当A,B∈F对于B中，由{U的所有子集}=若F是U的子集构成的集合，所以集合F有8个元素，所以B正确；对于C中，若2∈F,所以2∪3,5=对于D中，若[0,3]∈F可得[0,3]∩∁R[3,5]=0,3∈[0,3]∩∁R0,3=3所以集合F中至少有8个元素，所以D错误.故选：ABC.10.若a,A．若a>b，则ac>bc C．若a>b,c>d，则【答案】BD【解析】对于A，当c=0时，ac对于B，因为ac>bc，所以c≠0对于C，因为a>b,c>对于D，因为a>b，由不等式的性质可知故选：BD.11.已知a，b均为正数，且2aA．1a>1bC．ab的最大值是140 D．【答案】BCD【解析】对于A：取a=b=对于B：由2a则9a当且仅当时9a+ba+4对于C：由基本不等式可知2a+5b当且仅当a=14对于D：由基本不等式可知12=2当且仅当a=14故选BCD.三、填空题12.集合A=xx2−1=0，B【答案】−【解析】A=xx2−1=0当B=⌀时，a当B≠⌀时，a≠0，B=−1a，则−1综上所述：B=故答案为：−1,013.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为−3,+∞，则关于【答案】−3,0【解析】由ax+b>0可得a>0，且方程ax+b所以−ba=−3所以ax即关于x的不等式ax2+故答案为：−3,0.14.已知关于x的方程x2+mx−2=0有两个实根x1【答案】±2【解析】方程x2+mx−2=0中，于是x1+x2=−即m2+4=8，解得m=±2故答案为：±2四、解答题15.已知集合A=x1−x1+(1)求∁U(2)若x∈B是【解析】解：（1）因为A=x|B=所以∁U∁U（2）若x∈B是x∈当C=∅时，2a−3≥当C≠∅时，2a−3<故a的取值范围为a∣16.已知有限集A=a1,a(1)判断集合−1,−2(2)若A为“完全集”，且A⊆N∗(3)若集合a,b为“完全集”，且a,【解析】解：（1）集合−1,−2−1+−2+所以集合−1,−2（2）不妨设a1<a所以a1a2⋯an−1<n于是1+a2=1×当n=3时，a1a2<3于是“完全集”A只有一个，为1,2,3；当n≥4时，由a即有n>1×2×⋅⋅⋅×n−1又n−1因此n<1×2×⋅⋅⋅×所以当n≥4时不存在“完全集”A综上：“完全集”A为1,2,3.（3）证明：若a,b是两个不同的正数，且设a+b=a⋅由Δ=t2−4t>0所以a⋅b>4，又因为a,b所以a,17.设函数f(1)若a=−2，求f(2)若不等式f((3)解关于x的不等式：f(【解析】解：（1）由函数f(若a=−2，可得f又由fx<0，即不等式−2x因为Δ=9−4×2×4<0所以不等式2x2−3x+4>0的解集为R（2）由f(x)≥−2当a=0时，不等式可化为x当a≠0，则满足a>0,Δ≤0,即所以a的取值范围是[1（3）依题意，f(x)<当a=0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为当a>0时，不等式可化为(ax+1)(所以不等式的解集为{x当a<0时，不等式化为(①当a=−1时，−1a②当−1<a<0时，−1③当a<−1时，−1a综上，当a<−1时，原不等式的解集为{当a=−1时，原不等式的解集为{当−1<a<0时，原不等式的解集为当a=0时，原不等式的解集为{当a>0时，原不等式的解集为{18.（1）已知x>0，y>0，x+2（2）证明：当0<a≤1，0<b【解析】（1）解：∵x>0，y>0∴=3+当且仅当4yx=xy∴1+（2）证明：因为0<a≤1，所以0<a2≤1，0<b2所以ab=a2b2−所以ab−12≥19.某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与