山西省山西现代双语学校南校2025-2026学年高三上学期开学测试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页山西省山西现代双语学校南校2025-2026学年高三上学期开学测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合的子集的个数是（

）A．7 B．3 C．4 D．82．若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数A． B． C． D．3．已知，，，则（

）A． B． C． D．4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（

）A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸5．若，则（

）A． B． C． D．6．已知函数为自然数对数的底数），若，，，则A． B．C． D．7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为（

）A． B． C． D．8．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递减C．关于对称 D．二、多选题9．已知a，b，c表示不同的直线，表示平面，下列四个命题中不正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．在边长为2的正中，满足相交于点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为11．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（

）A．为的中点B．与所成的角为C．平面D．三棱锥与四棱锥的体积之比等于三、填空题12．已知某篮球运动员在最近5场比赛中的得分的折线图如图所示，则该运动员得分的标准差为.13．如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是．

14．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（其中为的倒数）的最小值为．四、解答题15．某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中的值；(2)求月平均用电量的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，并从抽取的户中任选户参加一个访谈节目，求参加节目的户来自不同组的概率．16．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）证明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBE的距离；（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.《山西省山西现代双语学校南校2025-2026学年高三上学期开学测试数学试题》参考答案题号12345678910答案DBABCDBBABCAD题号11答案ACD1．D【分析】求出集合，再由子集个数为即可求解.【详解】由题意，1，，有三个元素，其子集有8个．故选：D．2．B【详解】，故选B.3．A【分析】根据向量数量积的运算律，由求得，进而由求得结果.【详解】由得：，解得：；.故选：A.4．B【分析】根据题意先求积水深9寸的水面半径，求出盆中水的体积，根据平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积即可求解.【详解】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸，所以盆中水的体积为（立方寸）．所以平地降雨量等于（寸），故选：B.5．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．6．D【分析】判断函数的单调性，比较，，大小关系，利用单调性求出．【详解】解：，故，而显然为减函数，所以，故选：．7．B【分析】根据题意，，角A的角平分线交BC于点D，可得，由可得，，在，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可知：，可求得，判断出为锐角，即可求得答案.【详解】，角A的角平分线交BC于点D

又，解得在中，由正弦定理可知：即，为锐角，故.故选：B.8．B【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可【详解】对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称，所以，又，所以，所以，即，所以函数为偶函数，故A正确；对于B：因为，所以，即，所以函数是周期为的周期函数，当时，，因为当时，函数在上单调递增，所以当时，，函数在上单调递增，故B错误；对于C：因为函数图象关于直线对称，所以，又函数是偶函数，所以，即，，所以，所以关于对称，故C正确；对于D：，又时，，所以，故D正确；故选：B9．ABC【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，或；在C中，a与b相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得.【详解】由题意知，A：若，则a与b相交、平行或异面，故A错误；B：若，则或，故B错误；C：若，则a与b相交、平行或异面，故C错误；D：若，则由线面垂直的性质定理得，故D正确.故选：ABC10．AD【分析】根据给定条件，以点为原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐项判断作答.【详解】因为是边长为2的等边三角形，是上的点，且，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系如图：

则，又因为，即为边上的一个靠近的三等分点，于是，设，则，而，由三点共线得，解得，即，因此是的中点，因为，所以，A正确；因为，，B错误；显然，，因此，C错误；又因为，所以在方向上的投影向量，D正确.故选：AD【点睛】关键点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键.11．ACD【分析】在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，推导出，由四边形是正方形，从而，进而；在B中，由，得（或其补角）为与所成角，推导出，从而与所成角为；在C中，推导出，，由此能证明平面；在D中，设，则，．由此能求出三棱锥与四棱锥的体积之比等于．【详解】解：在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，∵平面，平面，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，故A正确；在B中，∵，∴（或其补角）为与所成角，∵平面，平面，∴，在中，，∴，∴与所成角为，故B错误；在C中，∵四边形为正方形，∴，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，故C正确；在D中，设，则，．∴，故D正确．故选：ACD．12．2【分析】由折线图写出每场比赛的分值并求，由求方差，进而可得标准差.【详解】由图知，该运动员5场比赛的得分分别为10，13，12，14，16，则平均数为，∴方差为，所以标准差为2.故答案为：2.13．【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.

考点：异面直线的夹角.14．3【分析】先运用三角函数的两角和公式、二倍角公式，将原式化简为，结合均值不等式，即可求解．【详解】，，，，，，，，，，当且仅当，即，的最小值为3，故答案为：3．15．(1)(2)中位数是，平均数是(3)【分析】（1）根据频率之和为，可得解；（2）根据频率分布直方图的中位数及平均数公式计算；（3）利用列举法计算古典概型的概率.【详解】（1）由，得，所以直方图中的值是；（2）中位数：因为，且，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，解得，所以月平均用电量的中位数是．

平均数：；（3）月平均用电量在的用户有户，月平均用电量在的用户有户，月平均用电量在的用户有户．抽样方法为分层抽样，在，，中的用户比为，所以在，，中分别抽取户、户和户．设参加节目的户来自不同组为事件，将来自的用户记为，，，来自的用户记为，，来自的用户记为，在户中随机抽取户，，共包含个样本点，其中，包含的样本点个数为，故参加节目的户来自不同组的概率．16．（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】(1)利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面.(2)在三棱锥中，利用等体积法求点到面的距离.(3)先作出所求二面角并证明，再用解三角形知识求解.【详解】(1)证明：连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB//CD，所以因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.又平面PAB，平面PAB，AB∩PA=A，所以BE⊥平面PAB，又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB.又PA=2，AB=1，所以.因为正三角形BCD中，BC=1，E是CD的中点，所以.因为BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB，所以因为，PA⊥底面ABCD，设点D到平面PBE的距离为d，所以，而所以，即点D到平面PBE的距离为.(3)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线.取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI.由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形，因为H是AD的中点，所以.因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥BH.又平面PAD，平面PAD，AD∩