浙江省丽水市龙泉市2023-2024学年九年级第一学期数学期中考试试卷（含答案）

第第页浙江省丽水市龙泉市2023-2024学年九年级第一学期数学期中考试试卷一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝12x－2 D．y＝x22．下列事件中，随机事件是（）A．6-5=1 B．打开电视机正在播报新闻C．水中捞月 D．太阳从西边升起3．任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是（）A．14 B．13 C．14．二次函数y＝(x－2)2－3的顶点坐标是（）A．(－2，－3) B．(－2，3) C．(2，3) D．(2，－3)5．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．40° B．80° C．60° D．70°6．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点(1，2)，则a的值是（）A． B． C．2 D．47．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠CAB＝35°，则∠D＝（）A．35° B．55° C．65° D．70°8．设A(－5，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y29．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为（）A．3 B．5 C．23 D．2510．若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（）A．-或-3+172 B．C．2或-3+172 D．-2二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)11．20瓶饮料有3瓶已过保质期，从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是.12．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，则OP的长为.13．将抛物线y＝－x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是.14．正五边形的一个外角的度数是°.15．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=-110x2+35x+8516．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝4，∠CAB＝60°，P是弧BC上的一个动点，连结AP，过点C点作CD⊥AP于点D，连结BD，在点P移动的过程中.（1）AC＝；（2）BD的最小值是.三、解答题(本题有8小题,第17～19题每题6分,第20,21题每题8分,第22,23题每题10分,第24题12分,共66分,各小题都必须写出解答过程)17．已知二次函数y＝x2＋bx＋c经过点A(0，3)，点B(1，2).（1）求b，c的值；（2）求该二次函数的对称轴.18．一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球.（1）摸出一个球是红球的概率；（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E.（1）求证：BD＝DC；（2）若∠BAC＝40°，求弧DE的度数.20．请按要求作图，并保留作图痕迹.（1）如图1，AB是圆的一条弦，用直尺（无刻度）和圆规在图中作圆的一条直径；（2）如图2，正五边形ABCDE内接于圆，仅用直尺（无刻度）作出一条直径.21．测算石拱桥拱圈的半径素材1在日常生活中，如果没有带测量工具，那么我们可以用身体的“尺子”来测量，比如前臂长(包括手掌、手指)称为1肘(如图1)，现利用该方法测得一块矩形花岗岩的长和高(如图2)．素材2某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径(如图3)，石拱桥由以上矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连结(花岗岩的各个顶点落在上、下花岗各边的中点，如图3所示).素材3通过观察发现A，B两个点都在拱圈上.A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩连结顶点处，B是花岗岩的顶点(如图4).问题解决任务1获取数据通过观察、计算A，B两点之间的水平距离及铅垂距离(高度差).任务2分析计算通过观察、计算石拱桥拱圈的半径.注：测量、计算时，都以“肘”为单位.22．某书店销售儿童期刊，一天可售出20套，每套盈利30元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施.若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套.设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元.（1）求y关于x的函数表达式；（2）若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？（3）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？23．已知关于x的二次函数y＝ax2－2ax＋3a－2(a≠0)，经过点A(x1，y1)，B(x2，y2).（1）若此函数图象过点(2，4)，求这个二次函数的表达式；（2）若x1＝3x2时，y1＝y2＝7时，求x2的值；（3）若0＜a＜3，当x1＜x2，且x1＋x2＝a－1时，求证：y1＞y2.24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.（1）求证：AD=AF；（2）求△ABD的周长；（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、该函数为一次函数，则本项不符合题意；

B、该函数为一次函数，则本项不符合题意；

C、该函数为一次函数，则本项不符合题意；

D、该函数为二次函数，则本项符合题意.故答案为：D.【分析】根据二次函数的定义：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数且a≠0）的函数叫做二次函数，据此逐项分析即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、6-5=1为必然事件，则本项不符合题意；

B、打开电视机正在播报新闻为随机事件，则本项符合题意；

C、水中捞月为不可能事件，则本项不符合题意；

D、太阳从西边升起为不可能事件，则本项不符合题意.故答案为：B.【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是：P=1故答案为：C.【分析】根据概率的计算公式计算即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数为：y=x-22-3，

∴故答案为：D.【分析】在二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中，顶点坐标为（h，k），据此即可得到二次函数的顶点坐标.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB⏜=AB故答案为：A.【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=126．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点1，2，

∴将点（1，2）代入y=ax故答案为：C.【分析】将点（1，2）代入二次函数解析式中，即可求出a的值.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=35°，

∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，

∵AC⏜=AC⏜故答案为：B.【分析】根直径所对的圆周角为直角得到：∠ACB=90°，进而根据直角三角形的量锐角互余求出∠ABC的度数，最后同弧所对的圆周角相等：∠ABC=∠ADC，可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：由抛物线的解析式知：抛物线开口向下，对称轴为：x=-1，

∴抛物线上的点离抛物线对称轴越远，函数值越小，

∵1--1<2-故答案为：y2【分析】由抛物线的解析式知：抛物线开口向下，对称轴为x=-1，则得到抛物线上的点离抛物线对称轴越远，函数值越小，据此即可求解.9．【答案】D【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于点C，连接OB，如图：∴AB=2BC，

∵OC⊥AB，∠P=30°，

∴OC=12OP=2，

在Rt△BCO中，OC=2，BO=3，

∴BC=BO2【分析】过O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据含30°角直角三角形的性质求出OC的长度，再在Rt△BCO中，利用勾股定理求出BC的长度，最后根据垂径定理得到AB=2BC，即可求解.10．【答案】B【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+b2，

∴二次函数图象开口向上，对称轴为x=-b2，

①当b<-b2<b+3时，即-2<b<0，

∴当x=-b2时，y=34b2为最小值，

∴34b2=15，

解得：b=±25舍，

②当-b2≤b时，即b≥0，

在自变量x满足b≤x≤b+3的情况下，y随x增大而增大，

∴当x=b时，y=3b2为最小值，

∴3b2故答案为：B.【分析】由二次函数解析式知：二次函数图象开口向上，对称轴为x=-b2，然后分三种情况讨论，①当b<-b2<b+3时，②当11．【答案】3【解析】【解答】解：∵20瓶饮料有3瓶已过保质期，

∴从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是：P=故答案为：320【分析】根据概率计算公式，计算即可.12．【答案】5【解析】【解答】解：∵点P在⊙O上，

∴点到圆心的距离等于圆的半径，

∴OP的长为5.故答案为：5.【分析】根据点P在⊙O上，得到：点到圆心的距离等于圆的半径，据此即可求解.13．【答案】y=－x2＋2【解析】【解答】解：∵抛物线y＝－x2向上平移2个单位，

∴得到的抛物线的解析式为：y＝－x2+2故答案为：y＝－x2+2.【分析】根据抛物线的几何变换规律：上加下减，左加右减，据此即可求解.14．【答案】72【解析】【解答】解：∵正多边形的每一个外角均相等且外角和为360°，

∴正五边形的一个外角的度数是：360°5故答案为：72.【分析】根据正多边形的每一个外角均相等且外角和为360°，据此即可求解.15．【答案】8【解析】【解答】解：∵y=-110x2+35x+故答案为：8.【分析】将y=0代入函数解析式，算出对应的自变量的值，即可求出小宇此次实心球的训练成绩.16．【答案】（1）2（2）13【解析】【解答】解：（1）连接BC，如图：

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠ABC=90°-∠CAB=30°，

∴AC=12AB=2；

故答案为：2；

∵CD⊥AP，

∴∠ADC=90°，

∴在点P移动的过程中，点D在AC为直径的圆上运动，

在Rt△ABC中，BC=32AB=23，

∵AC=2，

∴O'C=O'D=1，

在Rt△BCO'中，BO'=O'C2【分析】（1）连接BC，根据"直径所对的圆周角为直角"得到：∠ACB=90°，进而结合已知条件求出∠ABC的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解；

（2）以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，在点P移动的过程中，点D在AC为直径的圆上运动，当O'，D，B三点共线时，BD最小，最小值为O'B-O'D，利用勾股定理求出BO'的长度，即可求解.17．【答案】（1）解：把A（0，3），B（1，2）代入y＝x2＋bx＋c，

得c=31+2b+∴b=－2，c=3；（2）解：∵a=1，b=－2，

∴二次函数的对称轴为x=-【解析】【分析】（1）把点A和点B的坐标代入二次函数y＝x2＋bx＋c，即可求出b和c的值；

（2）由（1）中的解析式得：a=1，b=－2，最后根据二次函数的对称轴为x=-b18．【答案】（1）解：∵布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球，

∴摸出一个球是红球的概率为：P=2（2）解：根据题意画出树状图如下，

由图可知：共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的情况数有4种，

所以两次摸到红球的概率为49【解析】【分析】（1）根据概率计算公式计算即可；

（2）根据题意画出树状图，由图可知：共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的情况数有4种，从而根据概率计算公式计算即可.19．【答案】（1）证明：连结AD，如图：

∵AB是直径，

∴AD⊥BC，∵AB=AC

∴BD=DC；（2）解：连接OD、OE，如图：

∴∠DOE为弧DE的度数，

∵AB=AC，AD⊥BC∴∠DAE=12∠BAC=20°

∴∴弧DE的度数为40°.【解析】【分析】（1）连接AD，根据"直径所对的圆周角为直角"得到：AD⊥BC，最后根据等腰三角形性质即可证明BD=CD；

（2）连接OD、OE，则∠DOE为弧DE的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DAE的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠DOE的度数，进而根据弧、弦及圆心角之间的关系可得答案.20．【答案】（1）解：如下图，线段EF即直径；

（2）解：如下图，线段DN即所求直径.

【解析】【分析】（1）作AB的中垂线，与圆交于两点E，F，线段EF即直径；

（2）连结AC，BE交于点K，连结DM并延长交圆与点T，则线段DT即所求直径.21．【答案】解：任务1：由素材1得：一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘，

由素材2和3得：A、B两点间的水平距离为5.5块花岗岩的长，即5.5×2=11，

A、B两点间的高度差为7块花岗岩的宽，即7×1=7，

∴水平距离11肘，铅锤距离7肘，

任务2：过点B作水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为D，作PQ⊥AD于Q，则圆心在AD所在的直线上，记圆心为O，连接PO、BO，如下图：

∴BD=11，PQ=8，QD=4，AQ=3，

设OD为m，则OQ为4+m，

在Rt△OQP中，OP2=OQ2+PQ2，

∴OP2=4+m2+82，

在Rt△ODB中，OB2=O【解析】【分析】（1）任务1：根据图中的水平花岗岩的数量和铅垂距离的块数，用数量乘以对应的单位即可；

（2）任务2：过点B作水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为D，作PQ⊥AD于Q，则圆心在AD所在的直线上，记圆心为O，连接PO、BO，根据勾股定理计算即可.22．【答案】（1）解：由题意得：y=(30－x)(20＋2x)=－2x2＋40x＋600；（2）解：将y=750代入（1）所得函数解析式得(30－x)(20＋2x)=750化简得：x2－20x＋75=0∴x1=15，x2=5∵为了尽快减少库存∴x=15答：需要降价15元.（3）解：y=(30－x)(20＋2x)=－2x2＋40x＋600=－2（x－10）2＋800∵0<x<30∴当x=10时，y最大=800【解析】【分析】（1）根据利润等于每本书的利润乘以销售量，即可得到y关于x的函数表达式；

（2）结合（1）中的函数表达式，令y=750，结合"书店为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存"，求出x的值即可求解；

（3）根据二次函数的性质，求出x取何值时，函数存在最大值即可.23．【答案】（1）解：把（2，4）代入y＝ax2－2ax＋3a－2得：4a－4a＋3a－2=0解得：a=2∴y=2x2－4x＋4；（2）解：由题意得：对称轴为直线x=1，∴x2+3x2（3）证明：由题意得：y2－y1=（ax22－2ax2＋3a－2）－（ax12－2ax1＋3a－2）=a（x2－x1）（x2＋x1－2）∵x1<x2，

∴x2－x1>0∵x2＋x1=a－1，

∴x2＋x1－2=a－3∵0<a<3∴x2＋x1－2<0∴y2－y1<0∴y1>y2【解析】【分析】（1）把点（2，4）代入y＝ax2－2ax＋3a－2即可求出a的值，进而得到函数表达式；

（2）根据y1=y2=7，求出函数的对称轴x=x2+3x22=1，进而求出x2的值；