数学试卷（G3）+曲靖一中期中考试2025

曲靖一中2026届高三年级教学质量检测（三）

数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

4．本试卷共4页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

．已知数列的前项和2，，则的值为()

1{an}nSn=kn+2na2=5k

A．2B．-2C．1D．-1

2．已知全集U={1,2,3,4,5},A∩B={2,4},AUB={1,2,3,4}，则()

A.2∈A,2∈BB.3∈A,3∈B

C.4∈A,4∈BD.5∈A,5∈B

6

3．(x-y)的展开式中，x4y2的系数为()

A.15B.30C.45D.60

2

4．若随机变量X服从正态分布N(2,σ)，且P(2≤X<6)=0.4，则P(X<2X>2)=()

A．B．C．D．

--

5．若非零向量a，b相互垂直，且，则满足cos的k的值为()

A．±4B．2C．±2D．-2

6．已知X>0，Y>0，XlnXYlnYe，XY=e，则XlnYYlnX=()

A.eB.eC.1D.

数学试卷第4页（共4页）

----→--→

7．在VABC中，E、F分别为BC、AB边上的中点，AE与CF相交于点G，设A=，A=b，且B=+μb，

则λ+μ的值为()

A．B．C．D．1

2

8．定义域为R的函数f(x)满足f(x)=6(x-2k)，x∈[2k-1,2k+1)，k∈Z，且函数

2

g(x)=ax+x+c满足对任意x1,x2∈R，都有g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+2，则方程f(x)=g(x)解

的个数为()

A.6B.7C.8D.9

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知a>b>0，则下列选项正确的有()

A.5a<5bB.a-3<b-3

C.D.log0.6(a+1)<log0.6(b+1)

．已知复数，则下列结论正确的有()

10z1,z2

．22．

Az1=z1B

C．D．z1-z2=z1-z2

11．函数f(x)=sin(x2-x)，下列说法正确的是()

A．f(x)是周期函数B．f(x)最大值是1

C．f(x)图像至少有一条对称轴D．f(x)图像至少有一个对称中心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的4倍，则该圆锥的母线长为________．

数学试卷第4页（共4页）

13．若tanα=2，tan则sin2β=________．

14．已知函数f(x)=cos(wx+φ)(w>0)是奇函数，且存在正数a使得函数f(x)在[0,a]上单调递增.若函数

f(x)在区间上取得最小值时的x值有且仅有一个，则w的取值范围是．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AA1=AB=2AD，

。，

LD1DC=60，平面DCC1D1丄平面ABCD，点E,F分别为棱CC1AA1的中点.

（1）证明：B,E,D1,F四点共面；

（2）求平面BD1E与平面A1B1C1D1夹角的余弦值．

16．（15分）在直角梯形ABCD中，AD//BC,LABCLBDC边BC的长度为定值a，其余三

边的长度可变．

（1）当△BCD为等边三角形时，AD，求a的值；

（2）设LABD=θ,求AD的最大值．

17．（15分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)，O为坐标原点，若直线y=kx+4与C交于A、B为两

点，且以线段AB为直径的圆过点O．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若M，N是C上与O不重合的两点，且△OMN的内切圆的圆心为D(0,2)，求内切圆D的半径r．

数学试卷第4页（共4页）

18．（17分）已知函数f(x)=e2x-2(a+1)ex+2ax+2a+1(a>0).

（1）求函数f(x)在x=0处的切线方程；

（2）讨论函数f(x)的单调性；

（3）若函数存在两个零点，，且，求实数的取值范围．

f(x)x1x2x1+x2>0a

n

19．（17分）已知等差数列{an}与等比数列{bn}满足a1=1，b1=2，(an+an+1)(bn+bn+1)=(6n+3).2．

（1）求{an}，{bn}的通项公式；

（2）记cnSn为数列{cncn+1}的前n项和．

（i）求Sn；

(ⅱ)若当n=N时，以Sn，Sn为三边无法构成一个三角形，求N的最大值．

数学试卷第4页（共4页）

曲靖一中2026届高三年级教学质量检测（三）

数学参考答案

题号1234567891011

答案CDACDBABBDBCBC

2

1.C【详解】由Sn=kn+2n可得：a2=S2一S1=(4k+4)一(k+2)=3k+2，

则3k+2=5，解得：k=1.故选：C.

2.D【解析】对于A，由A∩B={2,4}，可得2∈A,2∈B，所以A不正确；

对于B，由A∩B={2,4},AB={1,2,3,4}，则3∈A,3∈B或3∈A,3∈B，所以B不正确；

对于C，由A∩B={2,4}，可得4∈A,4∈B所以C不正确；

对于D，由AB={1,2,3,4}，则5∈A,5∈B，所以D正确.

6的展开式中rr6一rr

3.A【解析】(x一y)，有Tr+1=C6x6一r(一y)r=(一1)rC6xy，

则42的系数为24故选：．

xy(一1)C6=15A

4.C【解析】由题可知该正态分布的均值为2，其图象的对称轴为直线x=2，

则P(X<2)=P(X>2)=0.5，又P(2≤X<6)=0.4，

由对称性可知P(X<一2)=P(X≥6)=0.5一0.4=0.1，

由条件概率公式得P故选：C．

----

5.D【解析】因为向量a，b相互垂直，且a=2b-，不妨设a=(2,0)，b-=(0,1)，

则cos一k解得k=一2.故选：D．

【解析】由lnXlnY

6.BXY=·、，XY=e，

则ln(XlnXYlnY)=ln2X+ln2Y=ln=，ln(XY)=lnX+lnY=lne=1，

2

所以(lnX+lnY)=+2lnXlnY=1，则lnXlnY

lnYlnXlnYlnX

则ln(XY)=2lnXlnY=，所以XY=·、.故选：B.

7．A【解析】】连接BG，延长交AC于O，作图如下：

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容易知：G点为重心，故而：而又：

----→

BA=-，B=b-，代入上式得

故则.故选：A.

8.B【解析】g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+2中取x1=0，x2=0，得g(0)=-2，即c=-2，

得2

取x1=x，x2=-x，g(x)+g(-x)=-4，即2ax-4=-4，所以a=0，

得g(x)=x-2，f(x)是周期为2的周期函数，f(x)∈[0,6]，作出函数f(x)的图象及直线y=x-2，

可得两图象有7个交点，故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.BD【解析】对于A，因为函数y=5x在R上单调递增，且a>b>0，所以5a>5b，故A错误；

对于B，因为函数y=x-3在(0,+∞)上单调递减，且a>b>0，所以a-3<b-3，故B正确；

对于C，因为且a>b>0，

所以b-a<0，故所以，故C错误；

对于D，因为a>b>0，所以a+1>b+1>0，又因为函数y=log0.6x在(0,+∞)上单调递减，所以

log0.6(a+1)<log0.6(b+1)，故D正确.故选：BD

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10．BC【解析】设z1=a+bi,z2=c+di，其中a,b,c,d∈R，

22222222

对于选项A：z1=(a+bi)=a-b+2abi，z1=(a-bi)=a-b-2abi，

因为2ab与-2ab不一定相等，故选项A错误；

对于选项B：因为===，

)

所以(|=，

(,

因为===，所以故选项B正确；

对于选项C：设z1=r1(cosθ+isinθ),z2=r2(cosα+isinα),r、1r2∈R且r1>0,r2>0,θ、α∈R，

则=2θ+sin2θ==2+sin2=

z1r1·、cosr1,z2r2·、cosααr2，

所以===

r1

==icos(θ-α+)sin(θ-α)ii

r2

cos2sin+故选项C正确；

对于选项D：因为z-z=(a-c)+(b-d)i所以-=z-z=·、ia2+b2-·、

12，z1z2、，12，

如当时·、i22

a=1,b=2,c=3,d=4·、=2，a+b-·、=·、-5=5-·、，

两者不相等，故选项D错误.故选：BC.

11.BC【解析】A.若函数是周期函数，则

2

f(x+T)=sin(x+T)-(x+T)=sin(x2+2Tx+T2-x-T)=sin2-x)，

那么2Tx+T2-T=2kπ,T与x有关，不是常数，故f(x)不是周期函数，故A错误；

2

()

B.设y=sint，t=x2-x=x--≥-，则y=sint的最大值为1，故B正确；

|(,

22

C.若x=m是函数的对称轴，则f(x+m)=f(m-x)，即sin(x+m)-(x+m)=sin(m-x)-(m-x)，

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则sin(x2+2mx+m2-x-m)=sin(x2-2mx+m2+x-m)，所以2mx-x=-2mx+x+2kπ,mk∈Z，

若m与x无关，则k=0，所以函数f(x)的对称轴是x，故C正确；

2

D.若(a,b)是函数的对称中心，则f(2a-x)=2b-f(x)，即sin(2a-x)-(2a-x)=2b-sin(x2-x)，

即sin(x2+x-4ax+4a2-2a)+sin(x2-x)=2b，显然，b随着x的变化而变化，所以函数没有对称中心，故

D错误.故选：BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.【答案】4【解析】设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl=4πr2，所以l=4r=4．

13.【答案】【解析】因为tanα=2，tan(α-β)=，

所以tanβ=tan

由二倍角的正弦公式得sin2β=2sinβcos故答案为：

14.【答案【详解】解：根据题意，函数f(x)=cos(wx+φ)(w>0)是奇函数，则该函数过坐标原点.

存在正数a使得函数f(x)在[0,a]上单调递增,则可将f(x)=cos(wx+φ)(w>0)等效转化为f(x)=sinwx.

观察区间，可将其分为在图象中前者宽度为后者的二倍.则条件可转化为：

函数f(x)=sinx在区间[-2β,β]上取得最小值时的x值有且仅有一个，（其中

画出f(x)=sinx图象，通过绘制关键点发现，当时，满足题意，如图所示：

)

即可得0<w<故答案为：(|0,.

(,

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.【解析】(1)取DD1中点G，连接AG，EG，则有DG//CE，DG=CE，

所以四边形CDGE为平行四边形，所以CD//EG，CD=EG，

又因为AB//CD，AB=CD，所以AB//EG，AB=EG，

所以四边形ABEG为平行四边形，所以BE//AG，BE=AG，

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又因为AF//D1G，AF=D1G，所以四边形AGD1F为平行四边形，

，

所以AG//D1F，所以BE//D1F，所以B，ED1，F四点共面.........6分

（2）取DC中点O，AB中点M，连接D1O，OM.

o

因为AA1=AB，上D1DC=60，所以侧面DCC1D1是菱形，

所以D1O丄DC，

因为平面DCC1D11平面ABCD，平面DCC1D1∩平面ABCD=CD，D1O平面DCC1D1，

所以D1O丄平面ABCD，进而有D1O丄OM，D1O丄OC，

，

因为底面ABCD是矩形，所以OM//OC，所以OM，OCOD1两两互相垂直.

如图所示建系，..........................................................9分

由知平面，所以是平面的一个法向量

(1)D1O丄ABCD=(0,0,1)A1B1C1D1.

––––––()

设=，则D0,0,，B1,1,0.因此DB=1,1,-，DE=0,,-.

AD11()()1()1|

(,

设=平面的法向量，则，，

(x,y,z)D1BE丄D1B丄D1E

所以所以

取y=1，则x=，于是=(21)是平面DBE的一个法向量11分

2z=.,,1..........

设平面BD1E与平面A1B1C1D1夹角为θ,cos

即平面BD1E与平面A1B1C1D1夹角的余弦值为..............................13分

16.【答案】（1）a=2（2）2+

【解析】（1）当△BCD为等边三角形时，因为AD//BC，所以上ADB=上DBC

BD

则在Rt△ADB中，

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故BC=BD=2，即a=2．.............................................6分

设上ABD则上CBD上BCD

BCBD

在△BCD中，由正弦定理可得=，

sin上BDCsin上BCD

则BDsinsin......................9分

则在Rt△ADB中，AD=BDsinθ=4sinsinsinθ

2)

=2sinθ+2sinθcosθ=sin2θ-cos2θ+=2sin|(2θ-+.............12分

(,

因为所以

所以当时上式取得最大值2+，

即AD的最大值为2+．.....................................................15分

2

17.【答案】（1）x=4y（2）2-2

与22

【解析】（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，y=kx+4x=2py联立得x-2pkx-8p=0，

所以x1+x2=2pk，x1x2=-8p，...................................................3分

-----→

OA=(x1,y1)=(x1,kx1+4),OB=(x2,y2)=(x2,kx2+4)

因为以线段AB为直径的圆过点O，

-----→

所以2

OA.OB=x1x2+(kx1+4)(kx2+4)=(1+k)x1x2+4k(x1+x2)+16

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.

=-8p(1+k2)+8pk2+16=16-8p=0，所以p=2，故C的方程为x2=4y.................7分

设Mx3>0,x4<0)，则线段OM的斜率为，直线ON的斜率为，

由内切圆性质可得，点D(0,2)在上MON的平分线上，所以x4=-x3，..........9分

所以直线OM的方程为x3x-4y=0，直线MN的方程为y，

由点D到直线OM，MN距离相等得...................................11分

则，22，所以化简得3，

设tt>4x3=t-16t-24t-32=0

即t(t2-16)-8(t+4)=(t+4)(t2-4t-8)=0，因为t>4，故t+4≠0，

所以t2-4t-8=0，解得t=2-2（不符合题意舍去）或t=2+2，

所以22，所以...........15分

x3=t-16=8r2.故内切圆D的半径r=2-2.

18.【答案】(1)y=0(2)答案见解析(3)(1,+∞)

【详解】（1）因为f(x)=e2x-2(a+1)ex+2ax+2a+1(a>0)，

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.

所以f(0)=0，f,(x)=2e2x-2(a+1)ex+2a，则f,(0)=0，

所以函数f(x)在x=0处的切线方程为y=0；.......................................4分

（2）函数f(x)=e2x-2(a+1)ex+2ax+2a+1(a>0)的定义域为R，

且f,(x)=2e2x-2(a+1)ex+2a=2(ex-a)(ex-1)，

2

当a=1时，f,(x)=2(ex-1)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；.................6分

当a>1时，则当x>lna或x<0时f,(x)>0，当0<x<lna时f,(x)<0，

所以f(x)在(-∞,0)，(lna,+∞)上单调递增，在(0,lna)上单调递减；.................8分

当0<a<1时，则当x>0或x<lna时f,(x)>0，当lna<x<0时f,(x)<0，

所以f(x)在(-∞,lna)，(0,+∞)上单调递增，在(lna,0)上单调递减；.................10分

综上可得，当a=1时，f(x)在R上单调递增；

当a>1时，f(x)在(-∞,0)，(lna,+∞)上单调递增，在(0,lna)上单调递减；

当0<a<1时，f(x)在(-∞,lna)，(0,+∞)上单调递增，在(lna,0)上单调递减................11分

（3）因为f(0)=0，f(x)必有一个零点为0，.........................................12分

由（1）可得，当a=1时f(x)只有一个零点，不符合题意；

当a>1时，f(x)在(-∞,0)，(lna,+∞)上单调递增，在(0,lna)上单调递减，

显然f(lna)<f(0)=0，

当x>ln2(a+1)时ex>2(a+1)，则ex-2(a+1)>0，ex>0，2ax>0，

所以f(x)=e2x-2(a+1)ex+2ax+2a+1=ex-2(a+1)ex+2ax+2a+1>0，

所以f(x)在(lna,+∞)上存在一个零点，........................................14分

此时f(x)有两个零点x1，x2（不妨令x1<x2），且x1=0，x2∈(lna,+∞)，即x2>0，满足x1+x2>0；

当0<a<1时，f(x)在(-∞,lna)，(0,+∞)上单调递增，在(lna,0)上单调递减，

所以f(x)在(0,+∞)不存在零点，且一个零点为0，则另一零点不可能大于0，

此时不满足x1+x2>0，故舍去；............................................16分

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综上可得实数a的取值范围为(1,+∞)..........................................17分

【答案】（），

19.1an=nbn=2nSn

【解析】（1）记{an}公差为d，{bn}公比为q，

则，n-1n-1，

an=a1+(n-1)d=1+(n-1)dbn=b1q=2q

n-1n-1

故2+(2n-1)d(2q+2qn)=(6n+3).2n，则2+(2n-1)d(1+q).q=(6n+3).2n-1

n-1

即2d(q+1)n+(q+1)(2-d).q=(6n+