专题53函数的单调性（举一反三讲义）数学苏教版

专题5.3函数的单调性（举一反三讲义）【苏教版】TOC\o"13"\h\u【题型1函数单调性的判断与证明】 3【题型2求函数的单调区间】 6【题型3根据函数的单调性求参数值】 8【题型4根据图象判断函数单调性】 10【题型5利用函数的单调性比较大小】 13【题型6利用函数的单调性解不等式】 15【题型7求函数的最值或值域】 18【题型8根据函数的最值求参数】 20【题型9复合函数的单调性和最值】 23知识点1函数的单调性1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：名称定义图形表示几何意义单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的.单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的.(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数.②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：函数单调性一次函数y=ax+b(a≠0)a>0时，在R上单调递增；a<0时，在R上单调递减.a>0时，单调递减区间是(∞,0)和(0,+∞)；a<0时，单调递增区间是(∞,0)和(0,+∞).二次函数y=a(xm)²+n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)；a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(∞,m].(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增2．求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.3．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性.(2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【题型1函数单调性的判断与证明】【例1】（2425高一上·北京·期中）下列函数中，在区间0,+∞上是减函数的是（

）A．y=−3x+2 B．y=x3 C．y=x【答案】A【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果.【解答过程】选项A：任取x1>x又x2−x1<0，所以y1−选项B：任取x1>x又x1−x2>0,x12+选项C：任取x1>x又x1−x2>0,x1+x选项D：任取x1>x又x1−x2>0,x1x2故选：A.【变式11】（2025高三·全国·专题练习）设函数fx在R上为增函数，则下列结论正确的是（

A．y=1fxB．y=fx在C．y=−1fxD．y=−fx在R【答案】D【解题思路】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项.【解答过程】对于A选项，若fx=x，则y=1对于B选项，若fx=x，则y=f对于C选项，若fx=x，则y=−1对于D选项，函数fx在R上为增函数，则对于任意的x1,x2∈R对于y=−fx，则有则y=−fx在R故选：D.【变式12】（2425高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数fx=ax+bx2(1)求a和b的值；(2)判断fx在2,+【答案】(1)a=1,b=0(2)fx在2,+【解题思路】（1）由f1（2）根据函数单调性的定义证明单调性.【解答过程】（1）因为f1所以a+b5=1（2）由（1）知：fx=xx2证明如下：在2,+∞上任取x1,fx∵2≤x∴x2−x1>0∴fx∴fx1>fx2【变式13】（2425高一上·福建福州·期中）给定fx=x2−3x+2+1x−4，g(1)求fx,gx(2)判断ℎx在区间3,+∞上的单调性，gx【答案】(1)答案见解析(2)ℎx在区间3,+∞上单调递减，gx【解题思路】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可.（2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可.【解答过程】（1）令x2−3x+2≥0，解得令x−4≠0，解得x≠4，则fx的定义域为(−因为gx=2a−1x2因为g0+3g2解得a=2，得到gx=4−1x2则gx的定义域为(−（2）判断：ℎx在区间3,+我们任取x1,x则ℎx=4因为x1<x因为x1,x2∈即ℎx1>ℎx2判断：gx在区间1,+我们任取x1,x则gx=x=(x1+x因为x1,x2∈得到gx1−g故gx在区间1,+【题型2求函数的单调区间】【例2】（2425高一上·湖南·阶段练习）函数fx=1−xA．4,+∞ B．0,4 C．4,8 D．【答案】B【解题思路】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解t=−x2+8x【解答过程】由题意得−x2+8x>0，解得0<x<8，故f由于y=1t在故只需求解t=−x2+8xt=−x2+8x开口向下，对称轴为x=4故选：B.【变式21】（2425高一上·福建泉州·阶段练习）函数gx=xx+1A．−∞,12 B．−1,−12【答案】B【解题思路】利用分段函数以及二次函数的单调性求解.【解答过程】当x≥−1时，gx则g(x)在−1,−12单调递减，当x<−1时，g则g(x)在−∞所以gx=x故选：B.【变式22】（2425高一上·广东广州·期中）函数y=1x2A．(−∞,1) B．(−∞,0) C．【答案】D【解题思路】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.【解答过程】要使函数y=1x2即x(x−2)>0，解得x<0或x>2，∴函数定义域为(−∞令t=x2−2x，则y=1tt=x2−2x在(−∞,0)上单调递减，在根据复合函数“同增异减”原则，可知y=1x2故选：D.【变式23】（2324高一上·湖北十堰·期中）函数y=1−−x2A．0,3 B．−∞,3 C．3,6 【答案】C【解题思路】先求出函数的定义域，令t=−x2+6x【解答过程】解：由−x2+6x≥0所以函数y=1−−x2令t=−x2+6x该函数在3,6上单调递减，则函数y=1−−x2故选：C.【题型3根据函数的单调性求参数值】【例3】（2425高一上·湖北·期末）若函数fx=ax2+2x−1在1,+A．−1,+∞ B．C．[0,+∞) 【答案】C【解题思路】要考虑函数有意义，即根号下的式子恒大于等于0.然后根据复合函数单调性的判断方法来确定实数a的取值范围.【解答过程】当a=0时，此时f(x)=2x−1，令t=2x−1，则t是一次函数，所以t=2x−1在[1,+且当x∈[1,+∞)时，t=2x−1≥2×1−1=1>0，满足f(x)=t的定义域要求，所以f(x)=当a>0时，二次函数t=ax所以t=ax2+2x−1要使f(x)=ax2+2x−1有意义，则当x=1时，t=a×12+2×1−1=a+1，因为a>0，所以a+1>0当a<0时，二次函数t=ax那么t=ax2+2x−1在(−∞,−1a)上单调递增，在综合以上三种情况，实数a的取值范围是[0,+∞故选:C.【变式31】（2425高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数fx=x2+ax+5,x≤1A．−3≤a≤−2 B．−3≤a≤0 C．a≤−2 D．a<0【答案】A【解题思路】根据分段函数y=fx在R上的单调性可得出关于实数a的不等式组，进而可求得实数a【解答过程】由于函数fx=x所以，函数y=x2+ax+5在区间−∞,1上为减函数，函数y=−即−a≤1+a+5a<0−a因此，实数a的取值范围是−3≤a≤−2.故选：A.【变式32】（2425高一上·上海·课堂例题）（1）函数fx=−x2+2（2）已知函数fx=x+mx−1【答案】（1）a≥5；（2）m≤4【解题思路】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求a的范围；（2）任取x1、x2∈2,+∞【解答过程】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为x=a−1．函数在区间−∞,4上是严格增函数，所以a−1≥4，∴（2）任取x1、x2∈所以x1+m整理得mx∵x1<x2，∴x2−x1>0【变式33】（2425高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数fx=−x2+2kx−k(1)若fg−1=−(2)求实数k的取值范围．【答案】(1)k=(2)[−2,0)【解题思路】（1）由已知可得g−1=k，进而可得（2）利用二次函数的单调性和反例函数的单调性可求得实数k的取值范围.【解答过程】（1）因为gx=k又fx=−x又fg−1=−k2解得k=12或k=0（舍去），所以（2）对于函数fx=−x因为fx在区间−3,−2上是增函数，所以k≥−2对于函数gx=k当k>0时，gx在−∞,−2当k<0时，gx在−∞,−2由gx在区间−3,−2上是增函数，所以k<0综上所述：实数k的取值范围为−2,0．【题型4根据图象判断函数单调性】【例4】（2526高一上·山东德州·开学考试）若函数fx的图象如图所示，则其单调递增区间是（

A．−4,−1∪1,4 C．−2,2 D．−4,−1【答案】D【解题思路】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解.【解答过程】由函数fx的图象可知，fx单调递增区间是又由图知f−3=0>f1故选：D.【变式41】（2425高一上·浙江杭州·期中）函数r=fp的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（

A．−5,0,2,6和−5,0∪2,6 C．−5,0,2,6和−5,0∪2,6 【答案】D【解题思路】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.【解答过程】定义域是函数自变量p的取值范围，为−5,0∪函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即−5,0,故选：D.【变式42】（2425高一上·四川德阳·期中）已知函数fx(1)在如图给定的直角坐标系内画出fx(2)根据图象写出fx【答案】(1)图象见解析(2)答案见解析【解题思路】（1）分析得到x∈−1,2时，y=3−x2，为二次函数，开口向下，x∈（2）数形结合得到函数单调区间和函数单调性.【解答过程】（1）当x∈−1,2时，y=3−x2当x=−1时，y=3−−12=2，当x=2当x∈2,5时，y=x−3，为一次函数，当x=5时，y=2当x=2时，y=2−3=−1，画出图象如下：（2）由图象可知，fx的单调递增区间为−1,0,2,5故fx在−1,0,2,5【变式43】（2425高一上·湖北武汉·阶段练习）已知y=fx为二次函数，且满足：对称轴为x=1,f

(1)求函数fx的解析式，并求y=f(2)在给出的平面直角坐标系中画出y=fx的图象，并直接写出函数【答案】(1)fx=x(2)图象见解析，函数的增区间为：[−1,1]和[3,+∞【解题思路】（1）设出二次函数解析式，根据条件得到方程组，解得解析式，再计算顶点即可.（2）确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间.【解答过程】（1）设函数为fx所以x=−b2a=1所以fx=x2−2x−3（2）y=f图象如图所示：

则函数y=fx的单调增区间为：[−1,1]和【题型5利用函数的单调性比较大小】【例5】（2425高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(−3)，f(52A．f(52)<f(−3)<f(C．f(72)<f(−3)<f(【答案】C【解题思路】根据给定条件可得f(−3)=f(3)，再利用单调性比较大小即得.【解答过程】依题意，f(−3)=f(3)，由f(x)在(0,+∞)上单调递减，52所以f(7故选：C.【变式51】（2425高一上·江苏苏州·期中）设a=20222+1A．c>b>a B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】B【解题思路】构造函数fx【解答过程】设fx=x2+1x2−1=所以fx在1,+∞单调递减，所以f2022故选：B.【变式52】（2425高一上·河北邢台·阶段练习）已知f2−x=fx+2，且fx在0,2上单调递减，则f1，fA．f52<fC．f72<f【答案】A【解题思路】根据f2−x=fx+2得到f【解答过程】因为f2−x=fx+2，所以f因为fx在0,2上单调递减，所以f故选：A.【变式53】（2025高一·全国·专题练习）已知函数fx=4−x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x【答案】C【解题思路】构造gx=fxx【解答过程】设gxy=x为0,+∞上为增函数，y=4根据复合函数单调性得gx=f若0<x则fx故选：C．【题型6利用函数的单调性解不等式】【例6】（2425高一上·山西·期中）已知定义域为0,+∞的增函数fx满足fx+y=fx+fyA．−3,−2∪2,+∞C．−3,−2 D．−3,−2【答案】A【解题思路】利用函数的单调性，再求解不等式.【解答过程】因为fx+y=fx令x=y=12，得又因为fx+3所以fx+3+f因为fx在0,+所以x+3>0x2−4>0x2即不等式的解集为−3,−2∪故选：A.【变式61】（2425高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在0,+∞上的函数fx满足对∀x1,x2∈0,+A．2023,+∞ B．2024,+∞ C．2025,+∞【答案】C【解题思路】依题意根据函数单调性定义可得gx=fx−2x在【解答过程】由fx2−f令gx=fx−2x，则gx由f1=2024，得由fx−2024>2x−1013即gx−2024>g1，则x−2024>1所以原不等式的解集为2025,+∞故选：C.【变式62】（2425高一上·广东广州·期中）已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数，满足(1)求f(1)和f(9)的值(2)解关于x的不等式f(3x+6)+f(x)<2．【答案】(1)f1=0(2)0,1【解题思路】（1）利用赋值法直接求解即可；（2）转化不等式，根据函数单调性直接求解.【解答过程】（1）由题知，f(x)是定义在区间(0,+∞且f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1，令x=y=1，则f1=f1令x=y=3，则f9即f1=0，（2）因为f(x)是定义在区间(0,+∞且f(9)=2，f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(3x+6)+f(x)<2，等价于f3所以0<3x2+6x<9即该不等式解集为0,1.【变式63】（2425高一上·广东清远·期中）已知函数fx(1)用定义法证明函数fx在区间1,+(2)若函数fx的定义域为1,+∞，且fm【答案】(1)证明见解析(2)−4<m≤−1或2≤m<3【解题思路】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组m2【解答过程】（1）任取x1<x2，且则f=x又x1<x2，x1，x所以x1−x得到fx1−f所以函数fx在区间1,+（2）因为函数fx的定义域为1,+且在区间1,+∞上是增函数，由f得到m2−m−1<11−2mm2−m−1≥1所以实数m的取值范围为−4<m≤−1或2≤m<3.知识点2函数的最值1．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：名称定义几何意义函数的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈1，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.函数的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)∀x∈1，都有f(x)≥m；(2)∃x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.2．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.【题型7求函数的最值或值域】【例7】（2425高一上·江苏常州·阶段练习）函数y=x+9x+1在区间−∞,−1A．−6 B．−7 C．5 D．6【答案】B【解题思路】将y=x+9x+1变形为【解答过程】函数y=x+9x+1在区间−∞x+1<0，所以y=x+1+9当且仅当−x+1=9故选：B.【变式71】（2425高一上·云南红河·阶段练习）函数f(x)=xA．3,+∞ B．C．−∞,−5∪【答案】C【解题思路】结合对勾函数的单调性即可求解.【解答过程】化简可得：f(x)=x+4设g(x)=x+4x,则由对勾函数的性值可知：函数g(x)=x+4x是奇函数，在(0,2]上单调递减，当x>0时，在x=2处取得最小值g2=4，当x→0或x→+∞时，所以g(x)的值域为(−∞,−4]∪[4,+∞)，所以函数f(x)=g(x)−1值域为−∞故选：C.【变式72】（2425高一上·广东汕头·期中）已知函数fx(1)函数单调性的定义证明：函数fx在−1,+(2)求函数fx在区间1,4【答案】(1)证明见解析(2)最大值为1，最小值为−1【解题思路】（1）任取x1,x2∈（2）由（1）知fx在区间1,4【解答过程】（1）证明：任取x1,x则fx1因为x1,x2∈−1,+∞，x所以fx1−f所以fx在−1,+（2）由（1）知fx在区间1,4所以fxmin=f所以函数fx在区间1,4上的最大值为1，最小值为−【变式73】（2425高一上·河南·期末）已知二次函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=2x2(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(x)−2(m−1)x，x∈[−1,2]，求g(x)的最小值.【答案】(1)f(x)=(2)g【解题思路】（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)（2）由（1）可得g(x)=(x−m)2−m2【解答过程】（1）设f(x)=ax因为f(x+2)+f(x)=a=2ax所以2a=24a+2b=04a+2b+2c=−2 ，解得a=1（2）g(x)=f(x)−2(m−1)x=x2−2mx−1=当m≤−1时，g(x)在[−1,2]上单调递增，g(x)当−1<m<2时，g(x)当m≥2时，g(x)在[−1,2]上单调递减，g(x)综上，g(x)【题型8根据函数的最值求参数】【例8】（2425高一上·全国·课后作业）若函数fx=x+ax+1在区间0,1内的最大值为3，则a=A．3 B．4 C．5 D．3或5【答案】A【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.【解答过程】fx=x+ax+1=1+当a−1>0，即a>1时，fx在0,1内单调递减，f当a−1<0，即a<1时，fx在0,1内单调递增，f解得a=5，与a<1矛盾，舍去．综上所述，a=3．故选：A.【变式81】（2425高一上·广东广州·阶段练习）已知a∈R，函数fx=x+4x−aA．2,92 B．−∞,92【答案】B【解题思路】由对勾函数的单调性可得x+4x∈4,5，分a≥5，【解答过程】因为x∈1,4，y=x+4x在1,2所以x+4当a≥5时，fx函数的最大值2a−4=5，所以a=9当a≤4时，fx当4<a<5时，fx则4−a+a≥5−a+a解得a=92或综上，实数a的取值范围是−∞故选：B.【变式82】（2425高一上·内蒙古·期中）已知函数fx(1)若fx+2≥0恒成立，求(2)若fx在−1,5上单调，求a(3)求fx在1,3上的最小值为−54【答案】(1)2(2)−(3)a=−4或5【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得Δ≤0（2）先求函数fx的单调区间，依题使−1,5（3）由函数fx【解答过程】（1）由题意得x2−ax+2≥0恒成立，则解得−22所以a的最大值为22（2）由题意得fx图象的对称轴为直线x=所以fx在(−∞,因为fx在−1,5上单调，所以a2≤−1解得a≤−2或a≥10，即a的取值范围为−∞（3）当a2≥3，即a≥6时，fx在1,3解得a=36当a2≤1，即a≤2时，fx在1,3解得a=−4<2，符合题意；当1<a2<3，即2<a<6时，fx在fxmin=fa2故a=−4或5.【变式83】（2425高一上·宁夏吴忠·期中）已知f(x)=2x+1(1)根据单调性的定义证明函数f(x)在区间(2,+∞(2)若函数g(x)=2x+1x−2,x∈[3,a]（a>3【答案】(1)证明见解析(2)a=【解题思路】（1）∀x1,x2（2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解.【解答过程】（1）∀x1,则f(x因为∀x1,又因为x1<x因此f(x所以f(x)在(2,+∞（2）由（1）可知，g(x)是减函数，所以x=3时，g(x)取得最大值为g(3)=7，x=a时，g(x)取得最小值为g(a)=2a+1因为最大值与最小值之差为1，所以7−2a+1a−2=1【题型9复合函数的单调性和最值】【例9】（2425高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=2024−axa−1在[0,1]上单调递减，则实数a