专题05轴对称（期中复习讲义）（原卷版）八年级数学上学期人教版2024

专题03轴对称（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律轴对称与轴对称图形能准确说出轴对称和轴对称图形的定义，区分二者联系与区别基础考点，多在选择题、填空题中考查对概念的理解与辨别平面直角坐标系中的轴对称掌握平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，并能运用规律求对称点坐标重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决平面直角坐标系中图形轴对称问题的基础垂直平分线的性质与判定理解并能熟练运用垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）高频考点，易与等腰三角形、三角形全等结合，在几何证明与计算中频繁出现等腰三角形掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一等）和判定（等角对等边），并能运用解决角度计算、线段证明等问题核心考点，贯穿等腰三角形相关题目，在计算、证明题中高频出现，常与三角形内角和定理等结合等边三角形掌握等边三角形的性质（三边相等、三角都是60°等）和判定（三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形），能运用解决相关问题重要考点，多与等腰三角形、直角三角形等知识结合，在几何证明与计算中应用广泛含30°角的直角三角形掌握含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半），并能运用解决线段长度计算等问题常考考点，多在几何计算题目中出现，与直角三角形其他性质结合考查知识点01轴对称与轴对称图形1.轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.【解读】1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段；2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）；2.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.【补充】成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称.3.轴对称与轴对称图形的区别与联系：轴对称轴对称图形区别意义不同两个图形之间的特殊位置关系具有特殊形状的图形对象不同两个图形一个图形对称轴的位置不同在两个图形之间过图形的某条直线对称轴的数量不同只有一条不一定只有一条联系1)沿对称轴折叠，两个图形重合.2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合.2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称.4.轴对称的性质1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线.3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上.知识点02平面直角坐标系中的轴对称1）关于x轴对称：点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，b），简记：横同纵反.2）关于y轴对称：点（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（a，b），简记：纵同横反.知识点03垂直平分线的性质与判定定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）.数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线.性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.知识点04等腰三角形定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角.等腰三角形性质定理：1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.【注意】1）“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.2）在表述“三线合一”的性质时，要分清是哪“三线”(顶角平分线、底边上的中线、底边上的高)，不能表述为“等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合”.等腰三角形的判定定理：1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.知识点05等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°.等边三角形的判定：文字描述数学语言图示定义法三条边都相等的三角形是等边三角形∵AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形等角法三个角都相等的三角形是等边三角形∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形等腰三角形法有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形知识点06含90°角的直角三角形含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何表述：如图，在Rt△ABC中，若∠B=30°，则AC=12题型一轴对称图形的识别解｜题｜技｜巧寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形.1．（2425八年级上·广东汕头·期中）下列图形中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2425八年级上·云南临沧·期中）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A．DeepSeekB．ChatGPTC．文心一言D．纳米AI3．（2324八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）4．（2425八年级上·全国·期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．题型二垂直平分线的性质与判定解｜题｜技｜巧三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明.5．（2324七年级下·湖南长沙·期末）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；(2)已知∠FAN=56°，求6．（2425八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E(1)求证：AB=(2)若△ABC的周长为21cm，AC=87．（2122八年级上·河北邯郸·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接(1)若△ABC的周长是14，AD的长是3，求△(2)若∠B=30°，求证：点E在线段8．（2324八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△(1)求证：AD垂直平分EF．(2)若AB+AC=16，S题型三镜面对称解｜题｜技｜巧镜面对称的核心是轴对称性质，不同场景只需找准“对称轴”，再结合“对应点/数字/时间”的规律，就能快速解决.镜面对称特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键，根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可。9．（2425八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为．11．（2425八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是80:25:41，则实际时间是．12．（2425八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8:00的是（

）A． B． C． D．题型四尺规作图问题（本章涉及的画图问题汇总）解｜题｜技｜巧在直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的“四字诀”1.找：在坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标.2.求：求出其对应点的坐标.3.描：根据所求坐标，描出对应点，4.连：连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形.13．（2425八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，其中A0,-2，B2,-4(1)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1(2)在y轴上找一点P，使PB+PB1最小，画出点P的位置，并直接写出点14．（2223八年级上·全国·期末）如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A-2，4，B-3，2，C-1，(1)请在坐标系中画出△ABC关于x(2)请在坐标系中画出△ABC关于直线l(3)若点Pa,b是△ABC内一点，则点P关于直线15．（2023八年级上·广东肇庆·竞赛）∠O内有一点A，在∠O的两边上各找一点B，C，使△ABC的周长最小，用尺规作图法，在图中作出16．（山东省济宁市邹城市20232024学年八年级上学期期末数学试题）已知直线l同侧有两点A、(1)在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（尺(2)在直线l上求作一点Q，使QA-(3)在（1）和（2）的条件下，若PB⊥AQ，PA=17．（2122七年级下·全国·期末）要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹．(1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图：①过点M作直线l的垂线；②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等．(2)如图②，已知点A是锐角MON内的一点，试分别在OM，ON上确定点B、点C，使△ABC18．（2025九年级下·新疆·专题练习）如图，在△ABC中，AD是△(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作AD的垂直平分线交AB于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）(2)在（1）的条件下，连接DE，过点D作DF∥AB交AC于点F，求证：题型五关于坐标轴对称的点的坐标特征解｜题｜技｜巧根据关于坐标轴或原点对称的点的坐标的关系特点，可以利用轴对称找到特定点的对称点的坐标；在点的坐标不是单一的数字时，例如用字母表示，用各种形式的代数式表示的点的坐标仍然满足轴对称的特定关系，可以利用这种关系，列出满足题意的方程或不等式，从而求出坐标中的参数.19．（2025八年级上·全国·专题练习）若a-3+(b+4)220．（2526八年级上·全国·课后作业）如图，点P,M关于直线x=1（1）点P'的坐标为；点M'的坐标为（2）点P-2,4关于直线y=-1的对称点的坐标为；点N'5,-221．（2526八年级上·全国·课后作业）填空：（1）若点P-5,6与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为（2）若点Ma,-5与点N-2,b关于x轴对称，则a（3）若点P-5,6与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为（4）若点Ma,-5与点N-2,b关于y轴对称，则a22．（2526八年级上·全国·课后作业）已知直角坐标系中一点P(2x-y,3x+2y)，先将它关于题型六等腰三角形分类讨论问题解｜题｜技｜巧等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.类型一当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论23．（2526八年级上·全国·周测）已知等腰三角形的周长为18cm，一边长为7cm，则另外两边的长分别为．24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为8，且一边长为3，求腰长．类型二当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论25．（2425八年级上·陕西咸阳·开学考试）若等腰三角形的一个角为52°，则这个等腰三角形的顶角度数为．26．（2021八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与底边所成的角的度数是25度，则等腰三角形顶角的度数是度．27．（2425九年级下·重庆沙坪坝·期末）等腰△ABC中，已知一内角等于50°，求三角形的底角为类型三当高的位置关系不能确定时，必须进行分类讨论28．（黑龙江省哈尔滨市第一一三中学校20212022学年八年级上学期10月模拟测试数学试卷（五四制））等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则其顶角的度数为．29．（2425七年级下·上海·阶段练习）已知BD是等腰三角形ABC一腰上的高，且∠ABD=40°，求△ABC类型四由腰的垂直平分线所引起的分类讨论30．（2122八年级下·辽宁盘锦·开学考试）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB31．（2425七年级下·上海杨浦·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与边AB交于点D，与AC、BC边所在直线分别交于E、F，若∠类型五由腰上的中线所引起的分类讨论32．（2425七年级下·四川成都·期末）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分的差为4cmA．1cm或9cm B．1cm C．533．（2526八年级上·全国·随堂练习）已知等腰三角形ABC的底边BC长为10cm，AC上的中线BD把其周长分为差是6cm的两部分，求等腰三角形题型七利用等腰三角形的性质求角的度数的方法解｜题｜技｜巧对于等腰三角形中求角度问题，若题目没有一个已知角度而结果需要求具体的角度，则常设较小角为x，通过三角形内角和或等腰三角形的性质列方程求解.【注意】已知多个等腰三角形时，常利用方程思想解题.34．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一等腰三角形的两外角的度数之比为1:4，试求其与底角相邻的外角的度数．35．（2526八年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D36．（2425八年级上·吉林·期末）如图所示，△ABC中，∠ABC=100°,37．（2425七年级下·河南平顶山·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，求它的各个内角的度数．题型八等腰三角形的个数问题解｜题｜技｜巧确定等腰三角形的个数问题是等腰三角形中的常见题，通常是“两定一动”类型，则以两定点所连线段进行分类讨论，①当该线段是等腰三角形的底时，作该线段的垂直平分线进行找点；②当该线段是等腰三角形的边时，分别以两定点为圆心，两定点所连线段为半径作圆来进行找点.38．（2425八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点A2,-2，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（A．2个 B．3个 C．4个 D．5个39．（2021八年级上·山东临沂·期中）在如图的网格上，小正方形的顶点叫网格的格点，图中能找出几个格点？使每一个格点与A，B两点能构成等腰三角形，符合条件格点的个数有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个40．（2425八年级上·广东韶关·期中）在直角坐标系中，△ABC(1)请画出△ABC关于y轴对称的△(2)直接写出A1，B1，(3)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个41．（2425八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线MN上能否找到点A，使以BC为一边的△ABC题型九见等腰，构造三线合一解｜题｜技｜巧已知等腰三角形，通过作底边的高（底边的中线，顶角的角平分线），利用等腰三角形三线合一的性质求解.42．（2425八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形ACBD中，∠C=90°，(1)若CA=3，BC=4，AD=6(2)请在①∠ABD=2∠ABC；②AD43．（2425八年级上·浙江金华·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC上两点，连接AD，AE，且AD针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：小明：“可以通过证明△ABD≌△小华：“可以通过证明△ABE≌△小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．44．（2425八年级上·全国·期末）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的中点，E为AC上的一动点（不与A、C点重合），过点D作DE的垂线交BC题型十双腰上的高求定值解｜题｜技｜巧双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两个底相等的三角形.45．（第十五章轴对称数学活动）【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究．【问题初探】（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC证明：∵DE⊥AB，∴∠DEB∵AB=∴∠B=∠C∵D是BC的中点，∴BD在△BDE和△∠∴△BDE≌△CDF∴DE=①请写出依据1和依据2的内容：依据1：，依据2：；②请你写出另一种证法；【问题再探】（2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，作腰AB上的高CG，则CG【类比探究】（3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然成立；②如图④，在△ABC中，AB=AC，D46．（2122八年级下·云南·期末）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高BD记为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离ME、MF分别记为h1(1)兴趣小组现需要证明h=证明：连接AM，由题意得BD=h，ME=h∵S△ABC=SS△AMC=∴12又∵AB=∴12AC×h=∴h=(2)当点M在BC延长线上时（M点在C点的右边），h1、h2、h之间又有什么样的结论，请你写出结论，并说明理由（可利用图(3)利用以上结论解答：如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=34x+6，l2：y=-3x+6，若47．（2324八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边△ABC，点P是平面上任意一点，设点P到△ABC边AB、AC边的距离分别为PD、PE，△ABC的BC(1)如图（1），若点P在三角形的BC边上，PD、PE、AM存在怎样的数量关系？请给出证明过程．(2)如图（2），当点P在△ABC内，已知AM=10，求(3)如图（3），当点P在△ABC外，请直接写出AM与PD、PF、PE题型十一等腰三角形判定与性质综合解｜题｜技｜巧1）当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的三角形是等腰三角形”来判定；2）当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”来证明；3）当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证明.48．（2223八年级上·湖南长沙·期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，(1)如图1，求证：△CDE(2)如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF49．（2223八年级上·广东广州·期末）如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，点O(1)求证：△BOC(2)若∠BAC=80°，求50．（2425八年级上·广东汕尾·期中）如图，已知线段BC上有点D，E，且BD=CE．在线段BC外侧取点A，使AD=AE．连结AB，AD，(1)求证：AB=(2)若∠BAC=108°，∠DAE=36°，求出图中除题型十二构造等腰三角形五种方法解｜题｜技｜巧1）作边的平行构造等腰三角形.2）“角平分线+平行线”构造等腰三角形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应用等角对等边得到边的相等关系；3）“角平分线+垂线”构造等腰三角形，逆用等腰三角形的三线合一性质定理；4）应用“垂直平分线”构造等腰三角形；5）利用二倍角关系构造等腰三角形.51．如图，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若过点O作直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则线段52．（2425八年级上·湖南怀化·阶段练习）（1）如图，△ABC中，若AB=6,AC=4，求（2）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF53．（2425八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在△ABC中，∠ABC、∠ABC的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC分别交AB、AC(1)求证：BE=(2)若△ABC的周长比△AEF的周长大8，试求出54．（2425八年级上·北京海淀·期中）如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB=∠B55．（2425八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．（1）如图①，若∠ABC=2∠C，可作∠ABC的平分线BD交AC于点（2）如图②，若∠ABC=2∠C，可延长CB至点D，使BD=BA（3）如图③，若∠B=2∠ACB，以C为顶点，CA为一边，在△ABC外作∠ACD=______，交【解决问题】（4）如图④，在△ABC中，∠C=2∠B，题型十三利用等边三角形的性质求角度/线段长度解｜题｜技｜巧1）与等边三角形有关的角度计算常常要用到等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60，这一点是解题的关键.2）与等边三角形有关的线段长度的计算问题，常常与勾股定理相结合，利用等边三角形的性质构造直角三角形，借用勾股定理求线段长度.56．（2425七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm，点D，E分别在AC，BC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C'处，且点C'在57．（2526八年级上·江苏徐州·期中）图，在边长为a等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若AE=b，则DF=．58．（2526八年级上·陕西西安·开学考试）如图，点B、C、D在同一直线上，△ABC和△ADE都是等边三角形．求证：59．（2425七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段AD上，△ABC和△BDE都是等边三角形，且在AD同侧，连接AE交BC于点G，连接CD交BE于点H，交AE于点O，连接GH．(1)求证：AE=(2)求∠AOC(3)求证：AG=题型十四等边三角形判定与性质综合解｜题｜技｜巧题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在.60．（2526八年级上·全国·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE(1)求证：△DEF(2)当∠A=50°时，求(3)当∠EDF=60°时，求61．（2425八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=30°，DE是边AC的垂直平分线，点O在DE(1)求证：△OAB(2)若OD=2，OE62．（2425八年级上·贵州遵义·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，且有△BOC≌△ADC，∠OCD=60°(1)求证：△OCD(2)∠BOC=150°时，试判断(3)探究：当∠BOC为多少度时，△题型十五利用含30°角的直角三角形的性质求解解｜题｜技｜巧在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边长也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形.63．（2425八年级上·湖南湘西·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，BD⊥AC，垂足为D64．（2425八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要65．（2425八年级下·湖南娄底·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接(1)求证：AE=(2)若∠BAC=60°，AD=10题型十六等腰三角形存在性问题解｜题｜技｜巧66．（2425八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点B6,0的直线AB与直线OA相交于点A4,2，动点M沿路线(1)求直线AB的解析式．(2)求△OAC(3)当△OMC的面积是△OAC的面积的14(4)在x轴上是否存在一点P，使得△OAP是等腰三角形，若存在请直接写出P67．（2425八年级上·黑龙江·期中）综合与探究如图①，在平面直角坐标系中，点A0,a，Bb,0，且a，b满足a-82+b+6=0，点C在x轴正半轴上，OC=OA．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；(2)当点P在线段OB上时，如图②所示，求线段ON的长度（用含t的式子表示）；(3)若ON=2，则t的值为______(4)若AB=10，是否存在以AB为腰的等腰三角形ABP？若存在，请直接写出点P68．（2425八年级上·四川成都·期末）如图，直线AB交x轴于点A-4,0，交y轴于点B0,2，直线x=-1交直线AB于点D，P是直线x=-1(1)求直线AB的解析式；(2)求△ABP的面积（用含n(3)当△ABP的面积等于1时，在y轴上是否存在点C，使△APC是等