专题12解直角三角形（举一反三讲义）数学北师大版九年级下册（原卷版）

专题1.2解直角三角形（举一反三讲义） 【北师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1已知两边解直角三角形】 2【题型2已知一锐角和一边解直角三角形】 3【题型3已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】 3【题型4解一图多三角形的直角三角形】 4【题型5解非直角三角形】 6【题型6四边形中解直角三角形】 7【题型7网格中解直角三角形】 8【题型8坐标系中解直角三角形】 9【题型9解直角三角形与函数】 10【题型10解直角三角形解决动点问题】 12知识点1解直角三角形的概念一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．知识点2解直角三角形的依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，（1）三边之间的关系：a2（2）两锐角之间的关系：∠A+（3）边角之间的关系：sinA=ac，知识点3解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：已知类型已知条件解法步骤图示两边斜边c、一直角边（如a）（1）b=c（2）由sinA=ac（3）∠Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠两直角边（a，b）（1）c=a（2）由tanA=ab（3）∠一边一角斜边c、一锐角（如∠A（1）∠B（2）由sinA=ac（3）由cosA=b一直角边、一锐角（如a、∠A（1）∠B（2）由tanA=ab（3）由sinA=a【题型1已知两边解直角三角形】【例1】（2425九年级上·福建漳州·期末）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则cosα等于（

）A．35 B．45 C．34【变式11】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，【变式12】（2425九年级上·江苏南通·阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，解这个直角三角形．【变式13】在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC的值为（

A．12或235 B．12或255 C．32【题型2已知一锐角和一边解直角三角形】【例2】（2425九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形OABC中，∠A=∠OBC=90°，若AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（A．1sin2α+1 B．sin2α+1【变式21】（2025·广东云浮·一模）如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC=10米，则树高度AB为（

）米．A．10tanα B．10tanα C．10【变式22】（2425九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（

A．2sinα B．2sinα C．【变式23】（2425九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，点D在线段AC上，且∠A=30°，∠BDC=60°，AD=2，则BC=．【题型3已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】【例3】（2025九年级下·河北石家庄·专题练习）如图，在等边△ABC中，点E，F在边BC上，∠EAF=30°，AH是BC边上的高，若AH=53，tan∠BAE=15，则A．53−1 B．10−3 C．10−2【变式31】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC的中点，连接DE．若AB=26,CD=6,sinB=513，则A．34 B．234 C．4 D．8【变式32】（2425九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，若BC=18，AB=4，tanC=12，则DP【变式33】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F．若tan∠CAE=23，AE=26，则A．39 B．813 C．613【题型4解一图多三角形的直角三角形】【例4】（2425九年级下·福建泉州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的余弦值为（

）A．3−17 B．12 C．1【变式41】如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作DE//AC交BC于点E，那么DE的长为．

【变式42】（2025·四川绵阳·三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，点D为AB中点，过点D作DE⊥AB，与AC交于点E，连接CD，且sin∠CDE=725，则A．3345 B．154 【变式43】（2425九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，若A′E∥BC，则AE

A．53 B．7 C．52【题型5解非直角三角形】【例5】（2425九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在△ABC中，cosC=14，CA=CB=4，则sinA．102 B．153 C．64【变式51】（2425九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，△ABC的底边BC上的高为h1，△PQR的底边QR上的高为h2，则有（A．h1=h2 B．h1【变式52】（2425九年级上·重庆·期中）如图，点D是△ABC外一点，DB=DC，AB与CD相交于点E，∠BDC=∠BAC，连接DA，若AC=4，DA=13，tan∠DBA=12【变式53】如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosB=14，BD是中线，将△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE【题型6四边形中解直角三角形】【例6】（2025·广东深圳·三模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC=132∘，点D在伞柄AP上，AE=AF=DE=DF=m，则AD的长度可表示为（A．msin66∘ B．mcos66∘【变式61】（2425九年级下·甘肃平凉·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则OE=（

A．4 B．26 C．2 D．【变式62】（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（

A．2 B．2 C．2+1 D．【变式63】（2025·湖南娄底·三模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8,E,F分别为AD,BC边上的点，且BF=3，将矩形ABCD沿直线EF折叠，得到四边形EFNM，点A,B的对应点分别为点M,N（点M落在AD上方），连接CN，当C,N,M三点共线时，AE的长为（

）A．2 B．43 C．163【题型7网格中解直角三角形】【例7】（2025·湖北·三模）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．若每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．2 B．23 C．4 D．【变式71】在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACBA．52 B．55 C．25【变式72】（2425九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（

A．55 B．255 C．2【变式73】如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=（

A．277 B．77 C．2【题型8坐标系中解直角三角形】【例8】（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，D为边BC上一点，且BD=2CD，M为边OA上一点，将四边形ABDM沿DM折叠，点B的对应点恰好与原点重合，若OC=3，则A的对应点N的坐标为（

A．32,−32 B．32,−【变式81】（2025·辽宁盘锦·三模）如图，直线y=12x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接BC，过点C作CD⊥BC，与线段AB交于点D，若CD=CB，则点DA．−13,1 B．−143,【变式82】（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，连接对角线OB，P是OB上一点，已知点C的坐标为3,4，若将线段BP绕点P顺时针旋转90°，点B恰好落在x轴上，则点P的坐标为（

）

A．43,83 B．83,【变式83】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO=90°，∠AOB=30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA=1，将Rt△OAB绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍即（OA1=2OA）．得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1【题型9解直角三角形与函数】【例9】（2025·河北沧州·模拟预测）如图是一个正六边形轨道示意图，机器人P（看成点）从顶点B出发，沿着轨道按逆时针方向匀速移动，其路线为B→C→D→E→F→A．若移动时间为x，由A，B，P三个点围成的三角形（阴影部分）的面积为y，则y与x关系的图象大致是（

）A． B．C． D．【变式91】（2425九年级下·河南南阳·期中）如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿折线A−D−C向点C匀速运动．过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q．设点P运动的路程为x,AQ的长为y．其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（

）A．3 B．11 C．13 D．15【变式92】（2025·河南焦作·一模）如图（1），在矩形ABCD中，AC是对角线，动点P从点C出发，沿折线CAB运动到点B停止，过点P作PE⊥BC于点E．设点P运动的路程为x，PE−CE=y（当点P，E或C，E重合时，设PE=0或CE=0），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则m的值为．【变式93】如图1，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B−C−D运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是【题型10解直角三角形解决动点问题】【例10】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，已知点A从点1,0出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60°，点P的坐标为0,3，设点A运动了ts，则在点A的运动过程中，当t=时，△OCP【变式101】（2025·河北廊坊·一模）如图，直线AB∥CD，E为AB上的一定点，P为CD上的一动点，Q为平面内直线AB与CD之间的一点（点Q不在直线AB和直线CD上），连接EQ，PQ．在点P的运动过程中，若始终有∠BEQ=∠DPQ=α（结论I：结论II：△EPQ的面积为定值．A．只有结论I正确 B．只有结论II正确C．结论I、II都正确 D．结论I、II都不正确【变式102】（2025·安徽合