第10讲函数的单调性和最值（八大题型思维导图知识梳理课后提升练）（人教A版）

第10讲函数的单调性和最值【人教A版】模块一模块一函数的单调性1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：名称定义图形表示几何意义单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的.单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的.(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数.②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：函数单调性一次函数y=ax+b(a≠0)a>0时，在R上单调递增；a<0时，在R上单调递减.a>0时，单调递减区间是(∞,0)和(0,+∞)；a<0时，单调递增区间是(∞,0)和(0,+∞).二次函数y=a(xm)²+n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)；a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(∞,m].(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性.(2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2425高一上·广东广州·期中）函数y=1x2−2xA．(−∞,1) B．(−∞,0) C．【答案】D【解题思路】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.【解答过程】要使函数y=1x2即x(x−2)>0，解得x<0或x>2，∴函数定义域为(−∞令t=x2−2x，则y=1tt=x2−2x在(−∞,0)上单调递减，在根据复合函数“同增异减”原则，可知y=1x2故选：D.【变式1.1】（2425高一上·全国·课后作业）设fx=x，gxA．fx+gxB．fx+gxC．fx−gxD．fx−gx【答案】A【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可.【解答过程】函数fx=x,gx=−1x在区间令hx=fx则hx当0<x1<x2<1时，0<x当1<x1<x2时，x故选：A.【变式1.2】（2526高一上·全国·单元测试）已知函数fx=2x+ax+1，且(1)求函数gx(2)用定义法判断gx【答案】(1)g(2)gx在区间−∞,−1和−1,0【解题思路】（1）直接根据题意代入求值即可；（2）根据定义法判断函数gx【解答过程】（1）因为f0=0+a0+1=1故gx（2）易得gx的定义域为−∞,−1则gx①当x1<x则gx1−g故gx在区间−②当−1<x1<则gx1−g故gx在区间−1,0③当0<x1<则gx1−g故gx在区间0,+综上，gx在区间−∞,−1和和−1,0【变式1.3】（2425高一上·重庆·期中）已知函数f(x)=(1)求实数a值；(2)判断函数f(x)在(1,+∞(3)求函数f(x)的单调区间．【答案】(1)a=2(2)单调递增，证明见解析(3)增区间是1,+∞，单调递减区间是−∞【解题思路】（1）代入f2（2）根据函数单调性的定义，作差fx（3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论.【解答过程】（1）由条件可知，f2=4+a（2）fx设1<xfx=x因为1<x1<x2，所以x1−所以x1所以fx1−f所以函数f(x)在(1,+∞（3）由（2）可知，fx1−f当0<x1<x2<1时，x1所以x1+x2−所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，当x1<x2<0，x1−所以x1+x2−所以函数f(x)在(−∞综上可知，函数的增区间是1,+∞，单调递减区间是−∞,0【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】（2425高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=2024−axa−1在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是（

A．(−∞,0)∪(1,2024] C．(−∞,0)∪(1,+∞【答案】A【解题思路】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得.【解答过程】若a<0，则当x∈[0,1]时，函数y=2024−ax又1a−1<0，∴函数f(x)=2024−ax若a>0，则当x∈[0,1]时，函数y=2024−ax只有1a−1>0时，才有可能使函数f(x)=2024−ax∴a>01综上，实数a的取值范围是(−故选：A.【变式2.1】（2425高一上·安徽·期中）函数fx=a+3x+a+3,x>1−A．−3,−2 B．−3,−1C．−2,−1 D．−2,−1【答案】C【解题思路】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可.【解答过程】由题意可知当x>1时，y=a+3x+a+3单调递增，则当x≤1时，y=−x2+1−ax因为函数fx=a+3由①②③解得−2≤a≤−1，故选：C.【变式2.2】（2025高一·全国·课后作业）已知函数f(x)=x(1)若函数f(x)的单减区间是(−∞,4]，求实数(2)若函数f(x)在区间(−∞,4]上是单减函数，求实数【答案】(1)a=−4(2)−【解题思路】（1）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解；（2）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）依题意，f(x)=x由二次函数的性质知，f(x)的对称轴方程为x=−a，开口向上，所以f(x)的单减区间是(−∞因为函数f(x)的单减区间是(−∞所以a=−4.（2）依题意，f(x)=x由二次函数的性质知，f(x)的对称轴方程为x=−a，开口向上，所以f(x)的单减区间是(−∞因为函数f(x)在区间(−∞所以−a≥4，解得a≤−4，所以实数a的取值范围为−∞【变式2.3】（2425高一上·上海·课堂例题）（1）函数fx=−x2+2（2）已知函数fx=x+mx−1【答案】（1）a≥5；（2）m≤4【解题思路】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求a的范围；（2）任取x1、x2∈2,+∞【解答过程】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为x=a−1．函数在区间−∞,4上是严格增函数，所以a−1≥4，∴（2）任取x1、x2∈所以x1+m整理得mx∵x1<x2，∴x2−x1>0【题型3利用函数的单调性比较大小】【例3】（2425高一上·全国·课后作业）若函数fx在−∞,−1上是增函数，则下列关系式中成立的是（A．f−32C．f−2<f−1【答案】D【解题思路】根据增函数的定义求解即可.【解答过程】因为fx在−∞,−1所以f−2故选：D.【变式3.1】（2425高一上·河北邢台·阶段练习）已知f2−x=fx+2，且fx在0,2上单调递减，则f1，fA．f52<fC．f72<f【答案】A【解题思路】利用已知的函数性质，把比较函数值的大小转化到同一个单调区间上的函数值比较大小的问题来解决.【解答过程】因为f2−x=fx+2，所以f因为fx在0,2上单调递减，所以f故选：A.【变式3.2】（2425高一上·江苏苏州·期中）设a=20222+12021×2023A．c>b>a B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】B【解题思路】构造函数fx【解答过程】设fx=x2+1x2−1=所以fx在1,+∞单调递减，所以f2022故选：B.【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）已知函数fx=4−x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x【答案】C【解题思路】构造gx=fxx【解答过程】设gxy=x为0,+∞上为增函数，y=4根据复合函数单调性得gx=f若0<x则fx故选：C．【题型4利用函数的单调性解不等式】【例4】（2425高一上·山西·期中）已知定义域为0,+∞的增函数fx满足fx+y=fx+fy，且A．−3,−2∪2,+∞C．−3,−2 D．−3,−2【答案】A【解题思路】利用函数的单调性，再求解不等式.【解答过程】因为fx+y=fx令x=y=12，得又因为fx+3所以fx+3+f因为fx在0,+所以x+3>0x2−4>0x2即不等式的解集为−3,−2故选：A.【变式4.1】（2425高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在0,+∞上的函数fx满足对∀x1,x2∈0,+A．2023,+∞ B．2024,+∞ C．2025,+∞【答案】C【解题思路】依题意根据函数单调性定义可得gx=fx−2x在【解答过程】由fx2−f令gx=fx−2x，则gx由f1=2024，得由fx−2024>2x−1013即gx−2024>g1，则x−2024>1所以原不等式的解集为2025,+∞故选：C.【变式4.2】（2425高一上·广东广州·期中）已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数，满足(1)求f(1)和f(9)的值(2)解关于x的不等式f(3x+6)+f(x)<2．【答案】(1)f1=0(2)0,1【解题思路】（1）利用赋值法直接求解即可；（2）转化不等式，根据函数单调性直接求解.【解答过程】（1）由题知，f(x)是定义在区间(0,+∞且f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1，令x=y=1，则f1=f1令x=y=3，则f9即f1=0，（2）因为f(x)是定义在区间(0,+∞且f(9)=2，f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(3x+6)+f(x)<2，等价于f3所以0<3x2+6x<9即该不等式解集为0,1.【变式4.3】（2425高一上·重庆·期末）已知函数fx满足对一切实数x1,x2都有fx1(1)求f0，f(2)判断并证明fx在R(3)解不等式fx【答案】(1)f0=1(2)fx在R(3)−2,1【解题思路】（1）令x1=x2=0，可得出f（2）判断出函数fx为R上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数fx为（3）分析可得出fx2+x−1=gx2+x+4，将所求不等式变形为gx2+x【解答过程】（1）因为函数fx满足对一切实数x1、x2令x1=x2=0令x1=x（2）函数fx在R设x>0，则x+1>1，又f1所以fx+1=fx所以当x>0时，fx任取x1、x2∈R且x1>则f=fx1−因此，函数fx在R（3）由（2）可知，函数fx在R令x1=1,x2=−1因为fx令t=fx由f得fx2+x2−可得−1<fx因为f2=−1，所以不等式−1<fx2+x因为函数fx在R上单调递减，则−1<对于不等式x2+x>−1，即对于不等式x2+x<2，即x2因此，原不等式的解集为−2,1.模块二模块二函数的最值1．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：名称定义几何意义函数的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈1，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.函数的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)∀x∈1，都有f(x)≥m；(2)∃x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.2．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.【题型5求函数的最值或值域】【例5】（2425高一上·北京·期末）若x>0，则fx=2−x−4xA．最大值为6 B．最小值为−6 C．最大值为−2 D．最小值为2【答案】C【解题思路】利用函数的单调性求解.【解答过程】任取0<x则fx1−f因为0<x1<x2<2，所以所以fx1−f所以fx在0,2单调递增；同理可证fx在所以fx故选：C.【变式5.1】（2425高一上·全国·课后作业）已知函数fx满足fx+2=x+b，若fx在区间A．0 B．1 C．3 D．6【答案】A【解题思路】先求得fx，然后利用函数的单调性、最值来列方程，求得b【解答过程】令t=x+2，则x=t−2，则ft故fx=x−2+b．则fx则fxmax=f4=5则fx故选：A.【变式5.2】（2425高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数f(x)=2x+1(1)用定义法判断fx在区间−2,+(2)求出该函数在区间1,4上的最大值和最小值.【答案】(1)证明过程见解析；(2)最小值为1，最大值为32【解题思路】（1）利用定义法，设x1>x（2）由fx【解答过程】（1）∀x1,则f(x1因x1>x则f(x1)−f则fx在区间−2,+（2）由（1）可知fx在区间1,4则fx的最小值为f1=1【变式5.3】（2425高一上·贵州贵阳·期中）已知函数f(x)=2x+bax+1，点A(1, (1)求a, (2)用定义判断函数f(x)在1,3上的单调性，并求该函数的最大值和最小值.(3)若函数g(x)=f(x)+x, x∈0,+【答案】(1)a=1,b=8(2)函数f(x)在1,3上单调递减，f(x)min(3)2【解题思路】（1）根据题意将A,B两点代入函数解析式列出方程组即可求解；（2）根据函数单调性的定义判断即可，进而结合单调性求解最值；（3）由题意可得g(x)=x+1+6x+1+1【解答过程】（1）由题意，得f1=2+b（2）由（1）知，f(x)=2x+8任取x1,x则f(x因为1≤x1<x2则f(x1)−f(所以函数f(x)在1,3上单调递减，则f(x)min=f(3)=（3）由（1）知，f(x)=2x+8则g(x)=f(x)+x=2x+8x+1+x=令t=x+1t≥1，则g(x)=h因为函数ht在1,6上单调递减，在所以htmin=h6=2所以函数g(x)的值域为26【题型6根据函数的最值求参数】【例6】（2425高一上·全国·课后作业）若函数fx=x+ax+1在区间0,1内的最大值为3，则a=A．3 B．4 C．5 D．3或5【答案】A【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.【解答过程】fx=x+ax+1=1+当a−1>0，即a>1时，fx在0,1内单调递减，f当a−1<0，即a<1时，fx在0,1内单调递增，f解得a=5，与a<1矛盾，舍去．综上所述，a=3．故选：A.【变式6.1】（2425高一上·河南郑州·期中）若函数y=ax2+1在1,2上的最大值与最小值的差为3，则实数aA．1 B．−1 C．1或−1 D．0【答案】C【解题思路】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将x2系数a与0比较分类讨论函数在区间1,2【解答过程】当a=0时，y=1，为常值函数，显然不合题意，舍去；当a>0时，y=ax2+1所以它在区间1,2严格增，所以ymax−y当a<0时，y=ax2+1所以它在区间1,2严格减，所以ymax−y故选：C.【变式6.2】（2425高一上·湖北孝感·开学考试）（1）求二次函数y=2x2−3x+5在−2≤x≤2（2）已知函数y=ax2+2ax+1在区间−3≤x≤2【答案】（1）x=−2,ymax=19;x=34【解题思路】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值；（2）先求出对称轴x=−1，再分a=0,a>0和a<0讨论即可.【解答过程】（1）把二次函数解析式配成顶点式,得：y=2x因为a=2>0，所以抛物线开口方向向上，对称轴是x=3所以顶点的纵坐标即为最小值是318而当x=−2时，函数值最大，所以最大值是2×−2综上当x=34，ymin=31（2）y=a当a=0时，y=1不符合最大值为4，不合题意；其对称轴为x=−2a2a①当a>0时，其图象开口向上，此时x=2离对称轴更远，当x=2时有最大值，最大值为4a+4a+1=8a+1，8a+1=4，解得a=38②当a<0，其图象开口向下，则当x=−1时函数有最大值，最大值为a−2a+1=−a+1，∴1−a=4，解得a=−3.综上所述，a的值为38或−3【变式6.3】（2425高一上·内蒙古·期中）已知函数fx(1)若fx+2≥0恒成立，求(2)若fx在−1,5上单调，求a(3)求fx在1,3上的最小值为−54【答案】(1)2(2)−(3)a=−4或5【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得Δ≤0（2）先求函数fx的单调区间，依题使−1,5（3）由函数fx【解答过程】（1）由题意得x2−ax+2≥0恒成立，则解得−22所以a的最大值为22（2）由题意得fx图象的对称轴为直线x=所以fx在(−∞,因为fx在−1,5上单调，所以a2≤−1解得a≤−2或a≥10，即a的取值范围为−∞（3）当a2≥3，即a≥6时，fx在1,3解得a=36当a2≤1，即a≤2时，fx在1,3解得a=−4<2，符合题意；当1<a2<3，即2<a<6时，fx在fxmin=fa2故a=−4或5.【题型7根据函数图象判断单调性、最值】【例7】（2526高一上·全国·课后作业）函数r=fp的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（

）

A．定义域为−5,0,2,6B．定义域为−5,0∪2,6；单调递增区间为−5,0C．定义域为−5,0,2,6D．定义域为−5,0∪2,6【答案】D【解题思路】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.【解答过程】由图象可知定义域为−5,0∪2,6，函数的单调递增区间有2个，即−5,0，故选：D.【变式7.1】（2025高三下·全国·专题练习）函数y=fx的图象如图所示，其单调递增区间是（

A．−4,4 B．−4,−3∪1,4 C．−3,1 【答案】C【解题思路】直接根据题干图象求出单调递增区间即可.【解答过程】由题图可知，函数y=fx的单调递增区间为−3,1故选：C.【变式7.2】（2425高一上·河南·期中）已知函数fx的图象由如图所示的两条曲线组成，则（

A．ff−3=5 C．fx的定义域是−∞,0∪2,3【答案】D【解题思路】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【解答过程】对于选项A，由图象可得f−3=2，所以对于选项B，f0=4，f2=1，对于选项C，由图象可得fx的定义域为−3,0对于选项D，由图象可得fx的值域为1,5故选：D．【变式7.3】（2425高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数y=fx,x∈−4,3A．fx在−4,−1和1,3B．fx在区间−1,3上的最大值为3，最小值为C．fx在−4,1上有最大值2，有最小值D．当直线y=m与函数y=fx,x∈【答案】A【解题思路】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果.【解答过程】A选项，由函数f(x)图象可得，在[−4,−1]上单调递减，在[−1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，故A正确；B选项，由图象可得，函数f(x)在区间(−1,3)上的最大值为3，无最小值，故B错；C选项，由图象可得，函数f(x)在[−4,1]上有最大值3，有最小值−2，故C错；D选项，由图象可得，为使直线y=m与函数f(x)的图象有交点，只需−2≤m≤3，故D错.故选：A.【题型8复合函数的单调性和最值】【例8】（2425高一上·上海·阶段练习）设函数f(x)=−x(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间1,5的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间是[−1,52](2)最大值和最小值分别为7【解题思路】（1）利用复合函数单调性，结合二次函数单调性求出单调区间.（2）由（1）的结论，利用单调性求出最大值.【解答过程】（1）函数f(x)=−x2+5x+6中，−x函数u=−x2+5x+6=−(x−5而函数y=u在[0,+所以f(x)的单调递增区间是[−1,52]（2）由（1）知，函数f(x)在[1,52]而f(1)=10,f(5)=6所以f(x)在区间1,5的最大值和最小值分别为72【变式8.1】（2425高一上·广东佛山·阶段练习）讨论函数ft=5t【答案】ft在25,9【解题思路】利用单调性的定义推得fx【解答过程】因为t∈25,910对于y=gx=5x+8x，在25,910上任取x1则gx2=x因为25≤x所以x2−x1>0故gx2−g所以gx在2而x=t在2所以ft=5t所以fx在25,最小值为f9【变式8.2】（2425高一上·湖北黄石·阶段练习）已知函数fx（1）求函数fx（2）设Fx=m1−x2【答案】（1）单调增区间为−1,0，单调减区间为0,1；值域为2,2；（2）g【解题思路】（1）先求得函数fx的定义域是−1,1，然后转化为fx2（2）将函数转化为ht=12mt2+t−m，t∈2,2，再风【解答过程】（1）要使函数fx有意义，需满足1+x≥0解得−1≤x≤1所以函数fx的定义域是−1,1∵fx2=2+2所以fx的单调增区间为−1,0，单调减区间为又0≤1−∴2≤f∵f∴2≤f即函数fx的值域为2（2）令fx=t则1−x原函数转化为：ht=m令htm≠0时函数ht的图像的对称轴方程为t=−①当m>0时，−1m<0，函数h∴gm②当m=0时，ht=t③当m<0时，−1若0<−1m≤2，即m≤−2∴gm若2<−1m≤2，即若−1m>2，即−12∴gm综上，gm【变式8.3】（2425高一上·浙江杭州·期中）已知函数f(1)当a=1时，求fx(2)设fx在区间0,2上最大值为ga，求【答案】(1)−1,0，0,+(2)g【解题思路】（1）当a=1时，将函数fx写为分段函数的形式，结合y=x−（2）对a分成a≥2,a≤0,0<a<2三种情况，结合函数fx的解析式，讨论函数的最大值，由此求得g【解答过程】（1）当a=1时，fx当x>1时，易得fx当x≤1时，fx因为对勾函数y=x+1x在−∞所以fx在−1,0又当x=1时，1−11−1=1−1+1综上，fx的单调递增区间为−1,0，0,+（2）因为x∈0,2当a≥2时，x≤a，则fx根据对勾函数的单调性可知fx在0,1上单调递增，在1,2所以ga当a≤0时，x≥a，则fx=x−1x−a所以ga当0<a<2时，fx当a<x≤2时，fx=x−1当0<x≤a时，fx若a≤1时，则fxmax=fa；若所以当a≤1时，ga若1<a<2时，ga=maxf1当a−2≥32−a，即7当a−2<32−a，即1<a<综上，ga一、单选题1．（2526高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）函数f(x)=−x2+2x+3A．−∞,1 B．1,+∞ C．−【答案】B【解题思路】利用二次函数的性质即可得出递减区间.【解答过程】由二次函数f(x)=−x2+2x+3可知该函数的单调递减区间是1,+∞故选：B．2．（2526高一上·山东德州·开学考试）若函数fx的图象如图所示，则其单调递增区间是（

A．−4,−1∪1,4 C．−2,2 D．−4,−1【答案】D【解题思路】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解.【解答过程】由函数fx的图象可知，fx单调递增区间是又由图知f−3=0>f1故选：D.3．（2526高一上·浙江温州·阶段练习）函数y=x1+x在区间[2,4]上的最大值､最小值分别为（A．最大值为54，最小值为23 B．最大值为4C．最大值为1，最小值为13 D．最大值为45【答案】B【解题思路】将函数解析式变形为y=1−11+x，可得其在【解答过程】因为y=x由反比例函数性质可得y=x1+x在当x=2时，ymin=23，当故选：B.4．（2526高一上·河南南阳·阶段练习）已知fx=a−1x+1，x<13−2aA．1，32 B．1，+∞【答案】C【解题思路】根据一次函数的性质，即可由分段函数的单调性求解.【解答过程】由于fx=a−1所以a−1>03−2a>0a−1×1+1≤故选：C.5．（2526高一上·全国·课前预习）已知函数fx=3−x+x+3的最大值为M，最小值为mA．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【解题思路】求解函数fx的定义域，并对f【解答过程】由题意得函数的定义域满足3−x≥0，且x+3≥0，解得−3≤x≤3，则函数fx的定义域为−3,3由fx=3−x则fx2=6+29−x2x∈易知函数y=9−x2x∈−3,3在区间所以函数fx2在区间−3,0内单调递增，在区间则函数fx2在x=0处取得最大值f2又f−3所以函数fx2的最小值为6，即所以Mm故选：A.6．（2425高一上·湖北·期末）若函数fx=ax2+2x−1在A．−1,+∞ B．−1,+∞ C．0,+∞【答案】C【解题思路】令t=ax2+2x−1，则fx=t，t≥0，利用fx=fgx单调递增则【解答过程】令t=ax2+2x−1，则f已知fx在1,+∞上单调递增，则t=ax2+2x−1若a=0，则t=2x−1，此时fx=2x−1且t=2x−1≥f1若a≠0，则t=ax即a>0,a+2−1≥0综上，a≥0.故选：C.7．（2425高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(−3)，f(5A．f(52)<f(−3)<f(C．f(72)<f(−3)<f(【答案】C【解题思路】根据给定条件可得f(−3)=f(3)，再利用单调性比较大小即得.【解答过程】依题意，f(−3)=f(3)，由f(x)在(0,+∞)上单调递减，52所以f(7故选：C.8．（2526高一上·广东东莞·阶段练习）已知f(x)是定义在0,+∞上的减函数，若f(2a2+a+1)<f(3aA．0,5 B．1,5 C．13,5 【答案】D【解题思路】根据函数的单调性及定义域得到不等式组，解得即可.【解答过程】因为f(x)是定义在0,+∞则不等式f(2a2+a+1)<f(3解得0<a<13或所以a的取值范围为0,1故选：D.二、多选题9．（2425高一上·黑龙江鸡西·期中）下列关于函数fx的结论正确的是（

A．fx=x−1x在B．fx=x+2x−1在C．fx=xD．fx=x【答案】ABC【解题思路】直接由函数的解析式判断其单调性，从而得解.【解答过程】对于A，函数fx=x−1由函数y=x和y=−1x在−∞所以fx=x−1x在对于B，函数fx其图象可由反比例函数y=3由于反比例函数y=3x在−∞所以fx=x+2x−1在对于C，当x>0时，函数fx所以fx=x对于D，函数fx=x2−3x故选：ABC.10．（2425高一上·浙江温州·期中）下列为真命题的是（

）A．函数y=x+1xB．函数y=x+1C．函数y=3x−4xD．函数y=x【答案】BC【解题思路】对于A：举反例说明即可；对于B：利用基本不等式运算求解即可；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：换元令t=x【解答过程】对于选项A：令x=−1，则y=−2，可知函数y=x+1对于选项B：因为x>1，则x−1>0，可得y=x+1当且仅当x−1=1x−1，即所以函数y=x+1对于选项C：因为y=3x,y=−4x在可知函数y=3x−4x在−∞,−1内单调递增，且当所以函数y=3x−4对于选项D：令t=x2+2可知y=t+1t在2,+∞内单调递增，且当所以函数y=x2+3故选：BC.11．（2526高三上·重庆渝北·阶段练习）已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，且当x>0时，f(x)>1，则下列结论正确的是（

）A．f(0)=1 B．若f(4)=5，则f(1)=2C．f(x)是R上的减函数 D．若f(4)=9，则不等式fx2【答案】ABD【解题思路】通过对x,y合理赋值求解.【解答过程】对于A：令x=y=0，则f0=f0对于B：令x=y=2，则f4=f2再令x=y=1，则f2=f1对于C：∀x1,x2∈R则fx2=f因为x2−x1>0，所以f所以fx在R对于D：令x=y=2，则f4=f2所以f3x因为fx在R上是增函数，且f所以x2−2<3x+2，即x2即不等式fx2−2故选：ABD.三、填空题12．（2526高一上·全国·课前预习）若函数fx=4x−a+3在区间1,+∞上不单调，则a【答案】1,+【解题思路】将函数fx【解答过程】因为函数fx所以该函数在−∞,a上单调递减，在又fx在区间1,+∞上不单调，所以故a的取值范围是1,+∞故答案为：1,+∞13．（2526高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数y=3x+2在区间0,5上的最大值与最小值的和为【答案】27【解题思路】由函数单调性确定最大值和最小值，即可求解.【解答过程】由函数解析式可知fx=3所以最大值为f0=3所以最大值与最小值的和为32故答案为：271414．（2526高一上·天津西青·阶段练习）已知函数fx的定义域为0,+∞，且在定义域内单调递增，则使得不等式f2x<fx+1成立的x【答案】x【解题思路】根据函数的定义域及函数的单调性化简不等式，解不等式可得结论.【解答过程】因为函数fx在0,+∞单调递增，所以2x>0x+1>02x<x+1，解得所以使得不等式f2x<fx+1成立的x故答案为：x0<x<1四、解答题15．（2526高一上·重庆·阶段练习）函数fx=ax+b1+x2满足对于(1)求fx(2)证明fx在−1,1【答案】(1)f(x)=(2)证明见解析【解题思路】（1）由条件列出关于a,b的方程，解出a,b即可得到函数的解析式；（2）利用单调性的定义证明函数的单调性.【解答过程】（1）∵函数fx=ax+b1+x∴−ax+b1+−x2=−ax+b∴fx=ax∴f12=∴f(x)=x（2）f(x)=x1+x∴f(=(∵−1<x∴x1∴f(x1)−f(∴fx在−1,116．（2425高一上·广东汕头·期中）已知函数fx(1)函数单调性的定义证明：函数fx在−1,+(2)求函数fx在区间1,4【答案】(1)证明见解析(2)最大值为1，最小值为−1【解题思路】（1）任取x1,x2∈（2）由（1）知fx在区间1,4【解答过程】（1）证明：任取x1,x则fx1因为x1,x2∈−1,+∞，x所以fx1−f所以fx在−1,+（2）由（