第一章反比例函数（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

2/30第一章反比例函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【湘教版】TOC\o"1-3"\h\u【培优篇】 4【题型1反比例函数图象上点的坐标特征】 4【题型2反比例函数的图像与性质的运用】 7【题型3反比例函数与一次函数图象的综合判断】 10【题型4反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 13【题型5反比例函数的应用】 19【拔尖篇】 23【题型6反比例函数中的动点问题】 23【题型7反比例函数中的存在性问题】 29【题型8反比例函数中的定值、最值问题】 39【题型9反比例函数中的几何变换问题】 47【题型10反比例函数与其它知识的交互问题】 54知识点1反比例函数的概念定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的自变量取值范围：x≠0，因变量取值范围：y≠0．反比例函数的形式：①xy=k；②y=kxk称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且k≠0．知识点2求反比例函数的表达式利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤步骤步骤设代解写设反比例函数表达式为y=把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程解方程，求出待定系数k的值写出函数表达式知识点3反比例函数的图像与性质1.描点法做图步骤解读图示①列表自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值②描点以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点③连线用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交2.反比例函数的性质反比例函数y=x，y的取值范围x≠0，y≠k的符号k＞0k＜0图像图像的位置两支曲线分别位于第一、三象限两支曲线分别位于第二、四象限性质在每一象限内，y的值随x值的增大而减小在每一象限内，y的值随x值的增大而增大知识点4比例系数k的几何意义过y=kx(k≠0)连接y=kx(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到k的值，进而确定函数表达式.知识点5反比例函数与一次函数图象的交点问题1.反比例函数y=k1当k1k2>2.反比例函数y=k1联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程k2x2+bx−k1=0．判别式3.观察反比例函数y=k1x(k1（1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标x1，x（2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集．如图所示，当k1>0，k2>0时，k2x+b>k1知识点6利用反比例函数解决实际问题

1.反比例函数y=kx(k2.常见反比例关系举例（1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为y=（2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为y=（3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为p=（4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为I=（5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为t=【培优篇】【题型1反比例函数图象上点的坐标特征】【例1】已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝．【答案】1【分析】先根据反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝12x，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝122m＝6m，y2＝126m＝2m，然后根据y1﹣y2＝4列出方程6【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝kx∵反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），∴k＝﹣3×（﹣4）＝12，∴反比例函数的解析式为y＝12x∵反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2），∴y1＝122m＝6m，y2＝126m∵y1﹣y2＝4，∴6m﹣2∴m＝1，经检验，m＝1是原方程的解．故m的值是1，故答案为1．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．【变式1-1】已知反比例函数y=kx(k≠0)，在每一个象限内，y随xA．(2,3) B．(−2,3) C．(0,3) D．(−2,0)【答案】B【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．【详解】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，且在各自象限内，y∴k=xy<0，A.∵2×3>0，∴点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B.∵−2×3<0，∴点(−2,3)可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；C.∵3×0=0，∴点(0,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；D.∵−2×0=0，∴点(−2,0)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式1-2】如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（

）A．(−1,−1) B．(1,−1) C．2,12 【答案】B【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数y=kxk≠0【详解】解：∵点A（-1，1）是反比例函数y=k∴k=−1×1=−1，A、−1×−1=1≠−1，点B、1×−1=−1，点C、2×12=1≠−1D、−2×1=−2≠−1，点(−2,1)不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合k=xy，且k为定值．【变式1-3】在平面直角坐标系中，点A−2，3，B3，2，A．1 B．-1 C．-6 D．6【答案】B【分析】根据已知条件得到点A−2,1在第二象限，求得点C−6,m一定在第三象限，由于反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y=【详解】∵A−2,1在第二象限，B3,2在第一象限，且点A、B、又∵点C的横坐标为−6，∴C−6,m∵反比例函数y=k∴B3,2，C∴解得k=6故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键．【题型2反比例函数的图像与性质的运用】【例2】（2025·吉林长春·二模）已知Am,y1和Bn,y2均在反比例函数A．y1+y2<0 B．y1【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的解析式和自变量的取值范围，确定函数值的符号，进而分析选项．先明确反比例函数y=−3x的比例系数为负，可知其图象在第二、四象限；再根据m<0<n，确定点A在第二象限，点B在第四象限，进而得出y1>0,y2【详解】解：对于反比例函数y=−3x，比例系数∵Am,y1和B∴点A在第二象限，点B在第四象限．∴y1A选项：y1+y2的正负无法确定，因为不知道B选项：y1y2C选项：y1D选项：y1故选：C．【变式2-1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数y=m−5x的图象，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的取值可能为（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得m−5<0，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数y=kxk≠0的性质：（1）k>0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k<0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y【详解】解：∵当x>0时，y随x的增大而增大，∴m−5<0，解得：m<5，∴m的取值可能为4．故选：A．【变式2-2】反比例函数y1=k1x，y2=k2x，【答案】k【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知y3=k3x图像在第三象限，k3>0；y1=k1x，【详解】解：由图可知，y3=k3x图像在第三象限，k3>0；y取x=1，如图所示：∴k2综上所述，k1故答案为：k1【变式2-3】已知反比例函数y=kxk≠0的图象经过第一、三象限，Ax1,y1与Bx2,【答案】2【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到y1=kx1，y2=kx2，变形为1y1=【详解】解：∵点A(x1，y1)，B(x∴y1=∴1y1=∵1y∴x2∴x2∵x2∴k−1=2解得：k=2或−1，∵反比例函数y=k∴k=2，故答案为2．【题型3反比例函数与一次函数图象的综合判断】【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在同一坐标系中，y=(m−1)x与y=−mx的图象的大致位置不可能的是（A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数以及正比例函数的性质，利用正比例函数以及反比例函数图象分布规律进而分析得出即可．【详解】解：A、当正比例函数图象正确，则m−1>0，则m>1，故y=−mx中，B、当正比例函数图象正确，则m−1<0，则m<1，故y=−mx中，C、当正比例函数图象正确，则m−1<0，则m<1，故y=−mx中，D、当正比例函数图象正确，则m−1>0，则m>1，故y=−mx中，故选：A．【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与反比例函数y=abA． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断ab的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案．【详解】解：A，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得a>0，b<0，进而可得ab<0，则y=abB，由一次函数图象在第二、三、四象限，可得a<0，b<0，进而可得ab>0，则y=abC，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得a>0，b<0，进而可得ab<0，则y=abD，由一次函数图象在第一、二、四象限，可得a<0，b>0，进而可得ab<0，则y=ab故选C．【变式3-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数y=kx与y=−kA． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了正比例函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及正比例函数一次项系数的符号，看是否一致即可得到答案．【详解】解：∵当k>0时，y=kx的图象经过第一、第三象限，反比例函数y=−k当k<0时，y=kx的图象经过第二、第四象限，反比例函数y=−k∴D选项符合题意．故选：D．【变式3-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数y=a(x−3)与y=ax，在同一坐标系中的大致图象是（A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键．根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：对一次函数解析式y=a(x−3)进行变形，可得y=ax−3a．当a>0时，−3a<0，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数y=ax−3a一定经过第一、三、四象限，故A、C错误；当a<0时，−3a>0，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数y=ax−3a一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确．故选：D．【题型4反比例函数k的几何意义与面积间的关系】【例4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点P,Q,R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C,B,A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1,S2,S3A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】设反比例函数解析式为y=kx，根据OA:AB:BC=1:2:3，设OA=n,AB=2n,BC=3n，得到OB=3n,OC=6n，故xP=k分别表示面积，解答即可．本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键．【详解】解：设反比例函数解析式为y=k根据OA:AB:BC=1:2:3，设OA=n,AB=2n,BC=3n，得到OB=3n,OC=6n，故xP=k6n，S2解得k=12，故xP=2n，故xQ−x故xQ故S2S1故S1=2；故S1故选：A．【变式4-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以OA为对角线作矩形OBAC，且点B，C分别在反比例函数y=kxk≠0、反比例函数y=6x的图象上．若矩形OBAC【答案】−8【分析】本题考查了反比例函数与k的几何意义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质证明△ATB≌△ONC，故S△ATB=S△ONC，因为矩形OBAC的面积为14，即S△ONC+S△OBT=7【详解】解：分别过点B,C作BT⊥y轴，CN⊥y轴，如图所示：∵四边形OBAC是矩形，∴AB=OC，AB∥OC，∴∠BAT=∠CON，∵BT⊥y轴，作CN⊥y轴，∴∠ATB=∠ONC=90°，∴△ATB≌△ONC，即S△ATB∵矩形OBAC的面积为14，则S△ABO即S△ATB∴S△ONC∵点B，C分别在反比例函数y=kxk≠0∴12∴k=8∵函数y=k∴k=−8，故答案为：−8．【变式4-2】如图，B、C分别是反比例函数y=6xx>0与y=−2xx>0的图象上的点，且BC∥y轴，过点C作(1)若B点的横坐标为2，求△ABC的面积；(2)点P是x轴上一点，连接CP，且CP∥AB，连接PA、PB．求△ABP的面积．【答案】(1)4(2)4【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键．（1）过点B作BD⊥x轴于D，如图，设BC交x轴于点E，则四边形DACB、四边形DOEB、四边形AOEC都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形DACB与△ABC的面积关系即可求得结果；（2）根据平行线间距离处处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案．【详解】（1）解：过点B作BD⊥x轴于D，如图，设BC交x轴于点E，∵BC∥y轴，∴AC⊥y轴，即∠BDA=∠DAC=∠BCA=∠DOE=∠AOE=∠OEB=90°，∴四边形DACB、四边形DOEB、四边形AOEC都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义知：S矩形DOEB=6∴S矩形∵S矩形∴S△ABC（2）如图，∵CP∥AB且两平行线间的距离处处相等，∴S【变式4-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点B是反比例函数y=8xx>0图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kxx>0的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点(1)填空：k=；(2)求BDF的面积；(3)求证：四边形BDFG为平行四边形．【答案】(1)2(2)3(3)见详解【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的判定、面积的计算等，综合性强，难度适中．（1）设点B(s,t),st=8，则点M12s,（2）△BDF的面积=△OBD的面积=S（3）确定直线DE的表达式为：y=−12m2x+52m【详解】（1）解：设点B(s,t),st=8，则点M1则k=1故答案为：2；（2）解：连接OD，则△BDF的面积=△OBD的面积=S（3）解：设点Dm,2m∵点G与点O关于点C对称，故点G(8m,0)，则点E4m,设直线DE的表达式为：y=px+n，将点D,E的坐标代入上式得2m解得p=−1直线DE的表达式为：y=−1令y=0，则x=5m，故点F(5m,0)，故FG=8m−5m=3m，而BD=4m−m=3m=FG，又∵FG∥故四边形BDFG为平行四边形．【题型5反比例函数的应用】【例5】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．依据题意，xy的值即为乙醇质量，再根据图象即可确定甲瓶乙醇质量最多，丙瓶乙醇质量最少，乙、丁两瓶乙醇质量相同．【详解】解：根据题意，可知xy的值即为乙醇质量，∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴乙、丁两瓶乙醇质量相同．∵点甲在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，∴甲瓶的xy的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的xy的值最小，即乙醇质量最少，故答案为：甲．【变式5-1】（2025·安徽蚌埠·三模）图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高6m，宽1m，出口点C到BE的距离CF为11m．若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3m，则Q到BE【答案】1【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意可得反比例函数的解析式，再列不等式即可解答，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键．【详解】解：∵四边形AOEB是矩形，BE=AO=6m∴B1设反比例函数BC段的解析式为y=k∴k=6，∴反比例函数BC段的解析式为y=6∵Q的高度不高于3m，即y≤3，∴6解得x≥2，∴x−1≥1，∴Q到BE的距离至少为1m故答案为：1．【变式5-2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y℃与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y℃与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热(1)求图中t的值；(2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？【答案】(1)40(2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．（1）求出反比例函数解析式进而得出t的值（2）利用待定系数法求出当0≤x≤8时的函数解析式，进一步求解即可．【详解】（1）解：当8<x≤t时，设水温y℃与开机时间x（分）的函数关系为y=把点8,100代入得：100=m解得：m=800，∴当8<x≤t时，水温y℃与开机时间x（分）的函数关系为y=当y=20时，20=800∴t=40；（2）解：当0≤x≤8时，设水温y℃与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b依据题意，得8k+b=100b=20解得：k=10b=20所以当0≤x≤8时，函数解析式为：y=10x+20，∵45−40=5<8，当x=5时，y=10×5+20=70，即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．【变式5-3】在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46(1)求爆炸前、后空气中CO的浓度y（mgL）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x(2)当空气中的CO浓度达到34mgL(3)矿工只有在空气中CO的浓度降到4mgL【答案】(1)y=6x+4，0≤x≤7；y=322x(2)1.5(3)73.5【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可；（2）求得爆炸前y=34时的x值即可求解；（3）求得爆炸后y=4时的x的值即可求解．【详解】（1）解：设爆炸前空气中CO的浓度ymgL与时间xh由题图，可知直线y=k1x+b过点0，∴b=47解得k1∴y=6x+4．此时自变量x的取值范围是0≤x≤7，∵爆炸后空气中CO的浓度下降，且浓度与时间成反比例，∴可设y与x之间的函数表达式为y=k由题图，可知函数y=k2x∴k2解得k2∴y=322此时自变量x的取值范围是x>7；（2）解：在y=6x+4中，令y=34，得6x+4=34，解得x=5，∴撤离的最长时间为7−5=2h∴撤离的最慢速度为3÷2=1.5km即他们至少要以1.5km（3）解：在y=322x中，令y=4，解得∵80.5−7=73.5h∴矿工至少在爆炸后73.5h【拔尖篇】【题型6反比例函数中的动点问题】【例6】如图，等腰直角三角形ABC在第一象限，点A，B的坐标分别为1,5,1,2，∠B=90°．动点D从点A出发，沿AB−BC运动到点C，反比例函数y=kx（x>0）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象A．1,2 B．3,2 C．2,2 D．4,2【答案】C【分析】求出点C的坐标，根据点D的运动路线，分析得到k的取值范围公共部分是2≤k≤5，再对选项进行分析即可得到答案．此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．【详解】解：∵等腰直角三角形ABC在第一象限，点A，B的坐标分别为1,5,1,2，∴AB⊥x轴，BC∥x轴，∴点C的坐标为4,2，当点D在线段AB上运动时，点D的横坐标是1，纵坐标的范围为2≤y≤5，此时k的取值范围为2≤k≤5，当点D在线段BC上运动时，点D的纵坐标是2，横坐标的范围为1≤x≤4，此时k的取值范围为2≤k≤8，∴k的取值范围公共部分是2≤k≤5，∴点B是线段AB和BC的公共端点，点C4,2是线段BC的端点，∴1,2和4,2只会被经过一次，∵3×2=6，6不在在2≤k≤5内，∴图象L不可能经过3,2两次，∵2×2=4，4在2≤k≤5内，且不是线段AB和BC的端点，∴图象L经过两次的是2,2，故选：C【变式6-1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在菱形ABCD中，E为边AB上一动点，CF⊥DE于点F，设CF=y，DE=x．当点E从点A运动到点B时，y关于x的函数图象如图2所示，则y关于x的函数表达式为【答案】y=【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键．连接AC,BD交于点O，过点C作CG⊥AD于点G，连接CE，根据菱形的性质以及CF⊥DE，可得到xy=S菱形ABCD为定值，从而得到y关于x的函数是反比例函数关系，结合图2可得CD=AD=6，AC=2OC=8，然后在Rt△COD中，利用勾股定理可得OD=25，从而得到BD=2OD=45，进而得到【详解】解：如图，连接AC,BD交于点O，过点C作CG⊥AD于点G，连接CE，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD，BD=2OD，AC=2OC,AC⊥BD，CD∥∴S△CDE∵CF⊥DE，∴S△CDE∴xy=S∴y关于x的函数是反比例函数关系，根据题意得：当x=6时，点E与点A重合，此时点F与点G重合，当y=4时，点E与点B重合，点F与点O重合，∴CD=AD=6，OC=4，∴AC=2OC=8，在Rt△COD中，OD=∴BD=2OD=45∴y关于x的函数图象过点45设y关于x的函数表达式为y=k把点45,4代入得：∴y关于x的函数表达式为y=16故答案为：y=16【变式6-2】如图，点A是双曲线y=6x在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C【答案】y=−【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数的综合应用，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为a,6a），得出OD=AE=6【详解】解：如图，连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=6∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∵在△COD和△OAE中，∠DCO=∠AOB∠ODC=∠AEO∴△COD≌∴OD=AE，CD=OE，设A点坐标为a,6a，则OD=AE=6∴C点坐标为−6∵−6∴点C在反比例函数y=−6x（故答案为：y=−6x（【变式6-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为m，点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上P,Q两点从点O,B处同时出发，分别沿着O→C和B→A的方向运动a个单位长度，运动到C,A两点处同时停止运动，连接PQ．其中a,m均为常数且am≠0。(1)求证：在运动过程中线段PQ经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；(用含有m的代数式表示)(2)如图2，点M′与点M关于原点O对称．过点M作双曲线y1=kx(k为常数，k≠0)与AB交于点D，作直线DM＇与x轴、①求证：ME②若四边形MEDQ是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式；(3)当m≠2时，在（2）中②的条件下，延长ME交双曲线y2=−ax(x>0)于G，将直线DE沿y轴向下平移经过点G【答案】(1)见解析，m(2)①见解析；②a=(3)当0<m<2时，m2<x<1；当m>2【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与不等式的关系，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握并能够灵活运用相关知识，应用方程思想和分类讨论思想是解题关键．（1）运用待定系数法得出直线PQ的解析式，得出点M的坐标即可；（2）①根据中心对称得出点M′的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线M②由平行四边形性质可得MQ∥ED，即（3）先求得点G的坐标，再求得直线DE平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案．【详解】（1）证明：由题意得：P(0,a)，设直线PQ的解析式为y=nx+b，则b=a解得：b=an=m−2am，则直线PQ当x=m2时，∴点M的坐标为m2,m2，即线段（2）①证明：由（1）知：Mm∵点M′与点M关于原点O∴M′∵双曲线y1=kx(k∴k=m∵双曲线y1与AB交于点D∴Dm,设直线M′D的解析式为y=k解得：k1=12b令y=0，得12解得：x=m∴Em∴E∴ME⊥x轴，∵AB⊥x轴，∴ME∥②解：四边形MEDQ是平行四边形，∴MQ∥ED，即∴∴m=4a,即a=1（3）解：由（2）②知，ME⊥x轴，Em∴∴G∵将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线y3∴y3=12x+t解得：t=−1∴联立得：12解得：x1当0<m<2时，不等式−ax>sx+t当m>2时，不等式−ax>sx+t综上，当0<m<2时，不等式−ax>sx+t的解集为m2<x<1；当m>2【题型7反比例函数中的存在性问题】【例7】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数y=k1x+1的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D1,−2，连接OB、OA、OD(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；(3)设点P是直线AB上一动点，是否存在点P，使S△OAP=1【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y=(2)x<−2或0<x<1(3)点P的坐标为−3,−2或5,6【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键．（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k1和k（2）先联立直线和双曲线求得点B的坐标，根据图象求解即可；（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为a,a＋1，根据条件可得到关于a的方程，可求得【详解】（1）如图，连接AD，交x轴于点E，

∵四边形AODC是菱形，∴AD⊥OC,AE=DE,EC=OE，∵D1,−2∴OE=1,ED=2，∴AE=DE=2,EC=OE=1，∴A1,2将A1,2代入直线y=k1解得k1将A1,2代入反比例函数y=k2解得：k2∴一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y=2（2）联立y=x+1y=解得：x1=1y∴A1，由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为x<−2或0<x<1；（3）∵OC=2OE=2,AD=2DE=4，∴S菱形∵S△OAP∴S△OAP设P点坐标为a,a＋则F0,1∴OF=1，∵S△OAF当P在A的左侧时，S△FOP∴a=−3,a+1=−2，∴P−3,−2当P在A的右侧时，S△FOP∴a=5,a+1=6，∴P5,6综上所述，点P的坐标为−3,−2或5,6．【变式7-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线y=−x+4与反比例函数y=3x的图象交于点A，B，点P是y轴上一动点，连接PA，(1)求点A，B的坐标；(2)当点P运动时，△PAB的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y=3x（x>0）的图象上的一个点，若△AMN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点【答案】(1)点A的坐标为3,1，点B的坐标为1,3(2)存在，点P的坐标为0,(3)2,32【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键：（1）联立解析式，进行求解即可；（2）作点B的关于y轴的对称点B′−1,3，连接AB′，得到当点P在线段AB′上时，（3）分点M在点A左侧和点M在点A右侧，两种方法进行求解即可．【详解】（1）解：联立y=−x+4y=3x，解得：x=3∴点A的坐标为3,1，点B的坐标为1,3；（2）作点B的关于y轴的对称点B′−1,3，连接设直线AB′的解析式为y=kx+b，将点A3,1得：1=3k+b3=−x+b，解得：k=−12∴直线AB′的解析式为y=−12x+∴当点P的坐标为0,52时，PA+PB有最小值，此时（3）设点M坐标为x,3①如图2，当点M在点A左侧时，过点A作x轴垂线，垂足为点D，过点M作y轴的垂线，与DA相交于点C，则：∠ACM=∠ADN=90°，C点的横坐标为3，∵△AMN为等腰直角三角形，∴AM=AN，∠MAC+∠DAN=∠AMC+∠MAC=90°，∴∠DAN=∠AMC，∴△ACM≌△NDAAAS∴CM=AD，∴3−x=1，解得：x=2，∴点M坐标为2,3②如图3，当点M在点A右侧时，过点M，N作y轴的平行线与过点A作y轴的垂线交于点E，F；同理可证：△AEM≌△NFA，可得：AE=NF，即：x−3=1，解得：x=4．∴点M坐标为4,3综上所述：点M坐标为2,32和【变式7-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为2,4，反比例函数y=mx(x>0)的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D(1)求m的值和E的坐标；(2)在线段OD上存在一点M，当△MOE的面积等于34时，求点M(3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)m=4，E2,2(2)14(3)存在，N的坐标为1,−2或−1,2或3,6．【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．（1）根据B点的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E点的坐标，即可求出DE的长；（2）根据D坐标确定出直线OD与直线OE解析式，过点M作MN∥y轴交OE于点N，设Mt,4t,Nt,t，三角形MOE面积=三角形NOM面积+三角形MNE面积，把已知面积代入求出t（3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出N的坐标即可．【详解】（1）解：∵点B的坐标为2,4，D为AB中点，∴D1,4∵反比例函数y=mx(x>0)的图象经过AB∴m=1×4=4，∴反比例函数解析式为y=4把x=2代入反比例函数解析式中，得：y=2，∴E2,2（2）解：由D1,4，得到直线OD解析式为y=4x由E2,2，得到直线OE解析式为y=x过点M作MN∥y轴交OE于点N，设Mt,4t，则Nt,t，∵==3t，∴3t=3解得：t=1∴点M坐标为14（3）解：存在，理由如下：由题意得：O0,0如图：设Nx,y分三种情况考虑：当四边形ON可得0+2=1+x，0+2=4+y，解得：x=1，y=−2，∴N1当四边形OEDN可得0+1=2+x，0+4=2+y，解得：x=−1，y=2，∴N2当四边形OEN可得1+2=0+x，4+2=0+y，解得：x=3，y=6，∴N3综上，N的坐标为1,−2或−1,2或3,6．【变式7-3】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，已知直线y=12x与双曲线y=kxk>0交于(1)求k的值；(2)若双曲线y=kxk>0上一点C，纵坐标为8(3)若C2,a是反比例函数y=kxk>0图象上的点，在x轴上是否存在点M使得【答案】(1)k=8；(2)△AOC的面积为15；(3)M103,0，此时△MAC【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质．（1）先求出A4,2（2）求出C1,8，过A作AD⊥x轴于点D，过C作CE⊥x轴于点E，由S△AOC=（3）求出C2,4，如图，作A关于x轴对称点A′，连接A′C，交x轴于点M，则有AM+MC=A′M+MC=A′C，根据两点之间线段最短可知M即为所求，直线【详解】（1）解：∵直线y=12x图象上点A∴A4,2∵点A在双曲线y=k∴k=4×2=8；（2）解：由（1）得k=8，∴反比例解析式为y=8∵双曲线y=kxk>0上一点C∴C1,8如图，过A作AD⊥x轴于点D，过C作CE⊥x轴于点E，∴ED=3，∴S△AOC∵S梯形∴S△AOC∴△AOC的面积为15；（3）解：∵C2,a是反比例函数y=∴a=4，∴C2,4如图，作A关于x轴对称点A′，连接A′C，交x∴AM+MC=A′M+MC=∴根据两点之间线段最短可知M即为所求，∵A4,2设直线A′C解析式为∴2m+n=44m+n=−2，解得m=−3∴直线A′C解析式为当y=0时，x=10∴M10此时△MAC的周长最小为A′【题型8反比例函数中的定值、最值问题】【例8】如图，在平面直角坐标系xoy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC是边长为3的正方形，反比例函数y=kxx>0的图像与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点PA．3 B．25 C．32【答案】B【分析】由正方形OABC的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得D(3,k3)，E(k3，3)，根据三角形的面积列方程得到D(3,2)，E(2,3)，作E关于y轴的对称点E′，连接DE′交y轴于P【详解】∵正方形OABC的边长是3，∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，∴D(3,k3)，E(∴BE=3−k3，∵△ODE的面积为4，∴3×3−1∴k=3或−3（舍去），∴D(3,1)，E(1,3)，作E关于y轴的对称点E′，连接DE′交y轴于P，则DE′的长=PD+PE的最小值，∵CE=CE′=1=AD，∴BE′=4，BD=2，∴DE'=BE即PD+PE的最小值为25故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．【变式8-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是5,0，点B是函数y=6xx>0图像上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2xx<0的图像于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形【答案】①④【分析】①由BC⊥y轴得到AD∥BC，结合AD=BC，得到四边形ABCD是平行四边形，设点Ba,6a，则C−a3,②当x=5时，求得点B的坐标，然后判断四边形ABCD是否为正方形；③任取两个点B的坐标，求得AB和BC的长，然后判断四边形ABCD的周长是否为定值；④过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，将四边形ABCD的面积转化为四边形EFBC的面积，进而利用反比例系数k的几何意义判断四边形ABCD的面积是否为定值．【详解】①如图，过点B作BF⊥x轴于点F，∴∠BFA=90°，∵BC⊥y轴，∴AD∥BC，又∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵点B在函数y=6x图像上，点C在函数设Ba,6a∴BC=a−−又∵点A的坐标是5,0，在Rt△BFA中，AB=A当a=5时，BC=203，此时，AB<BC，∴四边形ABCD可能是菱形，∴①符合题意；②由①得，当a=5时，BC=203，∴BC≠AB，此时B5,∵点A的坐标是5,0，∴AB⊥x轴，∴∠BAD=90°，由①知，四边形ABCD是平行四边形，∴当a=5时，四边形ABCD是矩形，但BC≠AB，∴四边形ABCD不为正方形，∴②不符合题意；③由①得，当点B的横坐标为5时，BC=203，∴四边形ABCD的周长为：2BC+AB当点B的横坐标为1时，B1,6，则C∴BC=43，∴四边形ABCD的周长为：2BC+AB∴四边形ABCD的周长不为定值，∴③不符合题意；④如图，过点C作CE⊥x轴于点E，又∵BF⊥x，∴∠CEF=∠BFE=90°∵BC⊥y轴，∴AD∥BC，∴∠EFB=180°−90°=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴S四边形∴四边形ABCD的面积为定值，∴④符合题意．故答案为：①④．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征．【变式8-2】（2025·江西·模拟预测）如图1，点A是反比例函数y=kx（x>0）图象上任意一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，已知(1)求k的值．(2)若过点A的直线y=x+bb>0与x轴交于点C，如图2．①求证：AB=BC．②OA与OC的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)k=2(2)①证明见解析；②是定值，4【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键．（1）设A（m,n）（m>0,n>0）（2）①根据题意得到AB=m+b，求出C−b,0，得到BC=m−②是定值，由题得OA2=m2+n2，继而得到【详解】（1）解：设A（m,n）∵AB⊥x轴，∴B（∴AB=n,OB=m，∴S∴mn=2．∵k=mn，∴k=2．（2）①证明：设A（m,n）∵点A（m,n）∴n=m+b．∴AB=m+b．当y=0时，0=x+b，∴x=−b．∴C（∵B∴BC=m−−b∴AB=BC．②解：是定值．设A（m,n）∵AB⊥x轴，∴在Rt△AOB中，O∵OA2−O∴OA∴OA∴OA由（1）知mn=2，∴OA【变式8-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，点B坐标为9,3，点C坐标为5,0，反比例函数y=kxk≠0，x>0的图象经过点A(1)求该反比例函数的表达式；(2)点G是y轴上的动点，连接GA，GE，求GA+GE的最小值；(3)连接AE，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得S△OAP=S【答案】(1)y=12(2)101；(3)存在，点P的坐标为83【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点A4,3（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′E交y轴于G，此时GA+GE（3）过点E作EF⊥x轴于点F，过点A作AD⊥x轴于点D，过点P作PG⊥x轴于点G，设Pn,12n，求得S△OAP=−【详解】（1）解：∵▱OABC的边OC在x轴上，点B坐标为9,3，如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，过点A作AD⊥x轴于点D，∴OH=9，BH=3，∵点C坐标为5,0，∴OC=5，∴CH=OH−OC=4，∴BC=B∴OC=BC=5，∴▱OABC是菱形，∴OA=AB=OC=BC=5，∵BH⊥x轴，AD⊥x轴，∴AD=BH=3，∴OD=4，∴点A4,3∵反比例函数y=kxk≠0∴k=4×3=12，∴反比例函数的表达式为y=12（2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′E交y轴于G，此时GA+GE∵点B坐标为9,3，∴直线OB解析式为y=1∵反比例函数y=12xx>0的图象与OB∴13∴x=6或x=−6（舍去），∴E6,2∵A4,3∴A′∴A′∴GA+GE的最小值为101；（3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得S△OAP如图3，过点E作EF⊥x轴于点F，过点A作AD⊥x轴于点D，过点P作PG⊥x轴于点G，∴EF=2，OF=6，AD=3，OD=4，∴DF=OF−OD=2，设Pn,∴S==−3∵S==5+6−6=5，∴S△OAP整理得：3n∴n=83或∴点P的坐标为83【题型9反比例函数中的几何变换问题】【例9】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝kx（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝kA．5 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】根据题意，分析图形可得，当函数y＝kx（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值，设PB＝a，则Q（k，1+a），根据四边形APQM是矩形，可得M（1，1+a），而M在y＝k【详解】解：分析图形可知：当函数y＝kx∵P在y＝kx上且yP∴P（k，1），设PB＝a，则Q（k，1+a），∵四边形APQM是矩形，∴M（1，1+a），而M在y＝kx∴1+a＝k，∵AP＝MQ，∴2﹣a＝k﹣1，由1+a=k2−a=k−1解得a=1k=2∴0＜k≤2，∴k＝5不符合条件．故答案为：A．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的结合，矩形的性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够判断出当反比例函数图像和矩形在公共点M处时k取最大值．【变式9-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数y=kxk>0的图像向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图像与BC边交于点D，则CD【答案】1【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质．设A(a,0)，B(a,b)，则对角线交点的坐标为(a2,b2)，反比例函数y=kx(k>0)的图象向下平移n个单位长度后的表达式为y=kx−n，分别将【详解】解：设A(a,0)，B(a,b)，则对角线交点的坐标为(a反比例函数y=kx(k>0)的图象向下平移n∴b2解得：k=ab∴反比例函数y=kx(k>0)的图象向下平移n设D(c,b)，则b=ab∴c=a∴D(a∴CDCB故答案为：1【变式9-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，一次函数y=x+mm>0的图象与反比例函数y=12x的图象交于点A,B（点A位于第三象限），且一次函数与x轴、y(1)当m=1时，求线段BC的长；(2)将双曲线沿直线AB进行翻折，翻折后的图形与x轴和y轴分别相交于P,Q两点，若S△OPQ=64，求【答案】(1)4(2)m=4【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，两点间距离公式，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）先求出点C坐标，然后求出一次函数图象与反比例函数图象的交点B，再由两点间距离公式即可求解；（2）先确定△OCD是等腰直角三角形，设点Q的对应点为点S，连接SD，由翻折得：CQ⊥DB，DS=DQ，可得∠QDS=90°，则yS=yD=m，代入y=12x得xS=【详解】（1）解：当m=1时，一次函数解析式为y=x+1，当y=0时，x=−1，∴C−1,0联立方程组y=12解得x=3y=4或x=−4∴B3,4∴BC=3+1（2）解：如图，∵一次函数y=x+mm>0当x=0,y=m；当y=0,x+m=0，解得：x=−m，∴OD=OC=m，∵∠COD=90°，∴∠QDB=∠ODC=∠OCD=45°，设点Q的对应点为点S，连接SD，由翻折得：SQ⊥DB，DS=DQ，∴∠DQS=∠DSQ=90°−∠QDB=45°，∴∠QDS=90°，∴yS代入y=12x得∴DS=DQ=12∴OQ=OD+DQ=m+同理可得：OP=m+12∴12∴12解得：m=42【变式9-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x−2的图象与反比例函数y2=kxk≠0的图象交于A−2,a，Bm,2两点，直线AB与y(1)求反比例函数y2(2)求△BOC的面积；(3)如图2，将直线AB向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数y2=kxk≠0图象上的点E1,n，F−8,m，过点E作ME⊥y轴于点M，连接OF，动点N【答案】(1)y(2)4(3)N点坐标为0,0或(0,16)【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．（1）把点A坐标代入y1=x−2中求出点A坐标，再把点（2）求出B、C的坐标，根据S△BOC（3）求出E1,8，F−8,−1，则可得到直线EF的解析式为y=x+7，进而可得G0,7，M0,8，证明ME=MG=1，得到∠MEG=∠MGE，则∠MEG=∠2；连接OE，可证明OF=OE，得到∠OEF=∠1，则∠MEO=∠MEG+∠GEO=∠1+∠2，故O点即为点N的一个位置，在y轴上取点N′满足N【详解】（1）解：在y1=x−2中，当x=−2时，∴A−2,−4当y1=2时，∴B4,2将A−2,−4代入y2=∴反比例函数的表达式为y（2）解：在y1=x−2中，当x=0时，y1=−2，当∴B4,2，C∴S△BOC（3）解：在y2=8x中，当∴E1,8当x=−8时，y2∴F−8,−1设直线EF为y=x+b，将E1,8代入y=x+b中，得b=7∴直线EF的解析式为y=x+7，在y=x+7中，当x=0，y=7，∴G∵ME⊥y轴，∴M0,8∴ME=MG=1，∴∠MEG=∠MGE，又∵∠MGE=∠2，∴∠MEG=∠2，连接OE，∵OE=1−02∴OF=OE，∴∠OEF=∠1，∴∠MEO=∠MEG+∠GEO=∠1+∠2，∴O点即为点N的一个位置，在y轴上取点N′满足N则此时∠MEN∴N′综上，N点坐标为0,0或(0,16)．【题型10反比例函数与其它知识的交互问题】【例10】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1xx>0的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数k的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M,N是反比例函数图象上的动点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形OACB是矩形，∴S又∵M,N是反比例函数y=1xx>0图象上的动点，BN⊥y∴S∴S△OBC−S△OBN=由①可得S当△MON与△MCN的面积相等时，如图，连接AB，BM∴S∴N在直线BM上，则