专题02全等三角形（9知识5题型8方法清单）

专题02全等三角形（9知识&5题型&8方法清单）【清单01】全等形1.定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形.全等形的特征：“两相同”与“两无关”.(1)“两相同”：①形状相同；②大小相同.(2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关.2.全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转.【清单02】全等三角形1.全等三角形的有关概念和表示方法相关概念示例定义能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形△ABC与△DEF全等相关概念示例对应元素对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点点A与点D，

点B与点E，点C与点F对应边：重合的边叫作对应边AB与DE，BC与EF，AC与DF对应角：重合的角叫作对应角∠A与∠D，

∠B与∠E，∠C与∠F相关概念示例表示方法全等用符号“≌”表示，读作“全等于”△ABC≌△DEF2.三种常见的全等类形(1)平移型(2)翻折型(3)旋转型【清单03】全等三角形的判定与性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等【清单04】全等三角形的证明思路【清单05】全等三角形证明方法1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【清单06】用尺规作一个角等于已知角用尺规作一个角等于已知角已知∠AOB(如图①)，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，并证明.作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′；(4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图②).证明：连接CD，C′D′.由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′；由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′，∴OD=O′D′.∴△OCD≌△O′C′D′(SSS).∴∠AOB=∠A′O′B′.【清单07】作一个角的平分线已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线(如图).【清单08】角的平分线的性质与判定1.性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角的平分线的性质的两个必要条件(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度.两者缺一不可.几何语言：如图，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴PE=PF.2.判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言：如图，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.【清单09】证明几何命题的一般步骤1.证明一个几何命题的一般步骤(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.2.推理证明中常见的分析方法(1)综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论.(2)分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合.(3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证.【题型一】全等三角形及其性质【例11】（2425八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．A． B． C． D．【答案】D故选：D．【答案】/∴的对应边是，故答案为：．【变式11】（2425八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（）A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c【答案】D因此，与是全等图形，故选：D．【答案】B故选：B．【答案】66故答案为：66．【题型二】三角形全等的判定综合A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙【答案】D故选：D．【答案】D故选：．轮次行动者添加条件1甲2乙3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（）【答案】A故乙必胜，故本选项的说法正确；故选：A．【答案】A故选：A．【答案】不能；选择条件①(还可选择条件②，但不能选择条件③)，理由见解析【详解】解：不能．【题型三】三角形全等的性质与判定综合(1)判断、、之间的数量关系，并证明；又∵是的中点，．【答案】A故选：A．A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B故选：B．【答案】6故答案为：6.【详解】（1）解：①全等，理由如下：（2）解：设经过秒后点和点第一次相遇，∴点，点在边上相遇，∴经过，点，点第一次在边上相遇．(1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H．当点F在A点左边时，过点D作所在直线的垂线，交于点M，如图，【题型四】角的平分线【例41】（2425八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（

）A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处C．三条高线的交点处 D．以上都不对【答案】A【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点．故选：A．【答案】C故选：C

【答案】B【详解】解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致，∴点P到射线，的距离相等，故选：B．A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】A∵两把完全相同的长方形直尺，因为为公共边，故选：A．

【详解】（1）证明：如图，连接，

【题型五】尺规作图【例51】（2425八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的．【答案】【详解】以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；同样地，以为圆心，同样的长度（即与前面半径相等）为半径画弧，交于点，再以为圆心，长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点，故答案为：．①作射线；作法的合理顺序是（

）【答案】D【详解】解：角平分线的作法：第三步，作射线，连接顶点与点，完成角平分线的作图，对应步骤，故选：．(1)写出长的取值范围：__________；A．已知两边及夹角 B．已知三边C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角【答案】C故选：C．C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的【答案】AB、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意；C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意；D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意．故选：A．【变式53】（2324八年级上·北京朝阳·期中）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程．作法：如图，①以为圆心，长为半径作泒，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③作射线；④以A为圆心，长为半径作弧，交于点；⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点；⑥连接、．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：【详解】（1）解：如图所示，即为所求；【题型一】平移模型模型归纳

【题型二】对称模型模型归纳有公共边：有公共顶点：【答案】A故选：A．【答案】A故选A．【答案】①③④故答案为：①③④．cm．【答案】45故答案为：45．【题型三】一线三等角模型模型归纳：条件：已知A，P，B三点共线，PC=PD，且∠1=∠2=∠3图示：同侧型图示：异侧型结论：△APC【例31】（2425八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题：我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；请运用图1的模型解决下列问题：

图1

图3图中实线所围成的图形的面积；故答案为：．即点是的中点．【例32】（2425八年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．

点，，在同一条直线上，任务：(1)将上述解答过程中的空白部分补充完整．(2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角．故答案为：直角三角形的两个锐角互余，；【例33】（2425八年级上·河南新乡·期中）综合与实践在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究．直接猜想深入探究问题解决（2）成立，理由如下：当点在上，点在上，如图1，当点在上，点在上，如图2，【题型四】手拉手模型模型归纳【例4】（2425八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．

∴D、C、H三点共线，【变式41】（2324七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．连接，【变式42】（2425八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．

证明如下：如图2证明如下：如图2【题型五】角含半角模型模型归纳：如图，AB=AC<，>∠BAC=2α<，∠DAE=α<.【变式51】（2324八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务．神奇的“半角模型”初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法．任务：(1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________．(2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线．【详解】（1）材料中的依据1是指正方形的四条边相等（或正方形的性质）；依据2是指全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）故答案为：正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）；、、三点共线，故答案为：．故答案为：；、、三点共线，【题型六】利用“倍长中线法”构造全等三角形方法知指导：条件：如图，AO为△ABC的中线关键词策略：延长中线AO至D，使得DO=AO，连接BD结论：△AOC【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围：______．(2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．（4）解：如图所示，过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，【例62】（2425八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．【变式61】（2425八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】【问题背景】【构建联系】是的中点，∵点F为的中点，【变式62】（2425八年级上·山西大同·期中）阅读理解中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”【详解】（1）解：是的中点，（2）解：延长交的延长线于，如图2所示：点是的中点，点是的中点，方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．（1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程．【问题解决】直接写出所有正确选项的序号是．【问题拓展】（2）答案为：A、B、C；点为的中点，【题型七】利用角平分线构造全等三角形方法指导条件:<OP平分∠AOB</m>策略：结论：△OPD【例71】（2223八年级上·福建泉州·期中）【问题情境】在括号内填写全等判定方法字母简称在括号内填写理由依据【问题探究】【拓展延伸】[问题