专题03二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期苏科版

专题03二次函数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律二次函数的定义与图象理解二次函数定义，掌握图象特征与性质基础必考点，选择题中出现频率高，图象性质考查较多二次函数的解析式确定能根据已知条件灵活运用三种形式求解析式核心计算能力，待定系数法考查频率高二次函数的图象变换掌握平移规律，理解系数对图象的影响图象理解难点，平移规律易考查二次函数的实际应用能建立二次函数模型解决最值问题建模思想、综合应用能力考查必考二次函数与方程不等式理解二次函数与一元二次方程的关系综合应用难点，数形结合知识点01二次函数的定义与图象性质1.定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的函数2.图象：抛物线，对称轴x＝－eq\f(b,2a)，顶点(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))3.性质：a>0：开口向上，有最小值；a<0：开口向下，有最大值；|a|越大，开口越小·示例：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＜0；②3a－b＝0；③b2－4ac＞0；④5a－2b＋c＞0，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=−32，抛物线与x轴一个交点在（－3，0）和（∴抛物线与x轴另一个交点在（1，0）和（0，0）之间，∴b2－4ac＞0，故③正确；∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴为直线x=−32=−b2a，a＜0，∴b＜0，3a＝b，∴abc故①错误，②正确；当x＝－1时，a－b＋c＞0，当x＝－3时，9a－3b＋c＞0，∴10a－4b＋2c＞0，∴5a－2b＋c＞0，故④正确．故选C．2.在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，y与x的部分对应值如下表：x…0134…y…242－2…有下列结论：①抛物线开口向下；②当x＞4时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点（－1，－2）；④当y＞2时，x＜0或x＞3；⑤对称轴是直线x＝1．其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】①由图表中数据可得出：y随x的增大先增大后减小，故此抛物线开口向下，故此选项正确；②∵x＝0和x＝3时的函数值相同，∴对称轴为直线x=0+3∴当x＞4时，y随x的增大而减小，故此选项正确；③∵点（4，－2）关于对称轴的对称点为（－1，－2），∴抛物线一定经过点（－1，－2），故此选项正确；④当y＞2时，0＜x＜3，此选项错误；⑤对称轴为直线x=0+3故选C.·易错点：忽略a≠0的条件；顶点坐标公式记忆错误；对称轴计算时符号处理错误知识点02二次函数的解析式确定1.一般式：y＝ax²＋bx＋c（已知任意三点）2.顶点式：y＝a(xh)²＋k（已知顶点和另一点）3.交点式：y＝a(xx₁)(xx₂)（已知与x轴交点和另一点）·示例：1.若函数y=(m+2)xm2+m是关于x的二次函数，则m的值为【解答】∵函数y=(m+2)xm2∴m2＋m＝2，解得：m＝1或m＝－2，∵m＋2≠0，∴m≠－2，∴m＝12.抛物线y＝x2－6x＋c与x轴只有一个交点，则c＝．【解答】令y＝0，则x2－6x＋c＝0，由题意得：Δ＝b2－4ac＝（－6）2－4c＝0，解得：c＝9·易错点：三种形式选择不当导致计算复杂；代入求值时计算错误；最终结果未化为一般式.知识点03二次函数的图象变换1.平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）2.系数影响：a决定开口方向和大小；b与a共同决定对称轴位置；c决定与y轴交点·示例：1.将抛物线y＝－x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A．y＝－（x－3）2－2 B．y＝－（x＋3）2－2 C．y＝（x＋3）2－2 D．y＝－（x＋2）2－3【解答】将抛物线y＝－x2先向左平移3个单位、再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式是y＝－（x＋3）2－2．故选B．2.设函数y＝a（x－h＋1）2＋m＋2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（－3，0），（2，0），若函数y1＝a（x＋h－2）2＋m＋2025（a＞0），则y1=a(x+ℎ−2)2+m+2025(a＞0)与x【解答】由题意，∵函数y＝a（x－h＋1）2＋m＋2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（－3，0），（2，0），∴该函数的对称轴为直线h－1=−3+22=−1∴y1＝a（x+12−2）2＋m＋2025（a＞0），即y1＝a（x−32）2＋又∵函数y1＝a（x−32）2＋m＋2025（a＞0）的图象是由函数y＝a（x－h＋1）2＋m＋2025（∴函数y1＝a（x−32）2＋m＋2025（a＞0）的图象与x轴的交点坐标为（故答案为：（－1，0），（4，0）．3.将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线关系式为．【解答】将抛物线y＝－x2先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋2·易错点：平移方向与符号对应错误；系数符号判断时逻辑混乱；图象特征与代数表达式对应不准确题型一二次函数的图象与性质解｜题｜技｜巧1.明确a、b、c的符号意义2.熟练掌握顶点坐标和对称轴公式3.利用对称性简化计算易｜错｜点｜拨比较函数值大小时，要判断点与对称轴的相对位置，不能直接代入比较【典例1】如图，将抛物线C1：y=−(x+1)2+2平移到抛物线C2：y=−(x−2)2−1，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上．下列结论：①无论m取何值，都有n2＜0；②若点P平移后的对应点为P′，则PP′=32A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【解答】由解析式可知抛物线开口向下，顶点为（2，－1），∴无论m取何值，都有n2＜0，故①对，符合题意；∵将抛物线C1：y=−(x+1)2+2的顶点为（－∴将抛物线C1：y=−(x+1)∴点P平移后的对应点为P′的最短路程为32+3∵PQ＝|－（m＋1）2＋2＋（m－2）2－1|＝|－6m＋6|，当－3＜m＜1时，PQ＝－6m＋6，PQ随着m的增大而减小，∴当－3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ变短，故③对，符合题意；故选A．【典例2】点P1（1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y＝－2x2＋4x＋c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3【解答】由条件可知抛物线对称轴为直线x=−4∴点P1（1，y1）为顶点，其纵坐标y1为最大值；点P2（3，y2）、P3（5，y3）在对称轴右侧，∴x＞1时，y随x增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，∴y1＞y2＞y3，故选C．【典例3】在平面直角坐标系中，二次函数y1（1）若函数y1的图象经过点（2，－2），求函数y1的表达式；（2）若P（m，n）和Q（5，b）是函数y1图象上的两点，且n＞b，求m的取值范围；（3）若一次函数y2＝－4ax＋b的图象经过函数y1图象的顶点，当1＜x＜3时，比较y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵函数y1=ax∴－2＝4a－8a＋a＋1，解得a＝1，∴函数y1的表达式为y1（2）函数y1=axQ（5，b）关于对称轴的对称点为（－1，b），∵a＞0，∴抛物线的开口向上，当P（m，n）在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，∵n＞b，∴m＜－1，当P（m，n）在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，∵n＞b，∴m＞5，综上所述，m的取值范围为m＜－1或m＞5；（3）∵y1∴函数y1图象的顶点坐标为（2，1－3a）．∵一次函数y2＝－4ax＋b的图象经过y1图象的顶点，∴1－3a＝－4a×2＋b，即b＝5a＋1，∴y2＝－4ax＋5a＋1，令y1＝y2，得ax2－4ax＋a＋1＝－4ax＋5a＋1，整理得ax2－4a＝0，解得x＝－2或x＝2，∴当1＜x＜2时，y1＜y2；当x＝2时，y1＝y2；当2＜x＜3时，y1＞y2．【变式1】已知二次函数y＝x2＋2x－4，当－3＜x≤0时，y的取值范围是（）A．－4≤y≤－1 B．－4≤y＜－1 C．－5≤y＜－1 D．－5≤y≤－4【解答】∵二次函数y＝x2＋2x－4＝（x＋1）2－5，∴该函数的对称轴是直线x＝－1，函数图象开口向上，当x＝－1时，取得最小值－5，∵－1－（－3）＝2，0－（－1）＝1，当x＝－3时y＝－1，∴当－3＜x≤0时，y的取值范围是－5≤y＜－1，故选C．【变式2】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为．【解答】∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点，∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称，∵D（6，4），∴点C坐标为（0，4），∴抛物线对称轴为直线x＝3，由B（8，0）可得点A坐标为（－2，0），∴S△ABC=12AB•OC故答案为：20．【变式3】如图，二次函数y1=x2−2x−3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝－x＋b（1）求b的值；（2）求△ABC的面积；（3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围．【解答】解：（1）当y1＝0时，x2－2x－3＝0，解得：x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）．∵直线经过A点，∴0＝－（－1）＋b，∴b＝－1；（2）由（1）知y2＝－x－1，联立得：x2－2x－3＝－x－1，∴x2－x－2＝0∴x＝－1（舍），x＝2，把x＝2代入y＝－x－1，得y＝－3，∴C（2，－3），∴S△ABC=12×[3－（－（3）当x＜－1或x＞2时，抛物线在直线的上方，∴当y1＞y2时，x＜－1或x＞2．题型二二次函数解析式的确定答｜题｜模｜板1.根据已知条件选择合适形式2.建立方程组3.解方程组求参数4.验证结果合理性【典例1】二次函数y＝a（x－m）2＋k（a，m，k为常数，且a≠0）中x和y满足下表：x…－2－11356…y…50－401221…将原抛物线平移得到新抛物线y1=a(x−m+1)2+k，若点P（n，5）在新抛物线上，则n【解答】由题意，抛物线向左平移1个单位得出y1=a(x−m+1)2+k∴（n＋1，5）在y＝a（x－m）2＋k上，观察表格可得（－2，5）在抛物线上，又对称轴为直线x=−1+3∴（4，5）也在原抛物线上，∴n＋1＝－2或n＋1＝4，∴n＝－3或3．【典例2】有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=−316x2+bx来表示，已知OK＝8米．若借助横梁ST（ST∥OK）建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁ST【解答】由题意可得，抛物线经过K（8，0），将（8，0）代入y=−3∴−316×82＋8b＝0，解得∴抛物线的函数关系式为y=−316x2+由题意可得当y＝1.5时，1.5=−316x2+32x，解得x1＝4＋22，x2＝4∴ST＝x1－x2＝4＋22−（4－22）＝42（米）．则横梁ST的长度是42【典例3】如图，抛物线y＝ax2＋bx－3（a，b为常数，a≠0）与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，D为第三象限抛物线上的动点，DE∥y轴，交线段AC于点E．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x＋3）（x－1）＝a（x2＋2x－3）＝ax2＋bx－3，则a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2＋2x－3；（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，点C（0，－3），则△ACO为等腰直角三角形，直线AC的表达式为：y＝－x－3，当以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似时，则△CDE为等腰直角三角形，当∠EDC为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴（x＝－1）对称，则点D（－2，3），当x＝－2时，y＝－x－3＝－1，即点E（－2，－1），则DE＝2＝DC，符合题意；当∠ECD为直角时，则此时点D为抛物线的顶点（－1，－4），当x＝－1时，y＝－x－3＝－2，即点E（－1，－2），则CD=2=CE，符合题意，综上，点E（－1，－2）或（－2，【变式1】抛物线y＝x2－bx＋c与直线y＝1交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A．b2－4c＞0 B．b＝2 C．c－b＜0 D．c＞0【解答】∵抛物线y＝x2－bx＋c与直线y＝1交于两点，分别为（x1，1）和（x2，1），且x1＜1，∴x1－1＜0，x2－1＞0，∴（x1－1）（x2－1）＜0，∴x1x2－（x1＋x2）＋1＜0．由题意，方程x2－bx＋c－1＝0的两根满足上述关系，∴c－1－b＋1＜0，∴c－b＜0．故选：C．【变式2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋4x的顶点为P（m，n）．（1）若该抛物线与x轴交于点（4，0），则n＝；（2）已知点A（3，－2），B（－3，2），若该抛物线与线段AB始终有两个不同的交点，则n的取值范围是．【解答】（1）∵抛物线与x轴交于点（4，0），∴16a＋16＝0，∴a＝－1，∴y＝－x2＋4x，∵y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，∴抛物线y＝ax2＋4x的顶点为（2，4），∴n＝4，（2）∵点A（3，－2），B（－3，2），∴A、B关于原点对称，∴线段AB经过原点，∵抛物线y＝ax2＋4x始终经过原点，且与x轴始终有两个交点，当a＞0，对称轴在y轴左侧，x＝－3对应的函数值y≥2，∴9a－12≥2，解得a≥149，又∵n=−4当a＜0，对称轴在y轴右侧，x＝3对应的函数值y≤－2，∴9a＋12≤－2，解得a≤−14又∵n=−4a，∴0＜n≤187，综上：【变式3】已知：关于x的二次函数y＝kx2－（k－1）x－2k－2．（1）当k＝2时，求图象与x轴的交点坐标；（2）若图象与x轴有一个交点，求k的值．【解答】解：（1）当k＝2时，函数解析式为y＝2x2－x－6，当y＝0时，2x2－x－6＝0，解得：x1即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和(−3（2）由题意可得：Δ＝0且k≠0，即[－（k－1）]2－4k（－2k－2）＝0且k≠0，解得：k=−1题型三二次函数的实际应用答｜题｜模｜板1.审题建立函数关系2.确定定义域范围3.求最值或特定函数值4.结合实际情况给出答案易｜错｜点｜拨实际问题中必须注意自变量的取值范围，最值可能在顶点处，也可能在边界处【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=12ax+12a与二次函数yA． B． C． D．【解答】A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项符合题意；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，但图象过（1，0）点，求得a＝0，矛盾，故本选项不符合题意．故选A．【典例2】我国女子铅球选手巩立妓夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为y=−1A．19m B．20m C．21m D．22m【解答】令y＝0，则−112x2+19整理得：x2－19x－20＝0，解得x1＝1，x2＝20，∴巩立蛟在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是20cm，故选B．【典例3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40－x）元，每天可以售出（20＋2x）件，依题意得：y＝（40－x）（20＋2x）＝800＋80x－20x－2x2＝－2x2＋60x＋800，当y＝1200时，1200＝（40－x）（20＋2x），解得x1＝10，x2＝20，∵要尽快减少库存，∴x＝20，答：每件衬衫应降价20元；（2）∵y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250，∴当x＝15时，y的最大值为1250，答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．【变式1】如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为米．【解答】以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，∴A（－40，0），E（0，200），设抛物线的解析式为y＝ax2＋200，将A（－40，0）代入y＝ax2＋200，得0＝a×（－40）2＋200，解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−1将y＝150代入y=−18x2+200∴C（－20，150），D（20，150），∴CD＝20－（－20）＝40（米），故答案为：40．【变式2】一次足球训练中，小致从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m，球门高OB为2.4m．按如图所示建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数表达式．（2）通过计算判断小致此次射门能否射入球门内．（3）点C为OB上一点，且OC＝2.25m，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当时小致带球向正后方移动n（m）再射门，足球恰好经过BC区域（包括点C但不包括点B），直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x－2）2＋3，把A（8，0）代入得0＝36a＋3，解得a=−1∴抛物线表达式为y=−112（x－2）2（2）当x＝0时，y=−112×2∴球不能进球门；（3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为y=−112（x－2－n）2把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0－2－n）2解得n＝－5（舍去）或n＝1，把点（0，2.4）代入得：2.4=−112（0－2－n）2解得：n＝－2−655（舍去）或n＝－即－2+65期中基础通关练（测试时间：10分钟）1.设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为－a B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a C．当k＝4时，函数y的最小值为－a D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a【解答】设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，m，k是实数），令y＝0，由a（x－m）（x－m－k）＝0解得x1＝m，x2＝m＋k，∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（m，0），（m＋k，0），∴对称轴为直线x=m+m+k∵a＞0，∴当x=m+k2时，最小值为y=a(m+k当k＝2时，函数y的最小值为－a，当k＝4时，函数y的最小值为－4a，故选A．2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（－1，－2024），与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是为（）A．a＜0 B．a＋c＝b－2024 C．c＜0 D．b2－4ac＝0【解答】∵顶点坐标为（－1，－2024），∴−b2a=−1，4ac−b24a=−2024，∴b＝2a，b2－4ac＝8096a，a＋c＝b－2024，选项B正确；∵a＋c＝b－2024，b＝2a，∴c＝b－a－2024＝a－2024，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，故选项C不正确；∵c＞0，c＝b－a－2024＝a－2024，∴a＞2024，即a＞0，故选项A不正确；∵b2－4ac＝8096a，∴b2－4ac＝8096a＞0，故选项D不正确；综上所述，A，C，D结论错误，B结论正确，故选B．3.已知点（－1，y1），（－4，y2）在二次函数y＝x2＋4x－m的图象上，则y1，y2的大小关系是：y1y2．【解答】∵y＝x2＋4x－m＝（x＋2）2－4－m，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－2，∴当x＞－2时，y随x的增大而增大，∴点（－4，y2）关于直线x＝－1的对称点为（0，y2），∵0＞－1＞－2，∴y1＜y2．4.如图，一次函数y＝x＋a和二次函数y＝x2＋bx的图象交于点A（－3，0）和点B（1，n），则x2＋bx＜x＋a的解集是．【解答】观察图象可得，当－3＜x＜1时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方，∴x2＋bx＜x＋a的解集－3＜x＜1．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋5与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y=15x2于点B，C，则BC的长为【解答】∵抛物线y＝ax2＋5与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，5）．∵过点A且与x轴平行的直线交抛物线y=15x2于点B，C，当解得：x＝±5，∴B点坐标为（－5，5），C点坐标为（5，5），∴BC＝5－（－5）＝10．6.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）关系如图所示，设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？【解答】解：（1）设销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx＋b，把（30，30），（60，0）代入得到y＝kx＋b得，30k+b=3060k+b=0解得k=−1b=60∴销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝－x＋60（30≤x≤60）∴w＝（x－30）•y＝（－x＋60）（x－30）＝－x2＋90x－1800∴w与x之间的函数解析式w＝－x2＋90x－1800（30≤x≤60）；（2）当w＝200时，－x2＋90x－1800＝200，解得x1＝40，x2＝50，∵50＞48，∴x2＝50（不符题意，舍去），即商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．7.已知二次函数的图象经过点C（0，3），顶点坐标为（－2，4），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）求△ABC的面积．【解答】解：（1）由题意，设所求的二次函数的解析式为y＝a（x＋2）2＋4，把x＝0，y＝3代入上式，∴3＝a（0＋2）2＋4，∴a=−14，∴二次函数解析式为y=−14（x＋（2）当y＝0时，0＝y=−14（x＋2）2∴x1＝－6，x2＝2，∴图象与x轴交点A、B两点的坐标分别为（－6，0），（2，0），（3）由题意得：C点坐标为（0，3），AB＝8，∴S△ABC=1期中重难突破练（测试时间：10分钟）1.已知二次函数y＝ax2＋2ax－3a（a≠0），下列说法不正确的是（）A．若该二次函数的图象经过点（－2，5），则a=−5B．该二次函数图象的顶点坐标是（－1，－4a） C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（－3，0）和（1，0） D．若点（－4，y1）和（－2，y2）都在该函数的图象上，则y1＞y2【解答】若该二次函数的图象经过点（－2，5），则ax2＋2ax－3a＝4a－4a－3a＝5，解得a=−53，故∵y＝ax2＋2ax－3a＝a（x＋1）2－4a，∴顶点坐标是（－1，－4a），故B正确，不合题意；∵y＝ax2＋2ax－3a＝a（x2＋2x－3）＝a（x＋3）（x－1），令y＝0，∴x＝－3或x＝1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（－3，0）与（1，0），故C正确，不合题意；∵y＝ax2＋2ax－3a＝a（x＋1）2－4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点（－4，y1）和（－2，y2）都在该函数的图象上，且都在y轴的左侧，∴当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2；故D不正确，符合题意．故选D．2.函数y＝ax2－x＋2和y＝－ax－a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】由一次函数图象可知，－a＜0，即a＞0，抛物线的开口向上，且对称轴直线x=−−1故A选项符合题意．由一次函数图象可知，－a＜0，即a＞0，所以抛物线的开口向上，且对称轴直线x=−−1故B选项不符合题意．由一次函数图象可知，－a＞0，即a＜0，所以抛物线的开口向下．故C选项不符合题意．由一次函数图象可知，－a＜0，即a＞0，所以抛物线的开口向上．故D选项不符合题意．故选：A．3.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（－2，0）．则下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③9a＋c＜3b；④方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－2，x2＝4．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【解答】①∵开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，a、b异号，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确．②∵对称轴是直线x=−b2a=1，∴b＝－2a，∴2a＋b③由图象得：x＝－3时，y＞0，∴9a－3b＋c＞0，∴9a＋c＞3b，故③错误．④根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0），∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，故④正确．综上，正确的是①②④．故选：D．4.若函数y＝（k－2）x|k|＋3x＋1表示y是x的二次函数，则k的值为．【解答】∵函数y＝（k－2）x|k|＋3x＋1是关于x的二次函数，∴|k|＝2，解得k＝－2或k＝2，∵k－2≠0，∴k≠2，∴k＝－2．故答案为：－2．5.如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（－1，－3）、（1，3），点C在抛物线y=−13x2＋bx的图象上，则b的值为【解答】作MN⊥x轴，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝DC，∴∠BCM＋∠DCN＝90°＝∠BCM＋∠CBM，∴∠DCN＝∠CBM，∵∠BMC＝∠CND＝90°，∴△CBM≌△DCN（AAS），∴CN＝BM，DN＝CM，设C（a，b），∵点B、D的坐标分别是（－1，－3）、（1，3），则a＋1＝3－b且a－1＝b＋3，解得：a＝3，b＝－1，∴C（3，－1），∵点C在抛物线y=−13x2＋bx的图象上，∴－1=−13×9＋36.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象过点A（3，0），C（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB＋PC最小时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）把点A（3，0）、C（－1，0）代入y＝－x2＋bx＋c中，得−1−b+c=0−9+3b+c=0，解得b=2则抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；（2）连接AB，与对称轴交于点P，此时PB＋PC最小．在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，则B（0，3）．设直线AB的解析式为y＝mx＋n，∵A（3，0），B（0，3），∴3m+n=0n=3，∴m=−1∴直线AB的解析式为y＝－x＋3，∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴对称轴是直线x＝1．当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴P（1，2）；（3）设Q（m，－m2＋2m＋3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ．则S＝S△OBQ＋S△AOQ－S△AOB=12×3m+12×3（－m2＋=−32m2=−32（m−32∴当m=32时，S最大，此时Q（327.某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线y＝ax2＋x，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线y=−13x＋（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．①求两段路径所在函数解析式；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．（2）当火箭落地点与发射点的水平距离超过18km时，求出a的取值范围．【解答】解：（1）①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km，∴抛物线y＝ax2＋x和直线y=−1∴3.6＝81a＋9，3.6=−1解得a=−115，∴函数解析式分别为：y=−115x②y=−1∴最大值y=15当y=154−1.35=2.4km时，则−115x2又∵x＝9时，y＝3.6＞2.4，∴当y＝2.4km时，则−13x+6.6=2.4．解得x＝14，14－∴这两个位置之间的距离11km．（2）当水平距离超过18km时，火箭第二级的引发点为（9，81a＋9），将（9，81a＋9），（18，0）代入y=−10=−13×18+b解得a=−227，∴−2期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1.随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统．如图，喷灌器喷水点A到地面的高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点B处．若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器OA与围墙的距离OB为（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m【解答】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2＋0.45，∵点（0，0.25）在函数图象上，∴0.25＝a（0－2）2＋0.45，解得a=−1∴y=−1当y＝0时，−1解得x1＝5，x2＝－1（不符合题意，舍去），∴OB＝5m．故选D．2.如图，函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（m，0）和（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②1m+bc+1=0；③关于x的方程ax2＋bx其中正确结论有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∵−b2a＜0，∴b＞0，∴abc②∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点（1，0）和（m，0），∴1×m=ca，am2＋bm＋∴a+bm+cm2=0，∵c＝am，∴③∵方程ax2＋bx＋c＋m＝0，∴ax2＋bx＋c＝－m，∵m＜0，∴－m＞0，由图象可知当y＝－m，直线y＝－m与抛物线有两个交点，∴关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0必有两个不等的实数根．故③正确．故选C．A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样【解答】设围成的图形的面积为ym2，方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为（12－2x）米，由题意得：y＝x（12－2x）＝－2（x－3）2＋18，当x＝3时，y有最大值为18；方案二：∴等腰三角形的腰为6米，当顶角为直角时，面积最大，为：12方案三：设圆的半径为r米，则：πr＝12，解得：r=12∴y=12π（12π）2=4.如图，二次函数y＝ax2－7ax＋6a（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，⊙P（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且AB的弦心距为12AB，则a的值为【解答】由条件可知A（1，0），B（6，0），C（0，6a），∴AB＝5，如图，过P作PD⊥AB于D，连接PA，PB，PC，由条件可知PB＝PA＝PC，∴AD=BD=1∵AB的弦心距为12AB，∴PD=1∴P(72，∵PB＝PA＝PC，∴PC2＝PA2，∴(7解得a1=12，5.如果将运动