专题02有理数（期中复习讲义）（原卷版）七年级数学上学期新教材苏科版

专题02有理数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律有理数的基本概念理解并掌握相反数、绝对值、数轴等概念，能准确进行概念辨析基础必考点，选择题中出现频率极高有理数的运算熟练进行有理数的加减乘除乘方及混合运算，掌握运算顺序和法则高频易错点，混合运算错误率较高，符号错误最常见有理数的大小比较能运用数轴、绝对值等方法比较有理数的大小中档考点，常与数轴结合考查有理数的实际应用能运用有理数解决实际问题，熟练使用科学记数法解决问题，建立数学模型综合应用题必考，需要强化建模能力知识点01有理数的基本概念1.有理数的分类：整数和分数统称为有理数2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数4.绝对值：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离·示例：（1）在数轴上标出－2.5，3，－1，0.5的位置，并比较它们的大小.求下列各数的相反数和绝对值：－3，2.5，0，－eq\f(1,2).（3）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．（1）填空：c0；c－b0；a+b0．（均选填“＞”或“＜”）（2）化简：|c|－|c－b|+|a－c|+|a+b|＝．·易错点：绝对值和相反数概念混淆，求绝对值时忘记化简符号.知识点02有理数的运算1.加法法则：同号两数相加取相同符号并把绝对值相加，异号两数相加取绝对值较大的加数符号并用较大的绝对值减较小的绝对值.2.减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.3.乘法法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.4.除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数.5.乘方的意义：n个相同因数a的乘积叫做a的n次方.（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0运算顺序：先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内的.·示例：计算：（1）－32－|（－5）3|×（-25）2－18÷|－（－3）2；（2）（-3·易错点：混合运算中最容易出现符号错误和运算顺序错误，特别是乘方运算的优先级.知识点03科学记数法表示方法：a×10ⁿ（其中1≤|a|<10，n为正整数）表示技巧：n为所有整数位数减1还原方法：根据指数n用0补全数位·示例：（1）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为（）A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106（2）我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为7.9×103米/秒，则运行2×102秒走过的路程是米（用科学记数法表示）·易错点：a的取值范围错误（必须1≤|a|<10），指数n的确定错误（整数位数或小数位数计算错误）知识点04有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大2.绝对值法：两个负数比较，绝对值大的反而小3.作差法：a－b>0则a>b；a－b<0则a<b·示例：结合具体的数的运算，归纳有关特例，然后比较下列代数式的大小．（1）已知0＜a＜1，则比较1a1（2）如果a＜0，给出：a=-12，a＝－0.25，a＝－2，a＝－1，a＝－5，利用给出的a的值，通过数的运算，归纳有关特例，说明a与·易错点：比较负数大小时忘记“绝对值大的反而小”，分数比较时通分错误，小数与分数比较时形式不统一.知识点05有理数的实际应用·示例：出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米）+15，－3，+14，－11，+10，－18，+14（1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？（2）离开下午出发点最远时是多少千米？（3）若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？·易错点：实际问题中的正负号意义理解错误，单位不统一导致计算错误，最后结果忘记结合实际意义解释.题型一有理数的混合运算解｜题｜技｜巧1.先确定运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内2.将除法转化为乘法3.注意符号规则，特别是负号的处理4.分步计算，避免一步出错全盘皆错易｜错｜点｜拨混合运算中最容易出现符号错误和运算顺序错误，特别是乘方运算的优先级【典例1】-1【变式1】定义一种新运算：观察下列式子：1⊕3＝1×2+3＝5，3⊕1＝3×2+1＝7，5⊕4＝5×2+4＝14．（1）请你想一想：a⊕b＝；若a≠b，则a⊕bb⊕a．（填入＝或≠）（2）计算：（a－b）⊕（a+b）⊕b．【变式2】已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2；求x2－（a+b+cd）x+（a+b）2024+（－cd）2025的值．题型二科学记数法的应用答｜题｜模｜板1.确定a的值（1≤|a|<10）2.确定n的值（整数位数减1或小数位数）3.写成a×10ⁿ的形式4.检查是否符合规范【典例1】地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球表面的面积大约5×108km2，已知地球的质量约为6×1024kg，则地球的质量大约是地球表面全部空气质量的倍．【典例2】比较大小：3.2×104______2.8×105【变式1】用科学记数法表示下列各数：（1）；（2）800000000000；（3）－；（4）120万．【变式2】比较用科学记数法表示的两个数的大小：（1）－3.65×105与－1.02×106；（2）1.45×与9.8×．题型三有理数的大小比较答｜题｜模｜板1.数轴法：在数轴上，右边的数总是比左边的数大.2.运用法则：正数>0>负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的反而小.3.作差法：设a、b为任意两个有理数，若a－b>0，则a>b；若a－b<0，则a<b.4.转化法：对于分数和小数、分数和分数之间的比较，通常统一化为小数或通分后比较.易｜错｜点｜拨1.比较负数时遗忘法则：两个负数，绝对值大的反而小.2.混淆“－a”的正负：－a不一定是负数，当a本身是负数时，－a就是正数。比较时需根据a的具体数值判断。3.不同形式数比较时的转换错误：分数化小数时计算错误，或通分时找不准最简公分母。【典例1】把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列起来．－（－2），3，+（－1），0，|－1.5|【典例2】如图，数轴上有3个点，它们所表示的数分别用a，b，c．（1）在数轴上标出a，b，c的相反数－a，－b，－c；（2）把a，b，c和它们的相反数用“＜”连接起来；（3）如果将表示数a的点向左移动3个单位长度，同时将表示数b的点向右移动5个单位长度，表示数c的点保持在原来的位置，则移动后的a，b，c三个数的大小关系如何？【变式1】（1）当a＞0时，a－a；当a＝0时，a－a；当a＜0时，a－a．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）请仿照（1）的方法，当a＞0时，比较a和1a题型三有理数的实际应用题答｜题｜模｜板1.明确实际问题中的正负意义2.建立有理数运算模型3.计算结果并结合实际解释易｜错｜点｜拨实际问题中要特别注意单位的统一和结果的合理性。【典例1】乐高侧重于培养孩子的解决问题能力，沟通表达能力，自我学习能力和创新实践能力．某线上文具店计划每天销售100套乐高，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：套）．星期一二三四五六日与计划量的差值+4－3－5+14－8+21－6（1）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售套；（2）本周实际销售量是否达到了计划量？试说明理由；（3）若每套乐高按80元售卖，平均每套乐高需要线上文具店支付的运费是10元，那么该线上文具店本周销售乐高实际收入多少元？【典例2】如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．（1）求出a，b的值；（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？【变式1】如图，电子宠物狗在6×6的网格（每个小网格的边长表示10米距离）图上沿着网格线运动．电子宠物狗从点A处出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从点A到点B记为A→B（+1，+3），从点B到点A记为B→A（－1，－3），其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况．（1）填空：从点C到点D记为C→D；（2）若电子宠物狗从点A处出发，行走路线依次为（+2，+1），（+2，+3），（+1，－1），（－2，0），（－1，+2），请在图中标出电子宠物狗运动停止的位置点E；（3）在（2）中，若电子宠物狗每走1米消耗0.5焦耳的能量，则电子宠物狗运动过程共消耗多少焦耳的能量？期中基础通关练（测试时间：10分钟）1.已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a+b＜0 B．1－a＜0 C．－a＞b D．a－b＜02.－3的相反数是（）A．－3 B．13 C．-13 3.5G是第五代移动通信技术的简称，5G网络理论速度可以达到每秒KB以上，这意味着一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示为（）A．1.3×106 B．1.3×105 C．13×105 D．1.3×1074.计算：（1）-22+|-36|×(34-25.已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．求：m+a+6.小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误．－34÷272-[（－2）解：原式＝－81×227-（-2＝－6+4=-14（1）小明在第步开始出现错误；（2）请给出该题的正确解答．7.最近几年，全球新能源汽车发展非常迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车的产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录每天行驶的路程（如表）．以60km为标准，超过60km记为“+”，不足60km记为“－”，刚好60km记为“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）－6－10－150+45+36+30（1）小明家这7天里行驶路程最多的一天比最少的一天多km．（2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？（3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了多少钱？期中重难突破练（测试时间：10分钟）1.若一个数的绝对值是4，则这个数是（）A．4 B．14或-14 C．4或－4 2.数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为－2－x，2x－3和1，则x可能是（）A．－2 B．－1 C．0 D．13.《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10撮＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则8合为（）A．4.8×104粟 B．4.8×105粟 C．8×104粟 D．8×105粟4.电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“934站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于-23，83处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“5.对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n－m）－|m+n|．（1）若a＝－6，b＝7，求a⊕b的值；（2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为－1，x，且A，B两点的距离是7，y是－[－（－5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（－1）的值．6.【定义新知】我们知道：式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a－b|．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题：（1）式子|x+2|在数轴上的几何意义是，当|x+2|+|x－3|＝7，则x的值为；（2）当x＝时，|x+2|+|x+6|+|x－1|的值最小，最小值为；【解决问题】（3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因垃圾分类需要，需要在该公路上建一个垃圾中转站P，用于接收这3个小区的所有垃圾．若小区垃圾的运输和处理总成本为每千米1元/千份，那么垃圾中转站P建在何处才能使总运输和处理总成本最低，最低成本是多少？期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1.如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（）A．a+b B．a－b C．ab D．|a|+b2.－2025的相反数是（）A．2025 B．-12025 C．－2025 D3.若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则a|A．－2 B．－3 C．2 D．14.“天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒3.39×1016次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（）A．1017×1013次 B．1.017×1019次 C．16.95×1016次 D．1.695×1017次5.从特殊到一般，是我们学习和认知新事物经常运用的方法．（1）比较大小：232+13+1，232+23+2，232+33+3，（横线上填“＞”，“＜”或“＝”）（2）请你根据上面的材料，利用字母a、b、c（a＞b＞0，c＞0）归纳