第二十六章二次函数（知识清单）（答案版）数学沪教版九年级上册

第二十六章二次函数1.二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.它的定义域为一切实数．2.二次函数的图象与性质①函数y=ax2的图象与性质：抛物线y=ax2（其中a是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点是(0,0)．抛物线的开口方向由a的符号决定，当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，代表有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，代表有最大值．表格表示如下：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,0)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a<0向下(0,0)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．②y=ax2+c的性质：抛物线y=ax2+c（其中a、c是常数，且a≠0）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点坐标是（0，c）.抛物线的开口方向由所取之的符号决定，当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即有最大值．表格表示如下：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,c)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．a<0向下(0,c)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,0)x=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．a<0向下(h,0)x=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．④y=a(xh)2+k的性质：抛物线y=a(xh)2+k（其中a、h、k是常数，且a≠0）的对称轴是过点（h，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线x=h；顶点坐标是（h，）．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，即有最大值．表格表示如下:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,k)x=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．a<0向下(h,k)x=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．⑤抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的对称轴是直线x=−b2a，顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)，与轴交点为（0，）.当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，即有最小值；当a<0函数二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象a>0a<0开口方向向上向下对称轴直线x直线x顶点坐标(−b(−b增减性在对称轴的左侧，即当x<−b2a在对称轴的左侧，即当x<−b2a最大(小)值3.二次函数图象的平移二次函数y=a(xh)2+k(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2(a≠0)的图象平移而得.在平移时，图象的形状、大小由a决定，即a不变，抛物线的大小、形状皆不变，只有顶点坐标中的h或k发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿x轴平移，上、下沿y轴平移，即y=ax2通过上（下）平移个单位得到y=ax2+k,再通过左（右）平移得到y=a(xh)2+k.所以，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要将抛物线的解析式为顶点式，得到顶点坐标，再根据上下、左右平移规律解决与平移有关的问题，①a的绝对值越大，抛物线的开口越小.②理解并掌握平移的过程具体平移方法，可直观表示如下：平移规律：“左加右减，上加下减”．4.二次函数与一元二次方程①当△=b24ac>0时，方程有两个不相等的实根，二次函数的图象与x轴有两个交点。②当△=b24ac=0时，方程有两个相等的实根,二次函数的图象与x轴有且只有一个交点。③当△=b24ac<0时，方程没有实根,二次函数的图象与x轴没有交点。5.待定系数法求二次函数解析式根据所给的条件灵活选择三种表达形式求抛物线的解析式:(1)已知三点坐标时，常设解析式为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；(3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)时，常设抛物线的解析式为交点式y=a(xx1)(xx2).6.二次函数解析式的几种形式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式：y=a(xh)2+k(a≠0)交点式:y=a(xx1)(xx2)(a≠0)顶点在原点：y=ax2(a≠0)过原点：y=ax2+bx(a≠0)顶点在y轴：y=ax2+c(a≠0)7.求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的方法配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方转化为成y=a(xh)2+k(a≠0)的形式8.二次函数的应用1.审清题意，分析题中所涉及的量，已知量、变量有几个，搞清楚已知量与变量之间的关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。2.设变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位是否对应正确。3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，可利用利润、面积、周长等相关公式列出二次函数。4.求结果，根据题目要求，结合二次函数的相关性质解答相应的问题。5.检验所得解是否正确：即是否是准确求值或是否符合实际生活。6.作答结论。易错：对称轴与x=0的本质去分不清楚。注意：抛物线是直线x=0.易错：误认为对称轴是直线x=c。注意：对称轴依然是直线x=0，顶点坐标为（0，c）．易错：易将开口方向与a、h混淆。注意：开口的方向与大小只与二次项系数a的值或绝对值有关.易错：认为对称轴是直线x=m，顶点坐标为（m，k）。注意：对称轴是直线x=m，顶点坐标为（m，k）。易错：易根据一般式得到函数的对称轴为直线x=b或最值。6.二次函数图象的平移易错：平移不改变抛物线的形状和大小，与a的值无关，记错平移规律。注意：需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律“左加右减，上加下减”进行变化。7.二次函数与一元二次方程易错：根的判别式可用来判断一元二次方程根的三种情况，方程没有根不能决定二次函数有没有最值。注意：一元二次方程根的判别式小于0，二次函数依然存在最值。8.待定系数法求二次函数解析式易错：几种解析式的设法易混淆，带来更多的计算量是，甚至求解不出正确的结论。注意：根据所给信息设出正确的解析式。9.二次函数的应用易错：忽略自变量的实际取值范围，混淆函数的最值与实际值的区别。注意：求解时结合实际意义进行判断.题型一二次函数的概念1．下列函数中，二次函数是（

）A．y=3x+5 B．y=2C．y=−2x2【答案】B【解析】解：A、y=3x+5是一次函数，故不符合题意；B、y=2xC、y=−2D、y=x+5故选：B．2．如果y=m−1xm2【答案】−1【解析】解：∵y=m−1∴m2+1=2且解得：m=−1；故答案为：−13．已知二次函数y=ax2，如果当x=1时y=2，那么当x=2时，y=【答案】8【解析】解：当x=1，y=2时，2=a⋅−12，a=2，∴当x=2时，y=2×2故答案是：8．4．若y=a−3xa−1−3x+2【答案】−3【解析】解：根据题意可得a−1=2则a=±3，又∵a−3≠0，∴a≠3，∴a=−3，故答案为：−3．针对训练：1．下列函数中是二次函数的是（

）A．y=1x2 B．y=2x+32−4x【答案】D【解析】解：A.y=1B.y=2x+3C.y=x2D.y=x(x+1)=x故选：D．2．把y=2−3x6+x变成一般式，它的常数项为【答案】12【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a,b,c根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.【解析】解：∵y=2−3x∴把y=2−3x6+x变成一般式，它的常数项为故答案为：12.3．二次函数y=m−1x2+mx+1中A．m≠1 B．m=1 C．m>1 D．m<1【答案】A【解析】解：∵函数y=m−1∴m−1≠0，即m≠1，故选：A．4．抛物线y=a−1x2的开口向下，那么aA．a>1 B．a<1 C．a>0 D．α<0【答案】B【解析】解：∵抛物线y=a−1∴a−1<0，∴a<1，故选：B．题型二y=ax2图象图象与性质1．抛物线y=−xA．−1,0 B．0,−1 C．0,0 D．−1,2【答案】C【解析】解：抛物线y=−x2的顶点坐标是故选：C2．抛物线y=12x【答案】向上【解析】解：∵在y=12x∴抛物线y=1故答案为：向上．3．函数y=ax2a≠0与直线(1)求a，b的值；(2)x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？【答案】(1)a=−2，b=−2(2)x<0【解析】（1）解：把1,b代入y=x−3可得：b=1−3=−2∴点1,b的坐标为1,−2把1,−2代入y=ax2∴a=−2，b=−2；（2）解：由（1）可得y=−2x∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，∴当x<0时，y随x的增大而增大．针对训练：1．下列各点在抛物线y=2x2上的是（A．2,2 B．2，4 C．2【答案】C【解析】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上．B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上．C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上．D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上．故选：C．2．函数y=x2与y=−x2的图象关于轴对称，也可以认为y=x2是函数【答案】x原点180°/180度【分析】由函数y=x2与【解析】如图所示，在平面直角坐标系中画出函数y=x2与

由函数y=x2与函数y=x2与y=−x也可以确定函数y=x2的图像是由函数y=−x故答案为：x，原点，180°．3．已知函数y=(m+3)xm2(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．【答案】(1)m=−4或m=1(2)当m=−4时，该函数图像的开口向下(3)当m=1时，原函数有最小值(4)见解析【解析】（1）根据题意，得m2解得m1∴当m=−4或m=1时，原函数为二次函数．（2）∵图像开口向下，∴m+3<0，∴m<−3，∴m=−4，∴当m=−4时，该函数图像的开口向下．（3）∵函数有最小值，∴m+3>0，则m>−3，∴m=1，∴当m=1时，原函数有最小值．（4）当m=−4时，此函数为y=−x2，开口向下，对称轴为当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当m=1时，此函数为y=4x2，开口向上，对称轴为当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．题型三y=ax2+k1．二次函数y=ax2−2A．(2,0) B．(−2,0) C．(0,2) D．(0,−2)【答案】D【解析】解：二次函数y=ax2−2故选：D．2．二次函数y=−x2+k与y轴交点的纵坐标为3，则kA．0 B．1 C．−3 D．3【答案】D【解析】解：∵y=−x2+k∴0,3在函数图象上，代入解析式的：3=−0+k，∴k=3；故选D．3．抛物线y=−x2+2A．直线x=2 B．直线x=−2 C．直线x=2 D．y【答案】D【解析】解：根据二次函数的图象与性质可知：抛物线y=−x2+2的对称轴是直线x=0故选：D．18．如果抛物线y=ax2−1的顶点是它的最高点，那么a【答案】a<0【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可得出a的取值范围．【解析】解：∵抛物线y=ax∴二次函数的图像开口向下，且函数值有最大值．∴a<0．故答案为：a<0．针对训练：1．抛物线y=ax2+c与y=−3x2【答案】y=3x【解析】解：∵抛物线y=ax2+c∴a=3，∵顶点坐标是（0，2），∴y=3x故答案为：y=3x2．如果抛物线y=k−1x2+2的开口向下，那么A．k>0 B．k<0 C．k>1 D．k<1【答案】D【解析】解：由题意，得：k−1<0，∴k<1；故选D．3．抛物线y=−x2+1A．1,0 B．0,1 C．−1,0 D．0,−1【答案】B【解析】解：抛物线y=−x2+1故选B．4．如果点A−3,y1和点B2,y2是抛物线【答案】>【解析】解：∵y=x∴抛物线的对称轴是直线x=0，抛物线的开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小，∵−3<−2<0，∴y故答案为：>．5．已知函数y=m+3xm(1)求m的值；(2)函数图象的两点A1,y1，B5,y【答案】(1)m=1或m=−5(2)m=−5【解析】（1）解：∵函数y=m+3xm∴m+3≠0m解得：m=1或m=−5．（2）∵该函数的对称轴为y轴，点A1,y1，B∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，∴m+3<0，解得m<−3∴m=−5．题型四y=a(xh)21．对于二次函数y=(x+3)2的图象，下列说法不正确的是（A．开口向上 B．对称轴是直线x=−3C．顶点坐标为(−3,0) D．当x<−3时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】解：A、因为二次函数的表达式为y=(x+3)B、抛物线y=(x+3)2的对称轴是直线C、因为抛物线y=(x+3)2的顶点坐标为D、因为抛物线y=(x+3)2的对称轴为直线x=−3，且开口向上，所以当x<−3时，y随故选：D．2．已知A0，y1，B3，y2为抛物线A．y1>y2 B．y1【答案】A【解析】解：将A0，y1，得：y1=0−2∴y1故选A．3．如果二次函数y=ax+12的开口方向向下，那么a的取值范围是【答案】a<0【解析】解：∵二次函数y=ax+1∴a<0，故答案为：a<0．4．如果二次函数y=a(x−1)2的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是【答案】a<0【解析】解：∵二次函数y=a(x−1)∴抛物线的开口向下，∴a<0；故答案为：a<0针对训练：1．关于二次函数y=−12x+1A．开口向下 B．图像不经过第一象限C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是0【答案】D【解析】解：A、∵二次函数y=−12x+1∴抛物线开口向下，故该选项正确，不符合题意；B、∵x+12∴−12x+1∵第一象限的横纵坐标都为正，∴该抛物线不经过第一象限，故该选项正确，不符合题意；C、∵抛物线开口向下，∴在对称轴右侧的部分是下降的，故该选项正确，不符合题意；D、∵抛物线解析式为y=−1∴顶点坐标为−1，故选D．2．若点A−3,y1,B−2,y2A．y1>y2>y3 B．【答案】A【解析】解：∵二次函数y=a（x+1）2中a＞0，∴开口向上，对称轴为x=1，∵3＜2＜1，∴y1＞y2＞y3．故选：A．3．已知抛物线开口向上，对称轴是直线x=5，抛物线上两点坐标为（2，y1），（4，y2），那么y1【答案】>【解析】解：∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=5，∴x<5时，y随x增大而减小，∴y故答案为：>．4．已知抛物线y=ax−ℎ2的对称轴为直线x=−2，且过点(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标．【答案】(1)y=−(2)抛物线的开口向下，顶点为−2,0．【解析】（1）解：∵抛物线y=ax−ℎ2的对称轴是直线∴ℎ=−2，∴抛物线解析式为y=ax+2∵抛物线过1,−3，∴−3=9a，解得a=−1∴抛物线解析式为y=−1（2）解：∵抛物线为y=−13x+2∴抛物线的开口向下，顶点为−2,0．题型五y=a(xh)2+k1．抛物线y=x−12+2A．直线x=1 B．直线x=−1 C．直线x=−2 D．直线x=2【答案】A【解析】解：抛物线y=x−12+2故选：A．2．对于二次函数y=−x−2A．开口向上 B．顶点坐标−2,5C．对称轴是直线x=2 D．在x>2时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】解：A、−1<0，抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意；B、顶点坐标为2,5，则该选项错误，故不符合题意；C、对称轴是直线x=2，则该选项正确，故符合题意；D、当x>2时，y随x的增大而减小，则该选项错误，不符合题意；故选：C3．抛物线y=−5+2x+12的顶点坐标是【答案】(−1,−5)【解析】解：抛物线y=−5+2x+12=2故答案为：(−1,−5)．4．若二次函数y=ax−m2+na,m,n≠0不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了【答案】三与四【解析】解：∵二次函数y=ax−m∴抛物线顶点坐标为m,n，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口向上，∵平移后新抛物线的顶点坐标在x轴上，新抛物线不可能经过第三、四象限，故答案为：三与四．针对训练：1．抛物线y=2(x−1)2+3A．x=−1 B．x=1 C．x=2 D．x=3【答案】B【解析】解：抛物线y=2(x−1)2+3故选：B．2．关于二次函数y=−2(x−1)A．开口向上 B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(−1,0)【答案】C【解析】∵y=−2(x−1)∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,0)，∴x>1时，y随x增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的，把x=0代入y=−2(x−1)2∴抛物线经过0,−2，故选：C．3．若A−4,y1、B−2,y2、C1,y3是二次函数y=4(x+1)2图象上的三点，则y1【答案】y【解析】解：由题意知，y1=4×−4+12=36∴y2故答案为：y24．已知抛物线y=−x−ℎ2+k的对称轴为直线x=2(1)求该抛物线的解析式；(2)当0≤x≤a时，该二次函数值y取得的最小值为−7，求a的值．【答案】(1)y=−(2)a=6【解析】（1）解：∵抛物线y=−x−ℎ2+k∴ℎ=2，∴y=−x−2把A0,5代入得：5=−解得：k=9，∴该抛物线的解析式为y=−x−2（2）解：∵a=−1<0，∴当x=2时，y有最大值9，当y=−7时，−7=−x−2解得：x1∵当0≤x≤a时，该二次函数值y取得的最小值为−7，∴a=6．题型六y=ax2+bx+c1．关于抛物线y=−xA．开口向下 B．与y轴交于正半轴C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限【答案】B【解析】解：∵a=−1<0，∴图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；令x=0，即y=3，∴与y轴的交点坐标为0,3，即交于y轴的正半轴，故选项B正确，不符合题意；x轴=−b令y=0时，−x2−2x+3=0，解得：x1=−3，x2=1，故与x轴的交点故选：D2．若点−3,y1,0,y2,A．y1>y3>y2 B．【答案】B【解析】解：由y=x+22得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线∵点−3,y1，0,y2，1,y∴y1故选：B．3．如果抛物线y=2−ax2+3x−a的开口向上，那么【答案】a<2【解析】解：∵抛物线y=2−a∴2−a>0，解得a<2，故答案为：a<2．4．如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线【答案】y=2x−6【解析】解：根据抛物线的顶点坐标公式可得抛物线y=ax横坐标为x=−4纵坐标为y=−24a−16∴y=2×−∴抛物线y=ax2+4x−6故答案为：y=2x−6x≠0针对训练：1．已知二次函数y=−x2+2x−3A．该函数图像有最低点1,−3 B．该函数图像对称轴为直线x=−1C．该函数图像在x轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的【答案】C【解析】解：∵二次函数y=−x2+2x−3=−∴该函数图象有最高点(1,−2)，故选项A错误，该函数图像对称轴为直线x=1，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C．2．已知函数y=−4x2+4ax−4a−a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是−5【答案】−5或5【解析】解：对称轴为直线x=−4a①x=a∵−4<0，∴函数在0≤x≤1上，y随x的增大而减小，∴当x=0时，y=−4a−a解得：a=−5或a=1（舍）；②当0<a2≤1此时当x=a2时，函数有最大值，则解得：a=5当a2>1时，即∵−4<0，∴函数在0≤x≤1上，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y=−4+4a−4a−a解得：a=±1（舍），综上：a的值为−5或54故答案为：−5或543．已知：二次函数y=(m−1)x【答案】函数解析式为y=−2【解析】解：令x=0，y=0，得0=m2−1，m∵是二次函数，∴二次项系数不能为零，即m−1≠0，m≠1，∴m=−1，将m=−1代入原函数，得y=−1−1综上：m=−1，函数解析式为y=−2x题型七二次函数图象与各项系数符号1．如果抛物线y=ax2+bx经过第一、二、三象限，那么常数a、bA．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0【答案】A【解析】解：由题意得，二次函数经过原点可知，c=0，如图所示，函数图象经过第一，二，三象限，∴抛物线开口向上，故a>0，∴对称轴在轴的负半轴，∴−b∴b>0．故选：A．2．抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的部分图像如图所示，顶点坐标(−1,n)，则以下结论：①abc>0；②3a+c>0；③若m为任意实数，am2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：由图像可知，a<0，c>0，∵其顶点坐标为−1,n，∴对称轴为x=−1=−b2a，∴b=2a<0，则y=ax∴abc>0，故①正确；由对称轴可知1,y1关于对称轴对称的点坐标为由图像可知，y1∴y1∵am2−1∴m为任意实数时，am∵ax∴ax2+bx+c=−当x=−1时，y=−n∵y=−n∴y=ax2+bx+c即ax故正确的有①③④，共3个，故选：C．3．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过点−1,0，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①abc<0；②a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为x+1x−5；④当m>−9aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：由题图可知a<0，c>0，−∴b∴abc<当x=−1时，a−b+c=0，即a+c=b，故②正确；∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标为−1，对称轴为直线x=2，∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为5，∴多项式ax∵−∴b=−4a∵a+c=b∴c=−5a∵当x=2时，y有最大值，即y=4a+2b+c=4a−8a−5a=−9a，∴当m>−9a时，抛物线y=ax2+bx+c即关于x的方程ax综上，①②④正确．故选：C．针对训练：1．二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像如图所示，现有以下结论：①b>0；②abc<0；③

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：∵根据抛物线开口方向向上，对称轴为x=1∴a>0，x=−b2a=1∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c<0，即abc>0，故②错误；由函数图像可知：当x=1时，函数值小于0，即a+b+c<0，故③正确；根据抛物线与x轴有两个交点，可知b2综上，正确的有③④；共2个．故选B．2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，其中正确结论的序号为．【答案】②③．【解析】由图象可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的；当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图象可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确；对称轴为x＝1，即﹣b2a∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的，故答案为：②③．3．如果抛物线y=（k+1）x2﹣2x+3的开口向上，那么k的取值范围为．【答案】k>−1【解析】解：∵抛物线y=（k+1）x22x+3的开口向上，∴k+1＞0，解得k＞1．故答案为：k＞1．题型八一次函数与二次函数综合1．函数y=ax+b与y=ax2+bxA． B．C． D．【答案】C【解析】解：当x=0时，y=ax2+bx=0B、对于y=ax+b，则a>0，b>0，而对于y=ax2+bx的对称轴x=−b2aC、对于y=ax+b，则a<0，b>0，而对于y=ax2+bx的对称轴x=−b2a同理，D不符合题意；故选：C．2．已知一次函数y=cx+ba的图象如下，则函数y=ax

A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】解：由一次函数的图象可得：c<0，∴函数y=ax2+bx+c的图象与y∴排除A、C选项；函数y=ax2+bx+c∴函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴与x∴只有B选项符合题意，故选：B．3．已知二次函数y=ax2+bx的图像如图所示，则一次函数y=ax+bA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】解：根据二次函数y=ax2+bx的图象可知，∴b>0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．针对训练：1．在同一平面直角坐标系中，画出直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bxA． B．C． D．【答案】D【解析】解：当x=0时，y=0，则抛物线y=axA、直线y=ax+b中，a>0，b>0，抛物线y=ax2+bx中，a>0，−C、直线y=ax+b中，a>0，b=0，抛物线y=ax2+bx中，a>0，−D、直线y=ax+b中，a<0，b<0，抛物线y=ax2+bx中，a<0，−故选：D．2．二次函数y=ax2+4x+aA． B．C． D．【答案】D【解析】解：对称轴为直线x=−4a>0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点(0,a)，一次函数y=ax+a经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点(0,a)，a＜0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点(0,a)，一次函数y=ax+a经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点故选：D．3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=−ax+bc【答案】第一【解析】解：由抛物线开口向上可知a>0∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0∵抛物线的对称轴x=−b2a在∴−b2a则直线y=−ax+bc中−a<0，bc<0，它经过二、三、四象限，即不经过第一象限故答案为：第一4．直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是【答案】1,3−2,0【解析】解：联立两函数的解析式有：y=x+2y=x2+2x，解方程组，得则直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是1,3故答案为：1,3，−2,0．题型九反比例函数与二次函数1．已知反比例函数y＝kx，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣kA．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】解：∵反比例函数y＝kx，当x＞0时，y的值随x∴k＜0，∴二次函数y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，则图象开口向下，﹣k＞0，则图象与y轴交在正半轴上，又∵b＝﹣1＜0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧，符合题意的只有选项D．故选：D．2．同一坐标系中，反比例函数y=kx与二次函数y=kxA．B．C． D．【答案】D【解析】解：当k＞0时，反比例函数y=kx的图象位于第一、三象限，二次函数当k＜0时，反比例函数y=kx的图象位于第二、四象限，二次函数故选：D．3．反比例函数y=1x与二次函数y=−x【答案】3个【分析】根据数形结合的思想进行判断即可；【解析】y=−x即可得到有三个交点．故答案是3．针对训练：1．如图，在同一直角坐标系中抛物线y1=ax2+bx+c与双曲线y2=kx交于Axa

A．x>xa或xb<x<xC．x<xa或x<xb或x>xc 【答案】B【解析】解：观察函数图象，可知当y1<y2时，故选：B．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx−1（a，b均不为0）与双曲线y=kxk≠0的图象相交于A−2,m，B【答案】−2<x【解析】解：不等式ax2+bx<根据函数图像可知不等式的解集为：−2<x<故答案为：−2<x<3．如图，已知抛物线y=ax24x+c(a≠0)与反比例函数y=9x的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax24x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为【答案】(125【解析】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，∵抛物线y=ax24x+c(a≠0)与反比例函数y=9x∴点B（3,3），∴{a×解得，{a=1∴y=x24x+6=（x2）2+2∴点A的坐标为（2,2），∴点A＇的坐标为（2，2），设过点A＇（2，2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n∴{2m+n=−2∴直线A＇B的函数解析式为y=5x12,令y=0,则0=5x12得x=125故答案为（125题型十待定系数法求二次函数表达式1．一抛物线与抛物线y=12x2−2x+3A．y=−12(x−2)C．y=12(x+2)【答案】C【解析】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线y=1∴a=1∵顶点为(−2,1)，∴抛物线解析式为y=1故选：C．2．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)满足：（1）当x=−1时，y=0，（2）对一切A．y=12xC．y=12x【答案】B【解析】解：∴当x=1时，y≤1+∵y≥x，∴当x=1时，y≥1，即1≤y≤1，∴x=1时，y=1；当x=1时，y=1，当x=−1即a+b+c=1，a−b+c=0，解得：b=12，∵对任意实数x，恒有y≥x，∴ax即ax∴Δ=即(a−1解得：a=1故抛物线的表达式为：y=1故选：B．3．已知一抛物线的形状与y=12x2+72【答案】y=12【解析】解：∵对称轴是直线x=−2，且与x轴的两交点之间的距离为2，∴由对称性可知，与x轴的交点分别为(−1,0)，(−3,0)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x+3)，∵抛物线的形状与抛物线y=1∴a=±1∴抛物线解析式为y=±1即抛物线解析式为y=12x针对训练：1．已知二次函数的图象经过−1,0，2,0，0,2三点，则该函数的解析式为（

）A．y=−x2+x+2 B．y=x2+x−2【答案】A【解析】解：设y=ax把−1,0，2,0，0,2分别代入y=axa−b+c=04a+2b+c=0解得a=−1，∴该函数的解析式是：y=−x故选：A2．已知二次函数y=ax2+bx+x…01345…y…−5−−−5−…关于它的图象，下列判断正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线x=1C．一定经过点−1,−152【答案】C【解析】解：∵点0,−5，4,−5在抛物线上，∴抛物线的对称轴为直线x=2．设抛物线的解析式为y=ax−22+k，将4a+k=−5a+k=−可解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−1∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的．将x=−1代入，得y=−15故选C．3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(1,2)、(0,1)【答案】解析式为y=−x2+2x+1；开口向下；顶点为【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(1,2)、(0,1)∴a+b+c=2解得：a=−1∴该函数解析式为：y=−x∵−1<0，∴图像开口向下；∵y=−x∴顶点为1,2，对称轴为直线x=1．题型十一二次函数的平移1．将抛物线y=−2x2沿x轴方向向右平移2个单位后得到的抛物线的关系式为（A．y=−2x2+2C．y=−2(x+2)2 【答案】D【解析】解：将抛物线y=−2x2沿x轴方向向右平移2个单位，所得到的抛物线解析式为故选：D．2．抛物线y=−2x2+3的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线x=2A．y=−2x2 B．y=−2x2−8x 【答案】C【解析】解：∵抛物线y=−2x∴设经过平移后的抛物线为y=−2x∵其对称轴为直线x=2，∴−b∴b=8，∴平移后的抛物线为y=−2x故选：C．3．将抛物线y=2x+2A．y=2x−12−2 B．y=2x+12+3【答案】C【解析】解：将抛物线y=2x+22−1故选：C．4．函数y=x2−6x−7的图像与x轴交于点A、B，将函数y=x2−6x−7的图像向上平移，平移后的图像与x轴交于点C、【答案】y=【解析】解：当y=0时，x2解得x1=7，∴A−1,0，B∴AB=7−−1∵AB=2CD，∴CD=4，∵函数y=x2−6x−7∴C1,0，D∴平移后抛物线的解析式为y=x−1即y=x故答案为：y=x5．将抛物线y=−3(x+4)2−2沿x轴向右平移4【答案】y=−3【解析】解：∵原抛物线为y=−3(x+4)2−2，沿x∴根据“左加右减”原则，把x变为x−4，∴得到新抛物线表达式为y=−3(x−4+4)即y=−3x故答案为：y=−3x针对训练：1．将抛物线y=2x2−1A．y=2(x−2)2+1C．y=2(x+2)2+1【答案】C【解析】解：把抛物线y=2x2−1向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y=2故选：C．2．在同一坐标平面将抛物线y=−12xA．y=−12x−2C．y=−12x+1【答案】D【解析】在同一坐标平面将抛物线y=−1得到新抛物线的解析式为y=−1故选：D．2．将抛物线y=ax2+bx【答案】x=−1【解析】解：抛物线y=ax2+bx∵新的抛物线的图像经过原点，令y=0，解得x=−2或x=0，∴对称轴为直线x=−2+0故答案为：x=−1.题型十二二次函数与坐标轴的交点1．抛物线y=(x−1)2−4与xA．(1,0) B．(3,0) C．(−3,0) D．(−4,0)【答案】B【解析】解：抛物线y=(x−1)2−4与x解得：x1=3或抛物线y=(x−1)2−4与x轴的交点坐标有：3,0故选：B．2．抛物线y=(x−2)2+1与yA．0,2 B．−2,0 C．0,5 D．0,1【答案】C【解析】解：由y=(x−2)2+1得，当x=0∴与y轴的交点坐标是0,5，故选：C．3．抛物线y=x2−3x+1A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【解析】解：∵y=x∴令x=0，则y=1，故与y轴有一个交点，令y=0，则x2Δ=∴与x轴有两个交点，即：图象与坐标轴的交点有3个，故选：D．针对训练：1．抛物线y=−2(x−1)2−3与yA．−5 B．−3 C．−2 D．−1【答案】A【解析】解：当x=0时，y=−2×(0−1)即与y轴交点的纵坐标为−5，故选：A．2．已知抛物线y=ax2−4ax+ℎa≠0与x轴交于Ax1,0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：∵y=ax2−4ax+ℎ∴Ax1,0，B∴A点的坐标是0,0，∴线段AB的长度=4−0=4；故选：D．3．已知y=−2x2+5x+3与x轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，若M是抛物线在第一象限内的动点，则SA．132 B．7 C．6 D．【答案】D【解析】当x=0时，y=3；令y=0，则−2x2+5x+3=0，解得：x∴y=−2x2+5x+3设直线AB的解析式为y=kx+a，a=33k+a=0，解得k=−1∴直线AB的解析式为y=−x+3，若使S△MAB最大，M到直线AB∴设经过点M且与直线AB平行的直线解析式为y=−x+b，则对于方程−x+b=−2x2+5x+3有：62解得b≤152，即b=15∴S△MAB故选：D．题型十三增长率问题1．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（

）A．y=2401−2x B．C．y=2401−x2 【答案】C．【解析】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得，y=2401−x故选：C．2．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为．【答案】y=462【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y=4621−x故答案为y=4621−x3.某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为x，如果设12月份比10月份多印了y万册，那么y关于x的函数解析式是．（不写定义域）【答案】y=20【解析】解：根据题意得：y=201+x故答案为：y=20x针对训练：1．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x(x>0)，那么y关于x的函数解析式为．【答案】y=100【解析】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为100(1+x)，2021年的蔬菜产量为1001+x∴y=1001+x故答案为：y=1001+x2.某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y=2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%【答案】34【解析】解：根据题意得：二次函数y=2x2+bx+c经过1,10∴2+b+c=108+2b+c=20解得b=4c=4∴二次函数解析式为y=2x当x=3时，y=2×9+4×3+4=18+12+4=34，∴第三年的增长率为34%故答案为：34%3．印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式．【答案】y=5【解析】根据题意，得y关于x的函数解析式为：y=51+x故答案为：y=54．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x>0)，六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数解析式是．【答案】y=200（1+x）2【解析】解：设增长率为x，则五月份的营业额为：y=200(1+x)，六月份的营业额为：y=200(1+x)故答案为：y=200(1+x)2或【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“−”．题型十四营销问题1．某超市销售某款商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y=−x2+10x+125A．125元 B．150元 C．175元 D．200元【答案】B【解析】解：∵y=−x2+10x+125=−∴当x=5时，y有最大值，最大值y=150，∴销售这款商品每天的最大利润为150元，故选：B．2．某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降元．【答案】5【解析】解；设利润为W元，销售单价降价x元，由题意得，W=100−70−x==600−20x+30x−=−=−x−5∵−1<0，∴当x=5时，W最大，∴为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元，故答案为：5．3．某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示(1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式(2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？【答案】(1)m=−x+100(2)50<x≤75【解析】（1）解：设一次函数的一般表达式m=kx+b，将0,100，100,0代入得：100=b0=100k+b解得：k=−1，b=100，故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：m=−x+1000≤x≤100（2）解：每件商品的利润为：x−50，所以每天的利润为：y=x−50∵x=−b∴在50<x≤75元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加．针对训练：1．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x元为正整数），每星期销售的利润为y元，则x与y的函数关系式为（）A．y=10200−10x B．C．y=50+x200−10x 【答案】D【解析】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为200−10x件，∴y=60+x−50故选D．2．某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价元时，可获得最大利润【答案】【解析】解：设裙子降价x元，利润为w元，由题意得：w=40−x∴2＜0，开口向下，∴当x=15时，w有最大值，最大值为1250，∴当裙子降价15元，可获得最大利润为1250元；故答案为15，1250．3.暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（55≤x≤90，且x是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x（元/张）6070售出电影票数量y（张）154134(1)请求出y与x之间的函数关系式；(2)设该影院每天的利润（利润=票房收入−运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式．(3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？【答案】(1)y=−2x+274（55≤x≤90，且x是整数）(2)w=−2(3)电影票价要定在每张87元【解析】（1）解：设y与x之间的函数关系式是y=kx+b，由表格可得，60k+b=15470k+b=134解得k=−2b=274即y与x之间的函数关系式是y=−2x+274（55≤x≤90，且x是整数）（2）解：由题意可得，w=x(−2x+274)−3000=−2x即w与x之间的函数关系式是w=−2x（3）解：由（2）知：w=−2x当w=5700时，则−2x整理得：x2解得：x=87或x=50（舍去），故电影票价要定在每张87元．题型十五二次函数与图形问题1．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为32米，则长方形ABCD的最大面积为（

）A．223平方米 B．108平方米 C．3183平方米 D．【答案】D【解析】解：设苗圃ABCD的一边CD长为x米，面积为y，根据题意得，y=x∵墙最大可用长度为14米∴32+2×2−3x≤14，即x≥当x>6时，y随x的增大而减小，∴当x=223时，y最大为故选：D．2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（

）A．y=x(18−4x) B．y=x(16−2x) C．y=x(17−2x) D．y=x(15−4x)【答案】A【解析】解：∵铁栅栏的全长为15米，AB=x米，∴平行于墙的一边长为15+3−4x=(18−4x)米．根据题意得：y=x(18−4x)．故选：A．3．如图是一面足够长的墙，用18m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园ABCD，若设AB的长度为xm，则矩形花园ABCD的面积Sm2与【答案】S=−3【解析】解：设AB的长度为xm，则BC=由题意得，S=x18−3x故答案为：S=−3x针对训练：1．将一张边长为30cm的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】B【解析】解：依题意设侧面积为S；∴S=4x30−2x∵−8<0，∴S有最大值，当x=−120故选：B2．如图，把一张长10cm、宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积S(cm2)【答案】S=4【解析】解：∵剪去小正方形的边长为x(cm∴折叠成的盒子的底面长为10−2xcm，宽为8−2x根据题意得：S=10−2x故答案为：S=4x3．如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边AB的长为x米，平行于墙的边BC长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米．(1)当x=10米时，y=___________米，S=___________平方米；(2)求S与x之间的函数表达式；(3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)40，400；(2)S=−2x(3)围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15．【解析】（1）解：当x=10米时，y=60−10×2=40米，，S=10×40=400平方米，故答案为：40，400；（2）解：由题意得：S=xy=x60−2x∵x>0，0<y≤42，∴x>0，0<60−2x≤42，解得：9≤x<30，∴S与x之间的函数表达式为S=−2x（3）解：S=−2x∵−2<0，∴当x=15时，S取得最大值，最大值为450，即围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15．题型十六与投球有关的应用1．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣15（x﹣2.5）2A．1米 B．2米 C．4米 D．5米【答案】C【解析】试题分析：令y=3.05得：﹣15（x﹣2.5）2所以运行的水平距离为4米．故选C．考点：二次函数的应用．2．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=−18x2+bx+c，当实心球运动到点B时达到最高点，那么实心球的落地点C与出手点A【答案】8【解析】解：∵当实心球运动到点B3,3.125时达到最高点，且抛物线函数解析式为y=−∴抛物线函数解析式为y=−1令y=0，得−1解得：x1=8，∴C8,0∴实心球的落地点C与出手点A的水平距离OC为8米，故答案为：8．3．“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中AB的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中CF的长），离投掷点3米（即图中OF的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中OD的长，精确到0.01米，参考数据5≈2.236【答案】小杰这次掷铅球的成绩为9.71米【解析】解：由题意得：B(0,1.6),C(3,2)，设抛物线的解析式为y=a(x−3)将B(0,1.6)代入得a(0−3)解得：a=−2∴抛物线解析式为y=−2令y=0，得−2解得：x=3+35或3−3∴OD=3+35答：小杰这次掷铅球的成绩为9.71米．针对训练：1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为ℎ=−5tA．1米 B．3米 C．5米 D．6米【答案】D【解析】解：因为ℎ=−5t所以小球到达最高点时距离地面的高度是6米，故选D2．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面1.6m，当球到OA的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m．那么投掷距离OB为m【答案】4【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为1，设抛物线的解析式为y=ax−12+1.8∴a+1.8=1.6，解得a=−0.2，∴y=−0.2x−1当y=0时，−0.2x−1得x1∴投掷距离OB为4m；故答案为：4．3．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小丁站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是(1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m2.02.73.23.53.63.53.2①在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；③已知篮网长40cm(2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是m【答案】(1)①见解析②3.6米；y=ax−4(2)2.075【解析】（1）解：①描点，连线，作出函数图象，②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米，由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为4，∴设抛物线解析式为y=ax−4把0，2代入解析式得：解得a=−0.1，∴y与x满足的函数解析式为y=−0.1x−4③当x=6.5时，y=−0.1×6.5−4又3.05−0.4=2.65而2.65<2.975<3.05，∴小石第一次投篮练习擦网而过；故答案为：擦网而过；（2）解：根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，则第二次篮球运行的抛物线解析式为y=−0.1x−4∵第二次篮球运行的抛物线经过6.5，∴3.05=−0.1×6.5−4解得m=0.075，∴2+0.075=2.075米，答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高2.075米．故答案为：2.075．题型十七喷水问题1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（

）A．20米 B．18米 C．10米 D．8米【答案】A【解析】解：∵喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，设抛物线解析式为y=ax−82+1.81=64a+1.8解得a=−∴抛物线解析式为y=−令y=0，解得x=20（负值舍去）即C20,0∴OC=20故选：A【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．2．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=−32x【答案】6【解析】解：∵y=−=−3∵a=−∴抛物线开口向下，有最大值，又0≤x≤4∴x=2时，y取最大值6，即水珠的高度达到最大6米，故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．3．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是：y=−3【答案】2米；6米．【解析】解：由题意得，y=−3又因为0≤x≤4，所以当x=2时，答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数最值的方法．针对训练：1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（

）A．6米 B．5米 C．4米 D．1米【答案】B【解析】解：∵喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，设抛物线解析式为y=ax−22+1.81=4a+1.8解得a=−∴抛物线解析式为：y=−令y=0，解得x=5（负值舍去）即C5,0∴OC=5．故选：B．2．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=−13x【答案】4【解析】∵y=−1∴x=2时，y取最大值43即水珠的高度达到最大43故答案为：433．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ2+k，其中x(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)y=−0.1(2)2或6m【解析】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为5,3.2，设抛物线的解析式为y=ax−5将点0,0.7代入，得0.7=25a+3.2，解得a=−0.1，∴抛物线的解析式为y=−0.1x−5（2）由y=−0.1x−52+3.2得1.6=−0.1x−5解得x1∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为3−1=2(m)，或9−3=6(m)．题型十八拱桥问题1．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数y=−125x2．在正常水位时水面宽AB=30m，当水位上升5mA．8m B．10m C．15m D．【答案】D【解析】解：由题意得，点A的横坐标为−15，在y=−125x2中，当∴A−15,−9∴点C的纵坐标为−9+5=−4，在y=−125x2中，当y=−1∴C−10,−4∴CD=10−−10故选：D．2．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离是4米，如图建立直角坐标平面xOy，如果水面上升了1米，那么此时水面的宽度是米．（结果保留根号）【答案】10【解析】设该抛物线的解析式是y=ax由题意结合图象可知，点10,−4在函数图象上，代入得：100a=−4，解得：a=−1∴该抛物线的解析式是y=−1则水面上升了1米，此时y=−3，∴−3=−125x则此时水面的宽度是103故答案为：1033．如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽AB为12米，如图建立直角坐标系．

(1)求抛物线的函数解析式；(2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中3≈1.7【答案】(1)y=−1(2)10米【解析】（1）由题意可知函数关于y轴对称，C0，4∴函数过点B6,0设抛物线解析式为y=axc=436a+c=0解得a=−1∴抛物线解析式为y=−1（2）水位上升1米，即此时对应水面纵坐标为1，令y=−19x2+4=1，可得则水面宽度为33针对训练：1．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若OA=10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，则抛物线对应的函数表达式为（A．y=−19x+5C．y=−125x+5【答案】D【解析】解：∵OA=10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9∴A10,0，P设抛物线的表达式为y=ax−ℎ把P5,9代入得：y=a把A10,0代入得：0=a解得：a=−9∴抛物线表达式为y=−9故选：D．2．有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为．【答案】y=−3100【解析】设抛物线解析式为y=ax由图象可知，点B的坐标为10,−3，代入解析式得−3=100a，解得a=−3∴该抛物线的解析式为y=−3故答案为：y=−33．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离ℎ（单位：m）随时间t（单位：h）的变化满足函数关系ℎ=−1128t−192

【答案】(1)y=−(2)禁止船只通行时间为32小时．【解析】（1）解：由题意知：DO=EO=12ED=8∴A−8,8，B8,8，设抛物线解析式为y=ax则8=a⋅8解得a=−3∴y=−3（2）解：把ℎ=11−5=6代入ℎ=−1128t−19解得t1=35，∴当3≤t≤35时，禁止船只通行，禁止通行时间为35−3=32h即禁止船只通行时间为32小时.【点睛】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．题型十九与角度参与的应用1．如图，二次函数y=−13x2+43x−1的图象交x轴于A，B两点，图象上的一点CA．(4,−1) B．(4,−32) C．(4.5,−【答案】A【解析】解：二次函数y=−13x2+解得x1=1，∴A(1,0)，B(3,0)，过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠CBA=135°，∴∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，设BD=CD=m，∴C(3+m,−m)，∵点C在二次函数y=−1∴−m=−1解得m1=1，∴C(4,−1)，故选：A．2．如图，已知抛物线y=−x2−3x+4，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，∠PBA=45°时，点P【答案】−3,4【解析】解：如图，连接PB，作PD⊥x轴于D，在y=−x2−3x+4中，令y=0解得：x1=−4，∴B1,0∵点P是抛物线上一动点，∴设Pm,−m2−3m+4，则∵∠PBA=45°，∴△PBD为等腰直角三角形，∴PD=BD，即−m解得：m=−3或m=1，∵点P在第二象限，∴m=−3，∴−m∴P−3,4故答案为：−3,4．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A、B两点，顶点为点(1)求抛物线L1(2)点Q在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果∠POQ=45°，求点Q的坐标；(3)将抛物线L1平移，得到抛物线L2，平移后，抛物线L1上的点A、P落在点M、N处，PN∥AB【答案】(1)y=(2)−3,(3)y=【解析】（1）解：∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A−4,0，B又∵对称轴是直线x=−3，∴16a−4b+c=0c=4−b∴L1的表达式为y=（2）解：∵抛物线L1的对称轴是直线x=−3当x=−3时，y=1∴顶点P的坐标是−3,−1在对称轴x=−3上取点E−3,3，对称轴与x轴的交点记为点H在Rt△EOH中，∵OH=EH=3，∠OHE=90°∴∠EOH=∠HEO=45°，OE=3∵∠POQ=45°，∴∠EOH=∠POQ，∵点P在x轴的下方，∴点Q在线段EH上，∴∠EOQ=∠POH，过点Q作QG⊥OE，垂足为点G，则QG=EG，∵tan∠POH=∴tan∠EOQ=设QG=EG=x，则OG=6x，∵EG+OG=OE，∴x+6x=32∴x=3即EG=3∴QE=2∴QH=HE−QE=3−6∴点Q的坐标为−3,15（3）解：∵PN∥AB，∴点M在射线BA上，且点M的纵坐标与点P相同，为−1将y=−12代入直线y=x+4，得解得x=−9∴点M的横坐标为−9∴点A向左平移12个单位，再向下平移12个单位得到点∴点P向左平移12个单位，再向下平移12得到点∴点N的坐标−7∴平移后的抛物线解析式为y=1针对训练：1．如图，抛物线y=13x2+83x−3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，A．(−8,−3) B．(−7,−163) C．(−6,−7)【答案】B【解析】解：令y=0，则1解得：x1=−9∴A(−9,0)，B(1,0)∴OA=9，OB=1，AB=10当x=0时，y∴C(0,−3)∴OC=3在△ACB中B∴∠ACB=90°∴∠BAC+∠ABC=90°∴2∠BAC+2∠ABC=180°∵∠ACD+2∠ABC=180°∴∠ACD=2∠BAC如图，作点C关于x轴的对称点E，连接AE；则E(0,3)，∠BAC=∠BAE∴∠EAC=2∠BAC=∠ACD∴AE∴k设直线DC的表达式为：y=将C(0,−3)代入得：b=−3∴直线DC的表达式为：y=解方程组y=13x−3y=∵点D在第三象限∴点D的坐标为(−7,−故选：B．2．如图，二次函数y=−x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若∠BEF=2∠ACO，则mA．12 B．22 C．2−1【答案】B【解析】解：当y=0时，−x解方程，得x1=−1，∵点A在点B的左侧，且m>0，∴A(−1,0)，B(2m+1,0)，当x=0时，y=2m+1，∴C(0,2m+1)，∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∵EF∥∴∠BEF=∠BCO，∵∠BEF=2∠ACO，∴∠BCO=2∠ACO，作∠OCB的平分线交OB于点G，过点G作GH⊥BC于点H，如图，∴∠BCO=2∠OCG，GH=GO，∴∠ACO=∠GCO，在△AOC和△GCO中，∠ACO=∠GCOOC=OC∴△AOC≌△GOCASA∴OA=OG=1，∴GH=1，GB=OB−OG=2m+1−1=2m，∵GH⊥BC，∠GBH=45°，∴GH=BH=1，∴GB=G即2m=2∴m=2故选：B．3．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A−1,0，点B3,0，交y(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方（不与点B,C重合），连接BP,CP．①求△BCP的面积的最大值；②若∠OCB=α，∠PBC=β，求【答案】(1)y=−1(2)①2716；②【解析】（1）解：∵二次函数的图象经过点A−1,0，点B∴二次函数的表达式可写为y=a(x+1)(x−3)，∵点C0,∴a0+10−3=∴二次函数的表达式为y=−1（2）解：①设直线BC的表达式为y=kx+nk≠0把B3,0和C3k+n=0n=解得：k=−1∴直线BC的表达式为y=−1如图：过点P作PR⊥x轴于点R，交BC于点Q，设点P的坐标为m,−12m2+m+∴PQ=−∴S====−3∵动点P在直线BC的上方（不与B，C重合），∴0<m<3．∴当m=32时，△BCP面积取得最大值，最大值是②∵PR⊥x轴，∴PR∥∴∠BQR=∠OCB=α．∴α−β=∠BQR−∠PBC=∠BPR∵BR=3−m，PR=−1∴在Rt△BPRtanα−β∵0<m<3，∴12∴12题型二十与相似三角形综合1．抛物线y=ax2+3ax+ba<0，设该抛物线与x轴的交点为A−5,0和B，与y轴的交点为CA．33 B．32 C．105【答案】C【解析】如图所示：∵抛物线y=ax2+3ax+ba<0∵抛物线与x轴的交点为A−5,0和∴B2,0∴当y=0时，5与2是方程ax∴根据韦达定理可得：−5×2=ba∴C0,−10a即∵ΔACO∽ΔCBO，∠AOC=∠BOC=90°∴∠AOC=∠ACB=90°∴O解得a∴OC=−10a=−10×∴tan∠CAB故选C．2．如图1，已知二次函数y=x2+bx+32b的图像与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧），顶点为C，点D(1,m)在此二次函数图像的对称轴直线x=1上，过点(1)求此二次函数的解析式和点C的坐标；(2)当点D的坐标为(1,1)时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD；(3)点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．【答案】(1)二次函数的解析式为y=x(2)见解析(3)E点的横坐标为2+6或72或6【解析】（1）∵点D(1,m)在y=x