专题02圆（期中知识清单8知识12题型4易错清单）九年级数学上学期苏科版

专题02圆（8知识&12题型&4易错清单）【清单01】圆的基本概念1.圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形，也可以描述为平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。2.圆心：圆中心的一点，用字母O表示，它到圆上任意一点的距离都相等。3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。4.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示，直径是圆中最长的线段。5.圆心与半径的关系：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6.圆的性质：在同圆或等圆内，有无数条半径和直径，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍，即d=2r。【清单02】点与圆的位置关系三种位置关系：1.点在圆内：点到圆心的距离小于半径，即d<r。2.点在圆上：点到圆心的距离等于半径，即d=r。3.点在圆外：点到圆心的距离大于半径，即d>r。4.判断方法：根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判断点与圆的位置关系。【清单03】圆的对称性1.轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，因此圆有无数条对称轴。2.中心对称性：圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。4.垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。【清单04】圆的确定条件1.不在同一直线上的三点确定一个圆。2.三角形的外接圆：通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形。【清单05】圆周角与圆心角的关系1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。2.圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。（2）直径所对的圆周角是直角。（3）90度的圆周角所对的弦是直径。【清单06】直线与圆的位置关系1.相离：直线和圆无公共点，此时圆心到直线的距离大于半径，即d>r。2.相切：直线和圆有且只有一个公共点，此时圆心到直线的距离等于半径，即d=r。3.相交：直线和圆有两个公共点，此时圆心到直线的距离小于半径，即d<r。4.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。5.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。【清单07】圆的相关公式1.圆的周长公式：C=2πr=πd。2.圆的面积公式：S=πr²。3.扇形弧长公式：l=nπr/180（n为圆心角度数）。4.扇形面积公式：S=nπr²/360=rl/2。5.圆锥侧面积公式：S=πrl（r为圆锥底面半径，l为圆锥母线长）。【清单08】正多边形与圆的关系1.圆的内接正多边形：把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。2.正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：正多边外接圆的圆心。（2）正多边形的半径：正多边形内切圆半径。（3）正多边形的中心角：正多边形的边所对的外接圆的圆心角。【题型一】圆中最值【答案】D∴点在以为直径的圆上运动，如图，取中点，连接，，故选：．A．2 B． C．3 D．【答案】B∴点P在以点为圆心，为直径的圆上运动，∵过点O，∴是的直径，∴的最大值和最小值差是．故选：B．【分析】此题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，圆周角定理，熟记各定义并应用解决问题是解题的关键．即G在以为直径的圆上∴当A、G、C三点共线时，AG最短，此时点G与点O重合，故答案为：．【题型二】垂径定理A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．故选∶B．【答案】【详解】解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H，最高点E到地面的距离为6mm，故答案为：．【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，解题的关键是熟练运用垂径定理．先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算．【题型三】直线与圆的位置关系A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】A∴直线与相离，故选：．【答案】相交【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键求解圆心到y轴的距离．根据圆心的坐标，可判断出圆心到y轴的距离即为圆心的横坐标的绝对值，判断圆心到y轴的距离与半径的大小即可．∴该圆与y轴的位置关系为相交．故答案为：相交．(1)求证：是圆O的切线；【答案】(1)见详解(2)2【详解】（1）证明：连接，【题型四】圆心角、弧、弦关系A． B． C． D．【答案】B【分析】根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，同弧所对应的圆心角相等，即可解答.故选：B．【点睛】本题考查了圆的基本性质，掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键.【答案】【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．【详解】解：连接、，则的度数为．【变式42】如图，是的弦，是弧的中点．(1)连接，求证：垂直平分；【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵是弧的中点，∴垂直平分；（2）解：设与交于点，如图，由（）知，垂直平分，∴的半径为．【题型五】圆周角定理【答案】D【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理计算即可得到答案．故选：D．【详解】解：如图，连接，∵为直径，【答案】(1)证明见解析；【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．【详解】（1）证明：∵为的直径，连接，如图：∵是的直径，【题型六】正多边形与圆【答案】D故选：D．【变式61】已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为．【答案】9【分析】本题考查了正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质，掌握正六边形的外接圆的半径等于其边长是解题的关键．利用正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质进而计算．【详解】解：边长为9的正六边形可以分成六个以正六边形的中心为公共顶点，边长为9的正三角形，∴外接圆半径是9，故答案为：9．【变式62】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作图复杂作图，正五边形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握知识点的应用．（）连接，交于点，连接，根据正五边形的性质可得直线把五边形分成面积相等的两部分；【详解】（1）解：如图1，直线即为所求；；（2）解：如图2，直线即为所求；理由：连接交于点，∴垂直平分，∴是的中点，【题型七】内切圆A．125° B．140° C．130° D．150°【答案】B故选：B．

【答案】130【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．故答案为：．【答案】(1)见解析【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆和内切圆的综合应用：（1）根据圆周角定理，得到外接圆的圆心为斜边的中点，利用尺规作垂线和尺规作圆的方法，作图即可；【详解】（1）解：如图，即为所求；∴为的直径，【题型八】弧长与圆锥侧面积【答案】D故选：D．【变式81】已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是．【答案】故答案为：．(1)求证：直线是的切线；【答案】(1)见解析【分析】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，圆周角定理，证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键．即是的切线；【题型九】圆内接四边形【答案】140【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．故答案为：140．点，，，四点共圆，【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证出点，，，四点共圆是解题的关键．(1)如图①，若是的直径，求的度数；【答案】(1)135°【分析】（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解；（2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系．本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键．【详解】（1）∵是的直径，（2）如图，连接，【题型十】圆中的无刻度尺作图【例10】如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）(1)在图1中，①作的中点M：②取格点C，使为的一条切线．（作出符合题意的一点即可）(2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析【分析】1）①在正方形网格中，利用圆的对称性和网格线的特点来确定弧的中点；②依据切线的判定定理，找到与圆半径垂直且经过半径外端的直线，从而确定切点．（2）通过构造合适的线段，利用网格的特性找到与已知线段垂直的直线，确定垂足．【详解】（1）解：①如图，点即为所求点；②如图所示，点C即为所求；又∵是的半径∴为的一条切线；（2）解：如图所示，连接交于点F即为所求；【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、切线的判定以及垂直的作图，熟练掌握圆的对称性、切线的判定定理和网格的特性是解题的关键．【变式101】如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成下列画图，保留画图痕迹．(1)如图1，点O、A、B均是格点．(2)如图2，点A，B是格点，圆心在线段上，圆与网格线相交于点C，过点C作圆的切线与网格线交于P．①作圆心O；②过点P作圆的另一条切线，切点为M（点M不与点C重合）．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①见解析；②见解析【分析】本题主要考查了垂径定理，切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．（1）①取格点C，作直线交于M，则点M即为所求；②取格点P，连接并延长交于N，则点N即为所求；（2）①取圆与格线的交点E、F，连接交于O，点O即为所求；②连接并延长交于D，延长交格线于Q，连接交于M，则点M即为所求．【详解】（1）解：①如图所示，取格点C，作直线交于M，则点M即为所求；②如图所示，取格点P，连接并延长交于N，则点N即为所求；（2）解：①如图所示，取圆与格线的交点E、F，连接交于O，点O即为所求；②如图所示，连接并延长交于D，延长交格线于Q，连接交于M，则点M即为所求；(3)在图②中以点为切点画的切线，且点在格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查了网格作图，圆的切线，圆周角定理，圆内接四边形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）根据网格线的特征结合正方形的概念作图即可；（2）解：如图所示，点为所求：（3）解：如图所示，为所求：【题型十一】圆的新定义【例11】在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”．②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围；【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；（2）依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得的最值，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连线的中点在的内部，的中点的纵坐标为1，则点，关于y=1对称点关于的关联点是，故答案为：，．②如图所示，点在线段和上，（2）解：依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，如图所示，则在半径为1的上以及圆内，关于的关联点，如图所示，当在线段上时，取最小值，【变式111】定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形．(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”）①平行四边形一定不是“等对”四边形；（

）②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（

）③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（

）【答案】(1)①；②；③【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，圆周角，“等对”四边形定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；（1）根据“等对”四边形和“垂对”四边形定义，判断即可求解；【详解】（1）解：①平行四边形对角线不相等，平行四边形一定不是“等对”四边形，该说法正确；②“垂对”四边形的对角线垂直，所以“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；故正确；③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是萎形，所以是“垂对”四边形；故正确；故答案为：①；②；③；又∵为的中点，如图所示，∵点绕“完美等直点”逆时针旋转，∴旋转中心点在线段的垂直平分线上，∴点于点重合，∴的横坐标为；∵是的垂直平分线，∴的横坐标为；【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键．【题型十二】动圆相切求t(2)当为何值时，与相切？【分析】此题利用了切线的性质，平行四边形的性质，关键是用运动的观点讨论问题．（1）首先用分别表示和，然后利用平行四边形的性质对边相等就可以求出；（2）当是圆的切线时，利用切线的性质把，，，分别用表示，然后利用勾股定理就可以求出．∴，为的切线，(2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是；(2)；(3)（2）解：①如图，∵、运动的速度与、的比相等，∴圆心在对角线上，故答案为：；设切点为，连接并延长交于，∴的值为；∴的值为．【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．(2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时．①求t的值．②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为．【答案】(1)4或5秒【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．（2）解：如图，连接，∵F是的中点，【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．【题型一】等弧与长度相等弧混淆【例1】下列说法正确的是（）A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧【答案】B【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误；选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误；故选B【变式11】说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可．【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误；②半径相等的两个半圆是等弧，正确；③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误；⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误；综上，正确的有：②③，共2个，故选：B．【变式12】以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是（填序号）．【答案】①③/③①【分析】本题考查了圆的相关概念，正确理解圆、半圆、弧和弦的定义是解题的关键．根据弦、弧、半圆和等圆的定义分别进行判断即可．【详解】解：①直径是圆中最长的弦，故正确；②半圆不是圆中最长的弧，故不正确；③面积相等的两个圆半径相等，而半径相等的圆是等圆，故正确；综上分析可知，正确的有①③．故答案为：①③．【题型二】垂径定理平行弦漏解【答案】B∵、是两条平行弦故选：B．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理进行解题．【变式21】弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，则AB，CD之间的距离为（

）A．7 B．1 C．4或3 D．7或1【答案】D【分析】分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OFOE=1cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=8cm，CD=6cm