专题02一元一次方程及其解法重难点题型专训（2个知识点8大题型5大拓展训练自我检测）

专题02一元一次方程及其解法重难点题型专训（2个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测）题型一判断是否是一元一次方程题型二判断是否是一元一次方程解题型三解一元一次方程（一）——合并同类项与移项题型四解一元一次方程（二）——去括号题型五解一元一次方程（三）——去分母题型六已知一元一次方程的解，求参数题型七一元一次方程解的关系题型八含绝对值计算的一元一次方程拓展训练一一元一次方程的解相同计算拓展训练二一元一次方程的含参计算拓展训练三一元一次方程的遮挡问题拓展训练四一元一次方程中的新定义问题拓展训练五已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解知识点一：一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．【即时训练】1．（2425七年级上·江苏常州·期中）下列等式中，是一元一次方程的是（）【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由定义逐一判断，即可求解；理解“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．”是解题的关键．【详解】解：A.未知数的次数是，故不符合题意；B.含有两个未知数，故不符合题意；C.符合定义，故符合题意；D.不含有未知数，故符合题意；故选：C．2．（2425七年级上·江苏苏州·阶段练习）未知数为，未知项的系数为、常数项为的一元一次方程是．【分析】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是关键；根据题意直接写出方程即可．知识点二：解一元一次方程步骤具体做法变形依据去分母在方程的两边同乘各分母的最小公倍数等式性质2去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律移项把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）等式性质1合并同类项合并同类项法则系数化为1等式性质2解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：去分母分子是多项式的，去分母后要加括号；不要漏乘不含分母的项去括号括号前的数要乘括号内的每一项；括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号移项移项时不要漏项；将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号合并同类项按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当系数化为1未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数【即时训练】【答案】D【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断．故选D.【分析】此题考查了解一元一次方程．利用移项、系数化为1的步骤进行解答即可．【经典例题一判断是否是一元一次方程】A．1 B．4 C．4或0 D．0【答案】D故选：DA．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，据此进行解答即可．根据x的指数为1，且含x项的系数不为0即可．故选：B．【答案】【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．根据一元一次方程的定义列式求解即可．故答案为：【答案】或【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程．根据一元一次方程的定义：“只含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程”，列式求出的值，再解方程，根据方程的解为正整数，求出即可．此方程的解为正整数，且m为整数，故答案为：或．(1)求m和x的值；(2)或【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的定义和解法．综上所述，n的值为或．【经典例题二判断是否是一元一次方程解】【答案】A故选：A．012531【答案】C【分析】本题考查了解一元一次方程．故选：C．【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可．【答案】13★处的数字为13．故答案为：13．4．（2025七年级上·江苏·模拟预测）检验括号内的数是不是方程的解．【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题的关键．（1）将x的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论；（2）将y的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论．【经典例题三解一元一次方程（一）——合并同类项与移项】【答案】B【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．故选B．【答案】C故选：C．【答案】故答案为：．3．（2425七年级上·江苏南京·期中）问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更加斑斓绚丽．如图，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．那么，当正五边形内有个点时，可分得77个三角形．【答案】【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意先确定正五边形内点的个数与被分割成的三角形的个数之间的关系，即可得出规律解答．如图，以后每增加一个点，必然在某一个三角形内部，图形增加2个三角形，故答案为：37．【分析】本题主要考查了整式的加减和相反数，倒数的概念．（1）先求差化简，根据差的二次项系数为0，据此可得到a和3b的值，进一步可得解；∵此差中不含二次项，【经典例题四解一元一次方程（二）——去括号】A．－4 B．4 C．－1 D．1【答案】B【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，把相应的式子代入，利用去括号的法则，及合并同类项的法则进行求解即可．故选：B．1．（2425七年级上·山东青岛·期中）按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C【分析】分三种情况讨论，当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为再列方程，解方程即可得到答案．【详解】解：当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为综上：开始输入的n值可能是5或26或131．故选：C．【点睛】本题考查的是程序框图的含义，一元一次方程的解法，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键．【答案】2【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，先根据新定义得出关于x的方程，然后求解即可．故答案为：2【答案】故答案为：．4．（2425七年级上·江苏常州·课后作业）解下列方程：【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键．（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．【经典例题五解一元一次方程（三）——去分母】A． B．1 C．2 D．【答案】C因为两个方程的解互为相反数，故选C．A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】A【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．根据去分母解一元一次方程的步骤即可得到答案．【详解】解：去分母，等式两边同时乘以，故最开始出现错误的步骤是第一步．故选：A．【答案】故答案为：．3．（2425七年级上·江苏徐州·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：方程两边同时乘以，去分母，得：上述小亮的解题过程中（1）第②步的依据是；（2）第（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子．【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1：（1）根据第②步变形即可得到答案；（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1看过程中变形是否计算错误即可得到答案；∴理论依据是等式的性质2，故答案为：等式的性质2；（2）由题意可得，第③步开始错误，他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程．【答案】①，见解析．【分析】本题考查了解一元一次方程．根据去分母时1没有乘以12可知第①步开始出错，根据解一元一次方程的步骤计算即可．【详解】解：小强在去分母时1没有乘以12，则他从第①步开始出错，解方程如下：故答案为：①【经典例题六已知一元一次方程的解，求参数】A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的求解以及整数解的讨论，解题的关键是先求出方程的解，再根据解是非正整数确定的取值．先对原方程去分母，去括号，移项，合并同类项，将方程化为用表示的形式，再根据是非正整数求出的取值，最后计算这些值的和．5的负因数为和，故选：C．A． B．0 C．1 D．6【答案】C【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“—方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“—方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值．故选：C【答案】1或6【分析】本题考查含参数的一元一次方程的求解以及正整数的性质，解题的关键是用含的式子表示出方程的解，再根据正整数解的条件确定的值．先对给定方程进行求解，得到关于的表达式，再根据是正整数且是整数这两个条件，确定的取值．因为为正整数，为整数，所以必须是整数．综上，的值为1或6．故答案为：1或6．【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．【答案】(1)②(2)95或97(3)16①不是“景元方程”，不符合题意；②是“景元方程”，符合题意，故答案为：②；综上，a的值是95或97；分母m不能为0，【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解．【经典例题七一元一次方程解的关系】A． B．26 C．15 D．【答案】A故选：A．【答案】A【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键；故选：A．【答案】2025故答案为：2025．【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．【经典例题八含绝对值计算的一元一次方程】【答案】A所以分以下两种情况讨论：故选：A．A． B． C．或 D．或【答案】D根据题意可得：故选：．【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键．【答案】【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，解绝对值方程，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．故答案为：；．【答案】或【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键．∵是“差解方程”，∵为正数，∴的值为或，故答案为：或．4．（2425七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料：解：在数轴上与原点距离为的点对应的数为，解：在数轴上与的距离为的点对应的数为，，参考阅读材料，解答下列问题：【答案】(1)(2)2或(3)是，7【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．（1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可；故答案为：；故答案为：2或；故答案为∶是，7．【拓展训练一一元一次方程的解相同计算】【点睛】本题考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．3．（2425七年级上·湖南长沙·期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．【答案】(1)(2)1∵m，n都是正整数，∴是正整数，【点睛】本题主要考查了同解方程问题，熟知解一元一次方程的方法和同解方程的定义是解题的关键．【拓展训练二一元一次方程的含参计算】【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键．(1)判断与是否互为“友好数”，并说明理由．【答案】(1)与是互为“友好数”，见解析(2)(3)的值为【分析】本题考查了对新定义“友好数”的理解与应用、相反数的性质、代数式的化简求值以及数字循环规律的探究，解题的关键是紧扣“友好数”的定义（两数积等于两数和），结合相反数性质、代数式化简方法及循环规律求解各问．（1）根据“友好数”定义，分别计算与3的和、积，若两者相等则互为“友好数”；【详解】（1）解：与3互为“友好数”，理由如下：根据“友好数”定义，需验证两数积是否等于两数和．∵两数和等于两数积，∴与3互为“友好数”．（2）解：∵与互为“友好数”，∵与互为相反数，3．（2425七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．【答案】(1)1(2)5【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．（1）根据“立信方程”的定义解答即可；故答案为：1；故答案为：5；∵的值为整数，∴为整数，且取正整数，∵的值为整数，【拓展训练三一元一次方程的遮挡问题】(1)求■所表示的数字；【答案】(1)【分析】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握整式加减的运算法则．（2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．【详解】（1）解：设■所表示的数字为a，根据题意得：即■所表示的数字为；（2）解：∵■所表示的数字为，(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？(2)2（2）解：设被污染的正整数为m，【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．(1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值；【答案】(1)2(2)【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、未知数系数化为1．（1）代入，解方程即可；【拓展训练四一元一次方程中的新定义问题】【答案】(1)9【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．掌握新运算的法则，是解题的关键．（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；（2）根据新运算的法则，列出方程进行计算即可．；【答案】(1)【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是熟练掌握新定义．（2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，根据题意列出方程即可．【答案】(1)；【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键．（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，【拓展训练五已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】(1)的值；(2)【分析】本题考查了解一元一次方程、相反数、代数式求值、有理数乘方的逆运算，熟练掌握方程的解法和代数式求值是解题关键．（1）先分别求出两个方程的解，再根据这两个方程的解互为相反数可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得；（2）将的值代入，利用有理数乘方的逆运算法则计算即可得．．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．【答案】(1)；【分析】此题考查新定义，一元一次方程的解和解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．（1）根据新定义，确定出伴随多项式即可；（2）根据新定义，确定出伴随多项式，进而列出关于x的方程，求解即可；故答案为：；∵方程有正整数解，且a为整数，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握：含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程，根据定义逐一判断各方程是否符合条件即可．综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个，故选：B．2．（2425七年级上·辽宁丹东·阶段练习）下列各对不等式中，变形错误的是（

）【答案】B【分析】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式同时乘以或除以负数不等号方向改变．根据不等式性质，逐项判断即可．故选：B．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键；先计算方程的解，然后选取和题意符合的解，即可求解；故选：CA．7 B．5 C． D．【答案】B故选B.5．（2526七年级上·江苏常州·课后作业）将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（

）A．504 B．505 C．506 D．507【答案】C【分析】此题主要考查了图形的变化类规律问题，根据正方形的个数变化的规律，以此类推，可得第次正方形个数，即可求解．故选：C．【答案】故答案为：．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的