专题11集合（举一反三讲义）（原卷版）

专题1.1集合（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1元素与集合的关系】 2【题型2集合中元素个数问题】 3【题型3子集的个数问题】 3【题型4判断集合间的关系】 4【题型5与集合间的关系有关的含参问题】 4【题型6集合的交、并、补集运算】 5【题型7与集合的运算有关的含参问题】 5【题型8集合中的新定义问题】 51、集合考点要求真题统计考情分析(1)集合的概念(2)集合间的基本关系(3)集合的基本运算2023年I卷：第1题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分2024年新课标I卷：第1题，5分2025年全国一卷：第2题，5分2025年全国二卷：第3题，5分2025年北京卷：第1题，4分2025年天津卷：第1题，5分集合是高考数学的必考考点，新高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的单选题的前3题中，以简单题为主.知识点集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁UA4．集合的运算性质【常用结论】(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【题型1元素与集合的关系】【例1】（2025·辽宁·三模）已知集合A=1,2,B=x2−A．1∈B B．0∈B C．3∈B D．−3∈B【变式11】（2025·辽宁·二模）设集合A=x|2x−1>m.若2∈A，则m的取值范围是（

A．m≤3 B．m≥3 C．m<3 D．m>3【变式12】（2025·陕西汉中·二模）已知集合A=2m+3nA．3∉A B．−2+53∉A C．4∈A【变式13】（2025·河南·一模）已知集合A=x∣3ax−2≤0，若1∈A且2∉A，则（

A．13<a<2C．13<a≤2【题型2集合中元素个数问题】【例2】（2025·全国一卷·高考真题）设全集U={xx是小于9的正整数}，集合A={1,3,5}A．0 B．3 C．5 D．8【变式21】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合A=x,yx=y，B=x,yx=yA．1 B．2 C．3 D．4【变式22】（2025·新疆喀什·二模）已知集合A={1,2}，B={2,4}，则C={xy∣x∈A,y∈B}的元素个数为（A．1 B．2 C．3 D．4【变式23】（2025·安徽合肥·三模）已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8}，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（

）

A．2 B．3 C．4 D．6【题型3子集的个数问题】【例3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合A=0,2，B=−1,1,2，C=aba∈A,b∈B，则集合A．64个 B．63个 C．16个 D．15个【变式31】（2025·安徽安庆·二模）若集合P=x∣−2≤x<m−m2,x∈Z，当m=1A．8 B．7 C．6 D．4【变式32】（2025·黑龙江·三模）已知集合A={2,3}，B={x|0<x<5，x∈N}A．2 B．3 C．4 D．5【变式33】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合A=0,1,2，B=1,2,3，若集合C={z∈N*z=xy,x∈A且y∈B}A．8 B．16 C．32 D．64【题型4判断集合间的关系】【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合A=x x=A．A=B B．A⊆B C．A⊇B D．A∩B=∅【变式41】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合A=xx=kA．A∩B=∅ B．A=BC．A⫋B D．B⫋A【变式42】（2025·山西·三模）设集合S=x∈N∗x是4与6的公倍数}，A．S∈T B．T⊆S C．S⊆T D．S=T【变式43】（2025·天津·一模）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=n2−1A．M=N⊆P B．M⊆N=P C．M⊆N⊆P D．N⊆P⊆M【题型5与集合间的关系有关的含参问题】【例5】（2025·河南·模拟预测）已知集合A=0,1，B=0,a+1,a−1，若A⊆B，则a=（A．2 B．0 C．0或2 D．−2或2【变式51】（2025·河南·二模）已知集合A=xx−32≤12，B=A．1,2 B．0,1 C．1,2 D．0,1【变式52】（2025·河南·模拟预测）已知集合A=x−1≤x≤3,B=−t,t，若B⊆A，则实数A．−1,0 B．0,1 C．−1,0∪0,1 【变式53】（2025·陕西铜川·三模）已知集合A={x∣x<m},B={x∣−2<x<3}，若A⊇B，则实数m的取值范围为（

）A．−∞,−2 C．3,+∞ D．【题型6集合的交、并、补集运算】【例6】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合A={−4,0,1,2,8},B=x∣x3=x,A．{0,1,2} B．{1,2,8}C．{2,8} D．{0,1}【变式61】（2025·河南·模拟预测）已知集合M=x∈Z2<x<5，N=1,2,3，则M∪N=A．3 B．1,2,3 C．3,4 D．1,2,3,4【变式62】（2025·广东茂名·二模）已知集合M={x∈N||x|≤2},N={−3,−2,−1,0,1,2,3}，则M∩N=（

）A．0,1,2 B．−2,−1,0,1,2 C．−2,2 D．1,2【变式63】（2025·天津·高考真题）已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,B=2,3,5A．1,2,3,4 B．2,3,4 C．2,4 D．4【题型7与集合的运算有关的含参问题】【例7】（2025·山东威海·三模）已知集合A={1,2,m},B={1,m}，若A∩B=B，则m=（A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1【变式71】（2025·贵州·二模）已知集合A=x−3≤x<3，B=yy<m，若A∩B=∅，则A．−∞,−3 B．−3,+∞ C．−【变式72】（2025·北京海淀·二模）已知集合A=−1,0,1,2,B={x∣a<x<2}．若a∈Z，且A∩B=1，则a=A．−1 B．0 C．1 D．2【变式73】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合M=x−3<x<2,N=xa<x<4，若M∪N=A．−3,2 B．−3,2 C．−3,2 D．2,4【题型8集合中的新定义问题】【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知集合P=4,5,6，Q=1,2,3，定义P−Q=xx=p−q,p∈P,q∈Q，则集合A．32 B．31C．30 D．29【变式81】（2025·黑龙江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定义集合：A∗B=x,yx∈A,y∈B，则集合A．16 B．15 C．14 D．13【变式82】（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B={x|x∈A且x∉B}，则对于集合A={x|x=6n+5，n∈N}，B={y|y=3m+7，m∈N}，C=x|x∈AB且x<1000}，以下说法正确的是（A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1个.B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.D．若在横线上填入”∪∁N”，则∁N【变式83】（2025·北京·高考真题）已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,M=x,y∣x∈A,y∈A，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：x1,y1,x2,y(1)对于第1项为(3,3)的K列，写出它的第2项．(2)设Γ为K列，且Γ中的项xi,yii=1,2,…,n满足：当i为奇数时，xi∈{1,2,7,8}：当i为偶数时，x(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．一、单选题1．（2025·北京·高考真题）已知集合M={x∣2x−1>5},N={1,2,3}，则M∩N=（A．{1,2,3} B．{2,3} C．{3} D．∅2．（2025·辽宁·二模）设集合A=x|2x−1>m.若2∈A，则m的取值范围是（

A．m≤3 B．m≥3 C．m<3 D．m>33．（2025·广东揭阳·二模）已知集合A=x,y x24A．7 B．9 C．11 D．134．（2025·山西·三模）已知集合A=x∣0≤x≤3，B=x∣m−1≤x≤m+1，且B⊆A，则m的取值范围是（A．1,2 B．−∞,1∪2,+∞ 5．（2025·辽宁·三模）已知集合M=(x,y)y=12−xA．0 B．1 C．2 D．46．（2025·四川·模拟预测）已知集合A=x x=A．A=B B．A⊆B C．A⊇B D．A∩B=∅7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合A=3,4,5，B=2,3,4,8，则图中阴影部分表示的集合为（A．2,8 B．3,4 C．2,5,8 D．3,4,58．（2025·山西临汾·三模）已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2，B=1A．1,2,4 B．1,2,3 C．1,2,3,5 D．1,2,3,4二、多选题9．（2025·江西·模拟预测）已知集合A=xax≤6，B=2,3A．若a=0，则A=R B．若a=0，则A=∅C．若B⊆A，则a≤2 D．若B⊆A，则a可以取310．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若x,y∈M，则xy∈M；②若x,y∈M，则x+y∈M.下列说法中正确的有（A．−1∈M. B．2025∈M.C．若x,y∈M，则xy∈M. D．若x,y∈M，则x−y∈M.11．（2025·河南·三模）已知全集U=xx<4,x∈Z，集合M=−1,2,a2，N=−1,1,2,aA．a的取值有3个 B．M∩P=C．P∪N=−3,−1,0,1,2,3 D．∁U三、填空题12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合A={x∣2x≤1},B={−1,0,1,2}，则A∩B=.13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合A=1,a−1,a+2，且2∈A，则实数a的值为14．（2025·上海崇明·二模）已知全集U=R，集合A={1,2,4},B={2,4,5}，则A∩∁UB=四、解答题15．（2425高一上·四川眉山·期末）已知集合A=1,a−2,2a2(1)求a的值；(2)写出集合A的所有真子集.16．（2425高一上·浙江杭州·期末）已知集合A={x−3≤x<4(1)当m=1时，求A∩∁(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围.17．（2324高一上·吉林四平·阶段