重难点培优04常见函数与函数中的新定义问题（复习讲义）

重难点培优04常见函数与函数中的新定义问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 4题型一对勾函数（★★★★） 4题型二反函数（★★★） 7题型三高斯函数（★★★★） 11题型四狄利克雷函数（★★★） 16题型五最值函数（★★★★） 19题型六黎曼函数（★★★） 25题型七倍值函数（★★★） 31题型八给出其他新性质定义（★★★★★） 37题型九给出其他新概念定义★★★★★） 46题型十给出其他新运算定义（★★★★★） 5503实战检测・分层突破验成效 59检测Ⅰ组重难知识巩固 59检测Ⅱ组创新能力提升 851、反函数（2）性质③互为反函数的两个函数的单调性相同；④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；⑤单调函数必有反函数．2、对勾函数解析式图像定义域渐近线值域奇偶性奇函数单调性（1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.（2）性质①定义域：R；值域：Z.②不具有单调性、奇偶性、周期性.（3）图象（1）定义域R；值域{0，1}.（2）奇偶性：偶函数.（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.5、最值函数设min{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a＞b，))max{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a＜b.))直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.6、倍值函数7、函数中的新定义问题（1）常见题型①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.（2）解决方案联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题（3）常用方法①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.（4）失误与防范①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.题型一对勾函数【技巧通法·提分快招】【答案】D故选：D【答案】C【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解.故选：CA．3 B．4 C．6 D．8【答案】C故选：C【答案】AC【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案.故选：AC【答案】/0.75所以实数的最大值为．故答案为：题型二反函数【技巧通法·提分快招】A． B． C． D．【答案】A故选：A.【答案】D故选：D.C．关于x轴对称 D．关于原点对称【答案】A故选：A.【答案】D故选：D.【答案】D

故选：D.【答案】B故选：B.题型三高斯函数【技巧通法·提分快招】高斯函数的性质（1）定义域：R；（2）值域：Z.（3）不具有单调性、奇偶性、周期性.【答案】C故选：C.【答案】C故选：C【答案】D【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可.故选：D【点睛】思路点睛：对于高斯函数相关的函数可以分区间讨论其函数形式，然后利用方程转化为两函数交点问题，数形结合计算即可.【答案】AC【分析】根据取整函数的定义判断各选项.故选：AC.【答案】ABD

故选：ABD．【答案】ABD题型四狄利克雷函数【技巧通法·提分快招】狄利克雷函数的性质（1）定义域R；值域{0，1}.（2）奇偶性：偶函数.（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.A．0 B．1 C． D．【答案】B故选B.【答案】D故选：D.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解.故选：AA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】结合奇偶函数以及周期函数的定义判断①②④，应用零点的定义判断③，可得出结果.故选：C【答案】ABD若为有理数,则为有理数，可得若为无理数,则为无理数，可得对任意有理数，若为有理数，则为有理数，【答案】BD故选：BD题型五最值函数【答案】A【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.故选：A【答案】B画出函数图象如下：

显然最小值为2，不合题意，

显然函数在点取得最小值，

显然函数在点取得最小值，故选：B【答案】ACD故选：ACD.【答案】ABD【分析】化简函数解析式，代值计算可判断AB选项；作出函数的图象，数形结合可判断CD选项.故选：ABD.【答案】故答案为：(2)答案见解析题型六黎曼函数A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意结合奇函数性质分析求解.故选：A.【答案】D故选：D【答案】ACD【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果.故选：ACD【答案】ABC故选：ABC【答案】BC【分析】根据黎曼函数R（x）的性质求解判断.故选：BC题型七倍值函数【答案】C故选:C．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据所给定义得到方程组，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解.故选：B下列函数中存在“倍值区间”的有（）【答案】ABD【分析】根据定义分别讨论是否满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.故选：ABD．【答案】②③故答案为：②③.【答案】(1)2(2)(3)1（3）根据“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”分类讨论即可.因为存在唯一的“倍值区间”，题型八给出其他新性质定义【技巧通法·提分快招】（1）尝试用自己的话复述新信息的核心要点，清晰流畅的表述是理解透彻的标志（2）探索新信息与现有知识体系的联系，通过对比分析来把握新知识的内在属性和运作规律【答案】D【分析】根据新定义结合条件逐项进行验证．故选：D．【答案】D【分析】根据性质的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.故选：D.【答案】B【分析】利用基本不等式判断A，举反例判断B，利用作差法判断C，D即可.故选：B(1)判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．【分析】（1）由平移不变性定义结合函数周期性可得答案；【点睛】关键点睛：对于函数新定义问题，关键为读懂定义；将新问题转化为与已解决问题有关的问题，是我们常见处理问题的手段.（2）根据余弦函数的周期性，即可求出的取值集合.（3）采用数形结合的思想，进行分类讨论分析即可得出结论.

（2）（ⅰ）利用奇函数的性质以及题干的定义即可证明结论.题型九给出其他新概念定义【技巧通法·提分快招】（1）学会通过具体例子来体现抽象概念，将复杂理论以简单应用的形式展现出来，以此促进对概念的深刻理解（2）若新信息是对传统概念的扩展，应细致比较其与传统概念的异同，并明确在何种情境下适宜运用书中的理论。A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B故选：B.（4）若为，则也为（为自然对数的底数）.A．（1）（4） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）【答案】C【分析】根据题目新定义，以及对数运算和三角函数性质，分别判断各命题是否符合三个条件，判断命题的真假.故选：C.【答案】C【分析】利用题中“半压缩函数”的定义逐项判断即可.故选：C.【答案】(1)是，理由见解析；【分析】（1）根据函数新定义列式计算判断即可；（2）根据函数新定义结合正弦函数、余弦函数值域计算求解；（3）应用辅助角公式结合新定义列式计算求参.由正弦的差角公式化简得：利用上述性质，解决以下问题：(3)【分析】（1）利用双曲函数满足的等式和奇偶性构造方程组，求解即得；题型十给出其他新运算定义【答案】D故选：D.【答案】B故选：B.【答案】C故选：C.(2)或.【分析】（1）根据三阶行列式运算的定义求函数解析式即可；综上所述，实数的值为或.(3)（i）答案见解析；（ii）答案见解析【分析】（1）（2）由新定义可直接计算判断；【点睛】关键点点睛：第三额解题关键点是利用阴影部分的面积与相应梯形矩形的面积大小，可推出不等式.检测Ⅰ组重难知识巩固A．1 B． C．2 D．11【答案】D故选：D.A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数【答案】B故选：BA．定义域为【答案】B对于D：由于实数的稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间都有有理数，故选：BA．①②都正确 B．①正确、②不正确 C．②正确、①不正确 D．①②都不正确【答案】A故选：AA．只有是 B．只有是C．和都是 D．和都不是【答案】C故选：C.6．对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（

）A．(e+，+∞) B．(e+，+∞)C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)【答案】D【详解】因为f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，所以实数k的取值范围是(e+3，+∞)，故选：D【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．【答案】B故选：B．【答案】B【分析】利用给定定义判断B，举反例判断A，C，D即可.故选：BA． B．0 C． D．【答案】C故选：C．【答案】A【分析】根据给定信息，利用函数的相关概念逐项判断即得.故选：AA．1012 B．2024 C．4048 D．8096【答案】B【分析】由已知函数表达式变形后分别设出，两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直，斜率之积的关系得到结果.故选：B．【答案】D故选：D.其中错误结论的序号是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C故选：C.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：【答案】BC故选：BC【答案】BCD【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论为有理数和无理数，依次判断各个选项，即可得解.故选：BCDC．黎曼函数的最大值为【答案】BC【分析】根据函数的定义计算特殊值判断A选项，根据定义域判断B选项，根据值域判断C选项，结合对称性及周期性判断D选项.故选:.【答案】BC故选：BC下列说法正确的是（

）【答案】AC故选：AC【点睛】关键点点睛：根据已知函数性质，奇偶性定义、赋值法、反证思想的应用为关键.【分析】首先求命题为真命题时的取值范围，再求其补集，即可求解.【答案】……故答案为：【答案】故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值.【分析】（1）根据倒函数的定义判断即可；(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；(2)证明见解析；通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据下凸函数的定义，列出不等式求解得答案；（2）结合下凸函数的定义，利用作差法证明即可；【点睛】思路点睛：本题第3问，构造函数并证明其为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值.26．（2425高三上·广东广州·期末）函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．【答案】(1)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据下凸函数的定义分析证明即可；【点睛】方法点睛：本题属于新概念题，根据题目下凸和上凸函数的概念，利用转化和化归的数学思想对复杂函数进行简单化，据函数的单调性解不等式以及对数恒等式的运用.【分析】（1）用模取余法可求结论；如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，当然还要重新排序，由于退出来的是，则原环的就成了新环的，也就是说原环的序号下标要比新环的大，原环的就成了新环的．需要注意，新环序号后面一直到，如果下标加上，就会超过．下面用数学归纳法证明：推测成立.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问