浙江省浙东北县域名校发展联盟2026届高三上学期11月诊断考试（一模）数学试卷（含解析）

浙江省浙东北县域名校发展联盟（ZDB）2025-2026学年高三上学期11月诊断测试数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知命题，，则命题的否定为（

）A．， B．，C．， D．，3．已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．34．下列函数为奇函数且在其定义域上为增函数的是（

）A． B．C． D．5．若直线与圆相切，则直线的斜率为（

）A．2 B．-2 C． D．6．已知，且，，则（

）A． B． C． D．7．一副扑克牌共有13张红桃牌，其中J､Q､K称为花牌，其它的称为数字牌，现将这13张红桃牌从左到右随机排成一排，则在红桃A的左侧没有数字牌的概率为（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．已知定义在上的函数满足：①；②对，，，则（

）A．B．C．D．，使10．如图，在正四棱台中，，，，为棱上的动点（包括端点），则（

）

A．该正四棱台的体积为B．三棱锥的体积为定值C．存在点，使得平面D．的最小值为11．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），且，，记的内切圆圆心为，则（

）A．直线的斜率为 B．双曲线的离心率为C．直线的斜率为 D．点的横坐标为三、填空题12．已知复数满足，则.13．已知实数，满足，则的最小值为.14．若对，恒成立，则实数的取值范围为.四、解答题15．新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值（单位：个/）进行检验，并统计得到了下表：第15题表第天12345肺炎链球菌值（个/）6657504136并计算得：(1)计算变量和变量的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位小数）；(2)若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈.参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：16．如图，在四棱柱中，底面是边长为4的正方形，，平面平面，，，分别为棱，，的中点.(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.17．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.

(1)若为锐角三角形，求的取值范围；(2)若，，求面积的最大值.18．已知椭圆的焦距为4，的三个顶点在椭圆E上，两点关于坐标原点O对称，，且直线与的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)当为椭圆的右顶点时，求直线的方程；(3)若直线与轴交于点，点在轴上的射影为，证明：.19．已知函数的导函数为，为数列的前n项和，且，.(1)求曲线在处的切线方程；(2)证明：；(3)设，证明：.

参考答案1．A【详解】由题意有：或或或，所以，故选：A.2．D【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题，的否定为.故选：D.3．B【详解】由题，得，因为，所以或或，所以当该组数据为：，中位数为2，当该组数据为：，中位数为2，综上该组数据的中位数都为2，故选：B.4．C【详解】易得为奇函数，但其在定义域上不是单调函数，故A错误；为偶函数，故B错误；的定义域为，易知为奇函数，由，等号仅在等离散点处成立，所以在上单调递增，故C正确；为奇函数，，当时，单调递减，故D错误，故选：C.5．D【详解】由题，因为直线与圆相切，所以，化简得，得，当时，直线与圆相交，不符合题意；当时，得，所以直线的斜率.故选：D.6．B【详解】由得，同理可得，两式相加得，即，所以，因为，所以，得，所以.故选：B.7．C【详解】将一副扑克中的13张红桃从左到右排成一排，共有种不同的排法，红桃A的左侧没有数字牌共有种不同排法，所以红桃A的左侧没有数字牌的概率.故选：C8．C【详解】由题，设，因为三点共线，三点共线，所以，解得，所以，则，当且仅当，即时等号成立，故选：C.9．AC【详解】令有，所以，故A正确；令有，故，故B错误；令有，所以，C正确；令，对，故，对，即，D错误，故选：AC.10．ABD【详解】对于A，由题意得上底面面积为，下底面面积为，如图，连接，设，，可得分别是上底面和下底面的中心，连接，则平面，且是正四棱台的高，

在上取点，使得，由正四棱台性质得，则四边形是平行四边形，故且，则平面，由题意得，，则，因为，所以由勾股定理得，所以由棱台的体积公式得，故A正确，对于B，如图，接，，，由正四棱台性质得，且，则四边形为平行四边形，所以，因为平面，面，所以平面，又，所以点到平面的距离即为到平面的距离且为定值，由题意得为定值，则为定值，故B正确，对于C，假设存在点，使得平面，而面，则，因为，，面，所以平面，而面，可得，与正四棱台的侧面为等腰梯形矛盾，故假设不成立，即不存在点，使得平面，故C错误，对于D，由正四棱台性质得，如图，作，，

由题意得四边形是矩形，则，，则，而，得到，如图，将侧面和沿棱展开，

由余弦定理得，解得，且由题意得，，则，可得，同理可得，，故，即在展开图内直线过点，且，当且仅当共线时取等，故当点与点重合时，的最小值为，故D正确.故选：ABD11．BCD【详解】如图，过点分别作的垂线，设垂足分别为，

对于A，因为，所以，则，设直线的倾斜角为，则，由同角三角函数的基本关系得，所以的斜率，故A错误，对于B，设双曲线的焦距为，则，由双曲线的定义得，则，由余弦定理得，结合已知可得，解得，则双曲线的离心率为，故B正确，对于C，由切线长定理得，，当点在线段上时，，，联立两方程，可得，此时点与重合，同理可得，当点在线段上时，，此时点与重合，故，点与重合，即，可得，故C正确，对于D，设的内切圆半径为，则，又由勾股定理得，则，解得，而，可得，即点的横坐标为，故D正确.故选：BCD12．【详解】因为，所以.故答案为：.13．5【详解】由题，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5.故答案为：5.14．【详解】原式整理得，当时，在上恒成立，令，则，所以单调递增，故，所以时，原不等式恒成立；当时，易知函数在上单调递增，令得，若原不等式在恒成立，则，解得，此时，令，得，所以当时，单调递减；当时，单调递增；因为，故当时，，所以当时，原不等式在恒成立，综上实数的取值范围为故答案为：.15．(1)，两变量线性的相关程度很强(2)，8天【详解】（1）因为，所以，又所以，因为非常接近1，所以两变量线性的相关程度很强.（2）由题，，，，所以，，所以关于的经验回归方程为，令，解得，所以该小白鼠至少需要服药8天才能痊愈.16．(1)证明见解析(2).【详解】（1）证明：取中点，连接，因为为中点，所以，因为底面是正方形，为中点，所以，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，得证.（2）过点作的垂线，设垂足为，连接，因为平面平面，所以平面，故，因为，所以平面，所以，因为是正方形，所以为中点，与点重合，因为，所以，所以直线两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，即，令得，所以，易知平面的一个法向量为，，所以面与平面夹角的余弦值为.17．(1)(2)【详解】（1）由，由正弦定理得，又因为，所以，因为，所以，故，解得（舍）或，因为，所以，得，因为为锐角三角形，所以，故，得，所以的取值范围为.（2）因为，所以当取得最大值时，的面积取得最大值，设，因为，所以，在中，由正弦定理得，得，在中，由正弦定理得，得，，其中，所以当时，取得最大值，所以面积的最大值为.18．(1)(2)或.(3)证明见解析【详解】（1）由题，设，则，因为点在椭圆上，所以，两式作差得，即，所以①，设椭圆的焦距为，则②，又③，综合①②③解得，所以椭圆的方程为.（2）因为为椭圆的右顶点，所以此时要满足，则直线的斜率存在且不等于0，设，与椭圆的方程联立得得，因为，所以，又，所以，得，所以，解得，所以直线的方程为或.（3）方法一：证明：，则，设直线，与椭圆的方程联立，得，则.所以，因为，所以，化简得，所以或，当时，与重合，不合题意，舍去；所以，此时，易得，可得，所以，得证.方法二：证明：记直线的斜率分别为，令，则，因为，所以，又，故，设直线，令得，所以，故，