2025年高三数学高考绝对值不等式解法模拟试题

2025年高三数学高考绝对值不等式解法模拟试题一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）不等式|2x-1|≤3的解集为（）A.[-1,2]B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.(-1,2)D.[-2,1]已知集合A={x||x+2|>3}，B={x|x²-4x+3≤0}，则A∩B=（）A.(1,3]B.[1,5)C.(3,5)D.(-∞,-5)∪(1,+∞)若不等式|x-a|+|x-2|≥3对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,-1]∪[5,+∞)B.[-1,5]C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.[1,3]函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4已知a,b∈R，且|a|≤1，|b|≤1，则|a+b|+|a-b|的最大值为（）A.1B.2C.3D.4不等式|x²-2x|>3的解集为（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-3,1)若关于x的不等式|x+1|+|x-2|<a²-2a有解，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.[-1,3]C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.[0,2]设函数f(x)=|x-a|+|2x+1|，若f(x)的最小值为2，则a的值为（）A.-3或1B.-1或3C.-3/2或5/2D.-5/2或3/2已知a,b∈(0,+∞)，且a+b=1，则|a-2b|的取值范围是（）A.[0,3]B.[1,3]C.(0,3)D.[2,3]若对任意x∈[0,2]，不等式|x-1|+|x-m|≤3恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[-1,3]B.[0,2]C.[-2,4]D.[-1,4]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）不等式|3x+2|>4的解集为__________。若关于x的不等式|x-1|-|x+2|≥k恒成立，则k的最大值为__________。已知函数f(x)=|x+3|+|x-4|，则不等式f(x)≤9的解集为__________。设a,b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，则|a|+|b|与|a-b|的大小关系是__________。若不等式|x-1|+|x+1|≤m的解集非空，则实数m的取值范围是__________。三、解答题（共6小题，共75分）（12分）解不等式|x-2|+|x+1|>5。解法：分三种情况讨论：当x<-1时，原不等式化为-(x-2)-(x+1)>5，即-2x+1>5，解得x<-2；当-1≤x≤2时，原不等式化为-(x-2)+(x+1)>5，即3>5，无解；当x>2时，原不等式化为(x-2)+(x+1)>5，即2x-1>5，解得x>3。综上，解集为(-∞,-2)∪(3,+∞)。（12分）已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|，若不等式f(x)≥a²-3a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围。解法：由绝对值三角不等式得f(x)=|x-1|+|x+3|≥|(x-1)-(x+3)|=4，即f(x)的最小值为4。要使f(x)≥a²-3a恒成立，需4≥a²-3a，即a²-3a-4≤0，解得-1≤a≤4。（13分）已知a,b∈R，且|a|<1，|b|<1，求证：|1-ab|>|a-b|。证明：欲证|1-ab|>|a-b|，只需证(1-ab)²>(a-b)²。展开得1-2ab+a²b²>a²-2ab+b²，化简得1+a²b²>a²+b²，即(1-a²)(1-b²)>0。∵|a|<1，|b|<1，∴1-a²>0，1-b²>0，故(1-a²)(1-b²)>0成立，原不等式得证。（13分）设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|，若存在x∈R，使得f(x)≤m成立，求实数m的最小值。解法：分段讨论f(x)的表达式：当x<-1/2时，f(x)=-3x；当-1/2≤x≤1时，f(x)=x+2；当x>1时，f(x)=3x。作出函数图像可知，f(x)在x=-1/2处取得最小值，f(-1/2)=3/2，故m的最小值为3/2。（12分）已知关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为R，且关于y的不等式|y+2|+|y-1|<m的解集非空，求实数m的取值范围。解法：由绝对值三角不等式，|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4，故m≤4。又|y+2|+|y-1|的最小值为3，要使|y+2|+|y-1|<m有解，需m>3。综上，3<m≤4。（12分）已知函数f(x)=|x-a|+|2x-1|，若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积为4，求a的值。解法：分段讨论f(x)的零点：当a<1/2时，f(x)的零点为x=a和x=1/2，图像与x轴围成三角形的顶点为(a,0)，(1/2,0)，(a,|a-1/2|)，面积S=1/2×(1/2-a)×(1/2-a)=4，解得a=-3/2（a=5/2舍去）；当a≥1/2时，同理可得a=5/2。综上，a=-3/2或5/2。四、附加题（共2小题，每小题15分，共30分）已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|，求f(x)的最小值及此时x的值。解法：根据绝对值函数的几何意义，f(x)表示数轴上点x到1,-2,3的距离之和。当x=1时，f(x)=|1-1|+|1+2|+|1-3|=0+3+2=5，为最小值。设a,b,c∈R，且a+b+c=0，|a|≤1，|b|≤1，|c|≤1，求|ab+bc+ca|的最大值。解法：由a+b+c=0得c=-(a+b)，代入|ab+bc+ca|=|ab-(a+b)²|=|-a²-ab-b²|=a²+ab+b²。∵a,b∈[-1,1]，不妨设a,b≥0，则a²+ab+b²≤1+1+1=3，当a=b=1,c=-2（舍去），调整得a=1,b=1,c=-2不满足|c|≤1，故取a=1,b=0,c=-1，此时|ab+bc+ca|=|0+0-1|=1；取a=1,b=1,c=-2（不满足），最终最大值为1。五、解题方法总结零点分段法：适用于含多个绝对值的不等式，通过令绝对值内表达式为零，划分区间后去绝对值求解。几何意义法：利用|x-a|表示数轴上点x到a的距离，将代数问题转化为距离最值问题。三角不等式法：|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b|