专题09 幂的运算的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册（原卷版）

1/10专题09幂的运算的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、幂的混合运算类型二、逆用幂的相关公式求值类型三、利用幂的乘方比较大小类型四、与幂的运算有关的新定义型问题压轴专练类型一、幂的混合运算1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。例1．计算：．【变式1-1】计算：(1)；(2)．【变式1-2】计算：(1)；(2)．【变式1-3】化简或化简求值(1)．(2)，其中，．类型二、逆用幂的相关公式求值1.开方运算：是乘方的逆运算。若an=b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。2.对数运算：是指数运算的逆。若ab=N（a>0,a≠1,N>0），则b=logaN。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。例2．解决下列有关幂的问题：(1)若，求值；(2)若n为正整数，且，求的值．【变式2-1】（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【变式2-2】①若，求的值．②已知，，求的值．【变式2-3】（1）已知，．求的值；（2）已知，．用a，b表示的值；（3）已知为正整数，且．求的值．类型三、利用幂的乘方比较大小1.

转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。2.

转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。3.

中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。例3．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．）解：，，且，，类比阅读材料的方法，解答下列问题：(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；A．同底数幂的乘法

B．同底数幂的除法

C．幂的乘方

D．积的乘方(2)比较的大小；(3)比较与的大小；(4)已知，，．求之间的等量关系．【变式3-1】比较大小：（填“”、“”或“”）．【变式3-2】阅读下列两则材料，解决问题．材料一：比较和的大小．解：因为，所以，即．小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小．材料二：比较和的大小．解：因为，所以，即．小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．(1)比较的大小；(2)比较的大小；(3)已知，比较的大小（均为大于1的数）．类型四、与幂的运算有关的新定义型问题1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。例4．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．(1)填空：当，时，__________；(2)若，，求的值．【变式4-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．(1)求的值；(2)，求的值；(3)若运算的结果为，则t的值是多少？【变式4-2】我们给出以下两个定义：①三角形

；②3×3的方格图

请你根据上面两个定义，解答下列问题：(1)填空：

=__________(2)填空：

=____________(3)若

，求

【变式4-3】在形如的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算．现在我们研究第三种情况：已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如：求，因为，所以；又比如，，(1)根据定义计算：①；②；③如果，那么；(2)设，，则，，，、均为正数），，，，即这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：；（其中、、、、均为正数，，(3)请你猜想：（，，、均为正数）一、单选题1．计算的结果是（

）A． B． C． D．2．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．3．已知，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．4．已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（

）A． B．2 C．1 D．75．我们定义：，若，则的值为（

）A．4 B．16 C．64 D．256二、填空题6．化简：（1）．（2）．7．计算：．8．定义新运算：，则．9．若，则的值为．10．【新情境】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球8个、20个、8个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于．三、解答题11．计算：(1)；(2)；12．若（且，m、n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值．13．计算：(1)若，求的值；(2)若，求的值．14．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题：(1)求的值．(2)，，，求的值．(3)若运算的结果为，则的值是多少？15．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．(1)（理解）根据上述规定，填空：________，________；(2)（说理）记，，，试说明：；(3)（应用）若（且），求的值．16．阅读下列各式：，，……(1)发现规律：______，______．(2)应用规律：①填空：______，______；②计算：．(3)若，请求出n的值．17．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；(3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）．18．我们知道，一般的数学公式、法则、