（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练平面向量专题：极化恒等式解决向量数量积问题（原卷版）

平面向量专题：极化恒等式解决向量数量积问题一、极化恒等式及其推论：1、极化恒等式：（1）公式推导：（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4)．2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．（1）推导过程：由.（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．二、极化恒等式的作用和使用范围1、极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。2、极化恒等式的适用范围：（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。三、极化恒等式使用方法在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点；第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。题型一求向量数量积的定值【例1】向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（）A．32B．-32C．16D．-16【变式1-1】如图，在四边形中，，，为中点.，求的值（）A．B．C．D．【变式1-2】如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________．【变式1-3】在中，是边上的中点，且，，，，则__________．题型二求向量数量积的最值范围【例2】在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【变式2-1】已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（）A．B．C．D．【变式2-2】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（）A．B．C．D．【变式2-3】已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（）A．B．C．D．【变式2-4】在正三角形中，点是线段的中点，点在直线上，若三角形的面积为，则的最小值是___________题型三求参数及其他问题【例3】设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（）A．B．C．D．【变式3-1】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（）A．B．C．