（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练8.2 立体图形的直观图（原卷版）

8.2立体图形的直观图重点：用斜二测画法画平面多边形及空间几何体的直观图；难点：能用斜二测画法画出简单空间图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体）的直观图。一、空间几何体的直观图的概念直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。二、立体图形的直观图的画法1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；平行于y'轴的长度变成原来的一半，2、平面图形直观图的画法及要求第一步建系：在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把他们弧长对应的x'轴和y'轴，两轴相交于O'，且使∠x'O'y第二步平行不变：已知图形中平行与x轴和y轴的线段，在直观图中分别画出平行与x'轴或y'第三步长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，3、空间几何体直观图的画法（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．4、直观图与原图之间的“变”与“不变”“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与y轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。“三不变”：（1）平行性不改变；（2）与x轴和z轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。三、直观图与原图多边形面积之间的关系若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为a，高为h，则其面积为S直在直观图中，a'=a，在直观图中，S题型一斜二测画法概念辨析【例1】关于斜二测画法，下列说法错误的是（）A．平行直线的直观图仍然是平行直线B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的D．线段的中点在直观图中仍然是中点【变式1-1】对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（）A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．的角的直观图会变为的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【变式1-2】根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（）A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90°D．45°或135°，90°【变式1-3】利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（）A．①B．①②C．③D．①②③④题型二画几何图形的直观图【例2】用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.【变式2-2】用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图.【变式2-3】画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．题型三由直观图还原几何图形【例3】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（）A．B．C．D．【变式3-1】如图，是的直观图，其中，，那么是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定【变式3-2】如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形【变式3-3】如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（）A．B．C．D．题型四斜二测画法中有关量的计算【例4】某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形，其中，，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（）A．6B．C．D．【变式4-1】如图，水平放置的矩形，在直角坐标系下点的坐标为，则用斜二测画法画出的矩形的直观图中，顶点到轴的距离为（）A．B．C．D．【变式4-2】在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（）A．4B．C．8D．【变式4-3】如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，，则原图形的面积是_____________．8.2立体图形的直观图【题型1斜二测画法的概念辨析】1、对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（）A．原来平行的边仍然平行B．原来垂直的边仍然垂直C．原来是三角形仍然是三角形D．原来是平行四边形的可能是矩形2、若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（）A．平行于轴且大小为B．平行于轴且大小为C．与轴成且大小为D．与轴成且大小为3、下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（）A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同4、（多选）下列说法中正确的有（）A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆5、（多选）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（）A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形【题型2画几何图形的直观图】1、利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的()A．B．C．D．2、画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．3、画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．4、下列空间图形画法错误的是（）A．B．C．D．5、画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．【题型3由直观图还原几何图形】1、如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形）为（）A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形2、如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则下列结论正确的是（）A．是等腰直角三角形B．是锐角三角形C．是钝角三角形D．是等边三角形3、如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．4、一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（）A．正三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能5、如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．【题型4斜二测画法中有关量的计算】1、已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为（）A．5B．C．D．2、在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（）A．8B．10C．