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文档简介
专题08无刻度直尺作图(35题)
1.(2025·江西·中考真题)如图,在的正方形网格中,点A,B,C均在格点上,请仅.
用.无.刻.度.直.尺.按下列要求完成作图.(6保×留5作图痕迹)
(1)在图1中作出的中点;
(2)在图2中作出𝐵的重心.
【答案】(1)见解析△�𝐵
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计,矩形的性质,以及三角形重心的定义.
(1)利用矩形的性质即可作出的中点;
(2)根据的重心就是三边𝐵中线的交点,即可作出图形.
【详解】(1△)�解𝐵:如图,点即为所作;
�
;
(2)解:如图,点即为所作;
�
.
2.(2024·江西·中考真题)如图,为菱形的对角线,请仅用无.刻.度.的.直.尺.按要求完
成以下作图(保留作图痕迹)𝐵�𝐵�
(1)如图,过点作的垂线;
1�𝐵
(2)如图,点为线段的中点,过点作的平行线.
【答案】2(1)作�图见解析�;��𝐵
(2)作图见解析.
【分析】()作直线,由菱形的性质可得,即为的垂线;
()连接1并延长,��与的延长线相交于点��,⊥作𝐵直线��,因𝐵为点为线段的中点,
所以2��,因为��,所以�,��,故可�得��,
得到��=��,所以�四�∥边�形�∠为��平�行=四∠边�形𝐵,∠即���=∠;𝐵�△���≌△�𝐵
本题考��查=了�菱�形的性质,平行𝐵四�边�形的判定,掌握菱形��的∥性𝐵质及平行四边形的判定方法是解
题的关键.
【详解】(1)解:如图,即为所求;
��𝐵
(2)解:如图,即为所求.
��
3.(2023·江西·中考真题)如图是的正方形网格,请仅用无刻.度.的.直.尺.按要求完成以
下作图(保留作图痕迹).4×4
(1)在图1中作锐角,使点C在格点上;
(2)在图2中的线段△�上�作�点Q,使最短.
【答案】(1)作图见解��析𝑃
(2)作图见解析
【分析】(1)如图,取格点,使,在的左上方的格点满足条件,再画三角
形即可;�∠���=90°��
(2)利用小正方形的性质取格点,连接交于,从而可得答案.
【详解】(1)解:如图,即�为所求作�的�三�角�形;�
△�𝐵
(2)如图,即为所求作的点;
�
【点睛】本题考查的是复杂作图,同时考查了三角形的外角的性质,正方形的性质,垂线段
最短,熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键.
4.(2022·江西·中考真题)如图是的正方形网格,请仅用无刻度的直尺按要求完成以
下作图(保留作图痕迹).4×4
(1)在图1中作的角平分线;
(2)在图2中过点∠��作�一条直线,使点,到直线的距离相等.
【答案】(1)作图见�解析部分����
(2)作图见解析部分
【分析】(1)连接,,与交于点,作射线即可;
(2)取格点,过�点�和�点�作𝐵直线𝐻即可.���
【详解】(1)�解:如图�1,连�接、�,与交于点,设小正方形的边长为1个单位,
∵线段和是矩形的两条对�角�线且𝐻交于𝐵点�,��
∴𝐵,𝐻�
又�∵�=��,,
2222
��=2+1=5𝐵=2+1=5
∴,
∴��平=分𝐵,
∴�射�线∠即�为𝐵所作;
��
(2)如图2,连接、、、,直线经过点和点,设小正方形的边长为1个单位,
∴��,��𝐵���,��
2222
��=2+1=,5��=2+1=,5
2222
�∴�=2+1=5�,�=2+1=5
∴�四�边=形��=�是�菱=形𝐵,
又∵�𝐵�,,,
在��=和��=1中�,�=��=2∠���=∠���=90°
△���△���
��=��
∠���=∠���
∴��=��,
∴△���≌△���,���
∵∠���=∠���,
∴∠���+∠���=90°,
∴∠���+∠��,�=90°
∴∠四�边��形=90°是正方形,
∴,�𝐵�,且,
∴�直�线⊥即�为�所�作⊥.���=𝐵
�
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图,考查了等腰三角形三线合一的性质,矩形的性质,
正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角互余,勾股定理等知
识.解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想解决问题.
5.(2021·江西·中考真题)已知正方形的边长为4个单位长度,点是的中点,请
仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留�作𝐵图�痕迹).���
(1)在图1中,将直线绕着正方形的中心顺时针旋转;
(2)在图2中,将直线𝐵向上平移1�个�单��位长度.45°
【答案】(1)见解析;(2�)�见解析
【分析】(1)连接BD与AC相交于O,连接AE与BD相交于P,连接CP并延长交AD于
F,直线OF即为所求;
(2)设AE与OF交于G,连接OE交CF于H,则直线GH即为所求.
【详解】(1)如图,直线OF即为所求;
∵AD=CD,∠ADP=∠CDP=45°,DP=DP,
∴ADPCDP,
△≅△
∴∠DAE=∠DCF,
∵AD=CD,∠ADE=∠CDF=90°,
∴ADECDF,
∴D△E=DF≅,△
∵点E是CD的中点,
∴点F是AD的中点,
∵∠AOD=90°,且AO=OD,
∴∠AOF=45°;
(1)如图,直线GH即为所求;
由三角形中位线定理知OG=CF=1,OH=AF=1,且∠GOH=90°,
11
22
∴OG=OH,
∴GOH是等腰直角三角形,
∴∠△HOC=∠OHG=45°,
∴GH∥AC,且OG=1.
【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,
三角形中位线定理,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
6.(2025·江西·模拟预测)如图,在的方格纸上有一线段,请仅用无.刻.度.的.直.尺.按
要求完成以下作图(保留作图痕迹).5×5��
(1)如图1,在线段找一点C,使得;
(2)如图2,在方格纸��上有一点D,E,�在�线=段𝐵上找一点F,使得值最小.
����+��
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】(1)取如图所示的点,结合矩形的性质即可求点C的位置如图;
(2)取格点和,根据格点可证明,则,取格点N和点M,
根据勾股定理�和1网�格1的性质可得△�,�且�1≌△�1�,�延长��⊥交��1于点,在
′′
中有,即点为点E关于��线=段𝐵的对�称�点∥,�连�接与��线1段𝐵的交点�为点△F即��可�.
′′′
【详解𝑃】(=1�)�解:如图�,������
(2)解:如图,
【点睛】本题主要考查网格作图,涉及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中
位线的性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称的性质和勾股定理,解题的关键是熟悉网格
的性质和三角形的性质.
7.(2025·江西新余·模拟预测)如图是由小正方形组成的网格,每个边长为1的小正
方形的顶点叫做格点,图中A、B、C、D都是格点,E是6A×B上6一点,仅用无刻度的直尺在
网格中完成下列画图.
(1)在图1中,在线段上找点F,使得;
(2)在图2中,在线段��上找点H,使得�四�边=形��为矩形.
【答案】(1)见解析����𝐵
(2)见解析
【分析】(1)连接交于点,连接交于点,点即为所求;
(2)连接,根据��网,�格�的特点找�到��的中��点,�,连�接交于点,连接并延
长,交于��点,连接,则矩形��,�即�为所求.�,�𝑃�����
【详解�】(�1)解�:如图所��示,连接��𝐵交于点,连接交于点,点即为所求;
��,𝐵�������
∵,
22
∴�四�边=形𝐵=�是�菱=形��,=1+3=10
又�𝐵�
22
∴𝐵=2+4=25
222
∴��+𝐵=𝐵
∴∠四�边𝐵形=90°是正方形;
根据对称性��可��得;
(2)解:如图所�示�,=连��接,根据网格的特点找到的中点,连接交于点,
连接并延长,交于点��,连接,则矩形��即,为𝐵所求;�,�𝑃���
���������𝐵
根据作图可得垂直平分,则,
∴𝑃,又��,��=��
∴∠���=∠�����=��∠���=∠���
∴△���≌,△���
∴��=��,
即��−��,=��−��
∵��=�,�
∴�四�边∥�形�是平行四边形,
由��𝐵
∴∠四�边𝐵形=90°是矩形.
【点睛】本��题�考�查了无刻度直尺作图,正方形的性质与判定,勾股定理与网格问题,全等三
角形的性质与判定,矩形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质是解题的关键.
8.(2025·江西九江·三模)如图,是的直径,四边形是平行四边形,请仅用无
刻度的直尺按要求完成以下作图(�不�写⊙作法�,保留作图痕迹�)�.��
(1)在图1中,点与点重合,请作出的中点.
(2)在图2中,请作�出�的中点.���
【答案】(1)见解析���
(2)见解析
【分析】本题考查了复杂作图,涉及到平行四边形的性质、垂径定理,熟练掌握相关知识的
性质是作图的关键.
(1)连接并延长交于,连接交于M,则根据平行四边形的对角线互相平分可
得到��,根据平⊙分�弦(�不是直�径�)的��直径且垂直于弦,平分弦所对的两条弧可得
平分��;=��𝐻
(2)�由�(1)可作的中点,由中位线定理的圆周角定理定理得到,同(1)理.
【详解】(1)解:�如�图1,点�即为的中点;𝐵⊥��
���
(2)解:如图2,点即的中点.
���
9.(2025·江西抚州·二模)如图是的正方形网格,网格边长为1,的顶点均在
格点上.已知的外接圆,请仅6用×6无刻度的直尺在给定的网格中完成△作�图𝐵,保留作图痕
迹.△�𝐵
(1)作的外接圆的直径;
(2)过点△�B�作�的外接圆�的�切线.
【答案】(1)见△解��析���
(2)见解析
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图,三角形的外接圆,圆周角定理,切线的性质,解
题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
(1)根据直径所对圆周角为,结合网格的特征,取格点,则,即
交圆于点D,连接即可;90°�,�∠�𝑃=90°𝑃
(2)由(1)知�为�的外接圆的直径,利用网格的特征,取中点,即为
的外接圆的圆心,��连接△��,�再利用网格的特征,取格点E,作直线��,可得�△�𝐵,
即可解答.����∠���=90°
【详解】(1)解:如图,直径即为所求.
(2)解:如图,切线即为所��求.
��
AI
10.(2025·江西抚州·二模)如图,在边长为1个单位长度的正六边形中,连接,
请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图(保留作图痕迹).�𝐵���𝐵
(1)在图1中,将线段沿方向平移2个单位长度;
(2)在图2中,是上𝐵一点��,连接,作点关于的对称点.
【答案】(1)见解�析𝐵�����
(2)见解析
【分析】本题主要考查正六边形的性质,平移和轴对称,正确掌握正六边形的性质是解答关
键.
(1)分别延长、,分别交和的延长线于点,,连接,则线段是线段
沿方向平移�2�个单�位�长度得的�;���������𝐵
(2�)�分别连接,设与交于点,连接,并延长,交于点,则点为点
关于的对称�点�,.��,�������������
�【详解�】�(1)解:如图,即为所作;
��
(2)解:如图,点为点关于的对称点.
����
11.(2025·江西九江·二模)在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,
的三个顶点的位置如图所示.请仅用无刻度的直尺完成下列作图(保留作图痕迹).△�𝐵
(1)在图1中作出边上的高;
(2)在图2中作出线𝐵段的三等��分点,.
【答案】(1)见解析𝐵��
(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图,全等三角形的判定与性质,平行线分线段成比例等知识,解
题的关键是:
(1)取格点M、N,连接、相交于O,连接并延长交于H即可;
(2)取格点M、N、P、Q�,�连接��、交于E�、�F即可.𝐵
【详解】(1)解:如图,即为所�求�,𝑃𝐵
��
理由:如图,,
由网格可知:,,,
∴��=,��=1��=��=3∠���=∠���=90°
∴△���∽△���,
又∠���=∠���,
∴∠���+∠���=90°,∠𝐵�=∠���
∴∠𝐵�+∠��,�=90°
∴∠𝐻�=,90°
同理��⊥��,
∴��⊥�;�
(2�)�解⊥:𝐵如图,点E、F即为所求,
理由:
由网格知,,,
∴��=,��=���,�=��=𝑃𝐻∥𝐵∥𝑃∥��
��������
∴��=��=,1��=�,�=1
∴��=����=,��
∴E�、�=F为��=的��三等分点.
12.(2025·�江�西抚州·一模)如图,在和中,,,
,点D在上.请仅用无刻度的△直�尺𝐵,分△别�按�照�下列�要�=求�作�图(𝐵保=留�作�图∠痕�迹=,∠不��写�作=
9法0)°.𝐵
(1)在图(1)中,作出的平分线;
(2)在图(2)中,作出∠�𝐵的平分线.
【答案】(1)画图见解析∠���
(2)画图见解析
【分析】(1)如图,延长交于,作射线,则即为的平分线;
(2)如图,连接,连接��并�延�长�与交于点��,作射��线,∠�则𝐵即为的平分线;
【详解】(1)解:�如�图,延�长�交于��,作射�线,则𝐵即为𝐵的∠平��分�线;
��𝐵�����∠�𝐵
理由:∵,
∴∠�=∠���,=90°
∵∠�=∠��,�=90°,
∴��=����=��,
∴Rt△���≌Rt△,���
∴∠��为�=∠�的�平�分线;
(2�)�解∠:�如𝐵图,连接,连接并延长与交于点,作射线,则即为的平
分线;�������𝐵𝐵∠���
理由:∵,,,
∴��=��𝐵=,��∠�=∠��,�=90°,
∴Rt△�𝐵≌Rt,△���∠���=∠���∠𝐵�=∠�𝐵
∴∠�𝐵=∠���,
∴∠���=∠,���=∠𝐵�=∠�𝐵=∠�𝐵
∵𝐵=��,
∠���=∠���=90°
∴,
∴∠�𝐵+∠�𝐵,=90°=∠�𝐵+∠𝐵�
∴∠�𝐵=∠,���
∴𝐵=𝐵,
∵��=𝐵,
∴𝐵为=��的平分线;
【点𝐵睛】∠本��题�考查的是全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,三角形的内角
和定理的应用,熟练的画图是解本题的关键.
13.(2025·江西九江·一模)如图,在正方形网格中,的三个顶点都在格点(网格线
的交点)上,请仅用无刻度的直尺,按要求完成以下作△图��(�保留作图痕迹,不写作法).
(1)在图1中过点作的中线.
(2)在图2中作�的平△分�线𝐵.��
【答案】(1)见解∠�析��
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形中线、角平分线、勾股定理的知识,解题的
关键是熟练掌握三角形中线、角平分线、勾股定理的性质,从而完成求解.
(1)根据题意,结合矩形的性质,首先找到的中点,连接即可完成作图;
(2)在上,从点起往下数格得点,使𝐵�,结合网�格�的特点找到的中点,
连接交��于点�,即为5的角平�分线.��=𝐵���
【详解��】(�1�)解:�如图��1,∠�即�为�所求.
��
(2)如图2,即为所求.
��
14.(2025·江西九江·一模)如图是的正方形网格,的顶点都在格点上,请仅用
无刻度直尺按下列要求作图(保留作6图×6痕迹).△�𝐵
(1)在图1中,作线段,点D,E分别在,上且;
1
2
(2)如图2,在的�边�∥�上�找一点F,使𝐵��.��=𝐵
【答案】(1)见△解�析𝐵𝐵∠���=45°
(2)见解析.
【分析】(1)根据矩形的性质“对角线相互平分”,结合三角形中位线定理,分别取,
的中点E,D,连接即可.��𝐵
(2)取的中点D�,�连接,取的中点E,连接并延长,交于点F,则点F即为
所求.��������𝐵
本题考查作图—应用与设计作图、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质与判定,勾股
定理及其逆定理,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
【详解】(1)解:如图所示,根据矩形的性质,分别取到,的中点E,D,连接,
则线段即为所求.��𝐵��
��
(2)解:如图2,取的中点D,连接,取的中点E,连接并延长,交于点F,
此时��,����,则��,𝐵
2222222
∴𝐵=1,+2=5=����=3+1=10𝐵+��=��
∠���=90°
∴,即,
则点∠�F��即=为4所5°求.∠���=45°
15.(2025·江西南昌·二模)如图是由边长为1的小正方形组成网格,小正方形的顶点
为格点,图中的点A,B,C在格点上.请仅用无刻度直尺按要7求×完6成以下作图(保留作图
痕迹).
(1)如图1,作的平分线;
(2)如图2,在∠�上𝐵找一点E,�使�得.
【答案】(1)见�解�析∠�𝐵=2∠���
(2)见解析
【分析】(1)如图,取格点,连接交于即可;
(2)如图,在(1)的作图情�,况�下,记��,��的�交点为,连接并延长交于,则点
即为所求;�������𝐵��
【详解】(1)解:如图,取格点,连接交于,则即为所求;
�,��������
;
理由:∵,
22
而由网格矩𝐵形=的性3质+可4得=:5=��,
∴平分.��=��
(2�)�解:∠如�图𝐵,在(1)的作图情况下,记,的交点为,连接并延长交于,
则点即为所求;�������𝐵�
�
理由:由(1)得:,,
∴,��=𝐵,��=��
∵��⊥𝐵,∠���=∠���
∴��⊥��,
∴��⊥𝐵,
∵∠���=∠���,=90°
∴∠���=∠���,
∴∠���=∠���.
【点∠�睛𝐵】=本2题∠考��查�的是复杂作图,勾股定理的应用,等腰三角形的性质,矩形的性质,三角
形的高的含义,三角形的内角和定理的应用,熟练的作图是解本题的关键.
16.(2025·江西宜春·二模)如图,已知和是两个全等的等腰三角形,且底边
,在同一直线上.请仅用无刻度的△直�尺�,�按△要�求��完成以下作图(不写作法,保留作图
�痕�迹)�.�
(1)在图(1)中,作出的中点G;
(2)在图(2)中,作出以𝐵,为邻边的平行四边形.
【答案】(1)见解析��𝐵
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、平移的性质、全等三角形的判定和性质以及
等腰三角形的性质等知识,熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键;
(1)延长,设交点为M,设的交点为N,作直线,交于点G,则点G
即为的中��点,�,�如图(1);𝐵,��𝐵��
(2)�连�接,设交点为O,连接并延长,交射线于点H,连接,则四边形
即为所求作��的,�平�行四边形,如图(2)�.������𝐵�
【详解】(1)解:延长,设交点为M,设的交点为N,作直线,交于点
G,则点G即为的中�点�,,�如�图(1),理由如下�:�,��𝐵��
𝐵
∵和是两个全等的等腰三角形,
∴△�𝐵△���,
∴��=𝐵=��=��𝐵=,��,
∴∠�=∠�=∠�𝐵=,∠𝐵���=��
∴�点�M=在��,的��中=垂�线�上,点N在的中垂线上,
又∵��,𝐵
∴点�N�在=��的中垂线上,
∴是��的中垂线,
∴𝐵��,
∵𝐻=𝐻,
∴��=��,即点G为的中点;
(2�)�解=:��连接,�设�交点为O,连接并延长,交射线于点H,连接,则四边
形即为所�求�作,�的�平行四边形,如图(�2�);理由如下:����
�𝐵�
∵和是两个全等的等腰三角形,且底边,在同一直线上,
∴△�𝐵可△以看��作�是由沿着射线方向平移得�到�的,��
∴△���,△��,�𝐵
∴�四�边=形��=�是�平�行�四∥边��形,
∴𝐵,��,
∴��=��∠���,=∠���,∠���=∠���
∴△���≌,△���
∵��=��,
∴��=𝐵,
∵��=𝐵,
∴�四�边∥形𝐵是平行四边形.
17.(2025�·�江�西�新余·三模)如图,在正六边形的右侧作正方形,连接.请
你仅用无刻度的直尺完成以下作图.�𝐵���𝐵��𝐵
(1)在图1中,在正方形的内部取点,使点与点关于直线对称;
(2)在图2中,在正方形𝐵��的内部取点�,使�.�𝐵
【答案】(1)见解析𝐵�����=𝐵
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图,涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形
的性质、三角形的内角和定理、轴对称的性质等知识,正确作出图形是解答的关键.
(1)延长交延长线于M,根据正六边形的性质得,
��,��,进而可得,∠���是=等∠边𝐵三�角=形6,0°则∠�𝐵=
∠�,��即=点30°与�点�=关�于�直=线��对称;∠𝐵�=90°△�����=𝐵=
�(�2)连接�交�延长线于�P�,由正方形的性质得,进而利用三角形的内角和
定理推导出����,根据等角对等边∠可�得��=45°.
【详解】(1∠)�解��:=如∠图��1�,=点75即°为所求;��=𝐵
�
(2)解:如图2,点即为所求.
�
18.(2025·江西新余·模拟预测)如图是的正方形网格,已知格点(顶点在小正
方形顶点处的三角形称为格点三角形),请8×仅8用无刻度直尺完成下列作图△(要��求�保留作图痕
迹,不要求写作法).
(1)在图1中,作边的垂直平分线;
(2)在图2中,在��边上找一点,作线段,使得.
2
△𝐵�5△�𝐵
【答案】(1)见解析������=�
(2)见解析
【分析】本题考查网格作图、三角形的面积、相似三角形的判定与性质,解题的关键是理解
题意,灵活运用所学知识解决问题.
(1)根据网格的特点找到的各点,连接,即可求解;
(2)找到格点,使得2×4,连�,接�,即�可�求解.
【详解】(1)解�:如图,��:�即�为=所3:求2,��
𝐻
(2)解:如图,线段,即为所求
��
19.(2025·江西南昌·三模)在正方形网格中,圆经过格点A,B,请仅用无刻度的直尺作图:
(1)在图1中,作圆的直径;
(2)在图2中,在圆上找一点𝐵D,使.
【答案】(1)见解析��=��
(2)见解析
【分析】本题考查网格中作图,涉及圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的
判定,利用转化的思想得到作图依据是解答的关键.
(1)利用90度的圆周角(即)所对的弦是直径可画出直径;
(2)取格点C、T,连接延长∠�交𝐵圆=于9点0°D,连接,证明𝐵,得到
,根据等腰��三角形的判定可得��.△�𝐵∽△���∠���=
∠【�详��解=】(∠1�)��解:如图1中,直径即为所求��;=��
𝐵
(2)解:如图2中,点D即为所求.
20.(2025·江西新余·二模)如图是的正方形网格,点M,N,P均在格点上,请仅用
无刻度直尺画出符合要求的图形,保6留×必6要的画图痕迹.
(1)请在图1中画出过点P且与垂直的线段;
(2)请在图2中画出点P关于�的�对称点Q.��
【答案】(1)见解析𝐵
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图,平移的性质,全等三角形的判定和性质,平行线
分线段成比例等知识,解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.
(1)取格点,连接即可,由可证明,推出,再利
用等角的余角�相等即可��得到SAS;△�𝐵≌△���∠�𝐵=∠���
(2)将线段向下平移2�个�单⊥位�,�再向右平移1个单位,得到,则点是线段的中
点,结合(1�)�的作图,则,利用平行线分线段成比例即�可�求解.���
【详解】(1)解:如图,线�段�⊥即𝑃为所求;
��
;
(2)解:如图,点Q即为所求;
.
21.(2025·江西南昌·模拟预测)如图,是的直径,直线与的割线垂直,垂足
为,请仅用无刻度的直尺,按下列要求��画图⊙.(�保留作图痕迹�,不⊙写�作法)��
�
(1)在图1中,过点作直线的平行线;
(2)在图2中,过点�作直线�的垂线.�
【答案】(1)见解析���
(2)见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理,以及平行线的判定,垂直的定义,熟练掌握各知识点
并灵活运用是解题的关键.
(1)连接,则直线即为直线,由圆周角定理可得,即,而,
则;�����∠���=90°��⊥���⊥��
(2�)∥连�接,并延长交于点,过点的直线即为直线,由圆周角定理可得
,那么��⊙�,�则�,�,而,则�.∠���=
9【0详°解】(∠1)��解�:+如∠�图�,�直=线180即°为所�求∥:����⊥��⊥�
�
(2)解:如图,直线即为所求:
�
22.(2025·江西萍乡·二模)如图,在中,为锐角,其顶点,都在上,请仅
用无刻度的直尺按要求完成以下作图(△保��留�作图痕∠�迹).��⊙�
(1)在图中,的顶点在上,作顶点为的的余角.
(2)在图1中,△�𝐵的顶点�在⊙�内,作顶点在直�线∠�上的的余角.
【答案】2(1)见解△析��;��⊙�𝐵∠�
(2)见解析.
【分析】本题考查了无刻度直尺画图,圆周角定理,互余定义,掌握知识点的应用是解题的
关键.
()根据圆周角定理画图即可;
(1)根据圆周角定理画图即可.
【详2解】(1)解:如图,连接延长交上于点,连接,所以即为所求;
����⊙����∠�𝐵
理由:∵为直径,
∴��⊙,�
∴∠𝐵�=90°,
∵∠�𝐵+∠,�=90°
∴∠�=∠�,
故∠�𝐵即+为∠�所=求9;0°
(2∠)��解�:如图,连接,延长交上于点,连接,所以即为所求;
����⊙����∠�𝐵
理由:∵为直径,
∴��⊙,�
∴∠���=90°,
故∠�𝐵即+为∠�所�求�.=90°
23.∠(��2�025·江西·模拟预测)如图,是由绕着点顺时针旋转得到的,若
′′
,,请仅用无刻度△的�直��尺按下△列�要�求�画图.�135°
𝐵=𝐵∠�=90°
(1)在图1中作的角平分线;
(2)在图2中画以△��为�边的菱形.��
【答案】(1)线段��即为所求
(2)菱形即为��所求
'
【分析】��本�题�主要考查作图,角平分线的性质,菱形的判定和性质等知识;
(1)连接,交于点,即为所求;
′
(2)连接��,交�于�点�O,�连�接并延长,交的延长线于D,连接,利用相似三
'''
������𝐵��
角形的性质画出即可求出.
′
【详解】(1)解:��连��接,交于点,即为所求,
′
��𝐵���
,,
,∵𝐵=𝐵∠�=90°
由∴∠旋�转𝐵可=得∠:�𝐵=45°,,
′′
∠���=135°��=��,
′′1′
∴∠���=∠���=2180°−∠���=22.5°,
′
∴∠���=∠�𝐵−∠���,=45°−22.5°=22.5°
∴∠即��平�分=∠���;=22.5°
�(�2)解:∠连�接𝐵,交于点O,连接并延长,交的延长线于D,连接,
'''
������𝐵��
∵,,,
''''
∴��=��𝐵=𝐵∠�𝐵=∠,���=45°
'''
∵∠���=∠𝐵�,=∠𝐵�=22.5°
∴∠���=∠���,
∴△���,∽△�𝐵
����
又∵��=��,
∴∠�𝐵=∠���,
∴△�𝐵∽△���,即
'
∵∠���=∠𝐵�,=90°,��⊥��
∴∠���=∠�����=��∠���=∠���=90°
∴△���≌△���,
'
∵��=��=��
'
∴��∥��为平行四边形,
′
又�∵���
∴��=为�菱�形,且以为边的菱形.
′
24�.(��2�025·江西·一模)�如�图,在正方形中,点E是边的中点,请仅用无刻度的直
�𝐵���
尺,分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中,画出以为底边的等腰,且正方形;
1
��△����△���=2��𝐵�
(2)在图2中,已知F是的中点,请画出以为边的正方形,且正方形
𝐵���𝐻���𝐻�=
正方形.
1
2�𝐵�
【�答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质,无刻度直尺画图,掌握正方形的性质成为解题的关
键.
(1)如图(1)连接、相交于O,连接并延长交与F,连接、即可完成作
图;𝐵����������
(2)如图(2)连接、相交于O,连接并延长交与H,连接并延长交与G,
连接、、即�可�完�成�作图;��������
【详解��】(�1)�解�:�如图(1):等腰即为所求.
△���
∵是正方形的对称轴,
∴��,�𝐵�
��=��
∵正方形,,
1
��𝐵�=��⋅���△���=2��⋅��
∴正方形.
1
△����𝐵�
∴等�腰=2�即为所求.
(2)解△:�如��图(2):正方形即为所求.
�𝐻�
∵正方形,正方形,
11
��𝐵�=4��⋅���𝐻��=4�△���=4×2��⋅��=4×2��⋅��=2��⋅��
∴正方形正方形,即正方形即为所求.
1
�𝐻�2�𝐵�
25.�(2025·江西=上�饶·一模)如图,这是�𝐻�的方格,每个小正方形的顶点称为格点,
的顶点A,B,C均在格点上,并画出了6×6的外接圆,请仅.用.无.刻.度.的.直.尺.在给定△的��方�
格中按下列要求作图(保留作图痕迹).△�𝐵
(1)在图1中的上作点D,使得.
2
𝐵sin∠���=2
(2)在图2中的上作点E,使得.
10
【答案】(1)见解𝐵析sin∠�𝐵=10
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理,锐角三角函数等知识,解题的关键是∶
(1)取格点D,连接即可;
(2)取格点M,连接��交于点即可.
【详解】(1)解∶如图�,�点�D�即为所�求,
根据勾股定理得,,,,
222222222
��=1+3=10��=1+3=10��=4+2=20
∴,,,
222
∴��=是��等+腰�直�角三�角�形=,10��=10
∴△���;
��2
(2si)n∠解�∶��如=图�,�=点2E即为所求,
根据勾股定理得,,,,
222222222
∴𝐵,=3+3,=18��,=1+1=2��=4+2=20
222
∴��=是𝐵直+角�三�角形�,�=2𝐵=32��=25
∴△𝐵�.
��210
26.si(n∠2�02�5�·江=西��新=余2·一5=模)10如图,在矩形中,是对角线上一点,且.请
仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作�图�(��保留作�图痕迹).𝐵𝐵=3��
(1)在图1中作的中点.
(2)在图2中作点��,使得�.
【答案】(1)见解析�𝐵=3��
(2)见解析
【分析】(1)根据得到,作直线,交于点,则点P即为所求.
(2)连接交�于�点=O3,��作直线𝐵=,2交��于点G,��作直线��,交�于点N,则点N即
为所求.��𝐵��𝐵𝐻𝐵
本题考查了矩形的性质,三角形相似的应用,尺规作图,熟练掌握性质和尺规作图是解题的
关键.
【详解】(1)解:∵,
∴,𝐵=3��
故作𝐵直=线2��,交于点,
∵矩形��,���
�𝐵�
∴,,
∴��∥𝐵��=,𝐵
∴△���∽△,���
𝐵𝐵
∴��=��=2,
∴𝐵=2��,
即�P�为=2�的�中点,
��
则点P即为所求.
(2)解:连接交于点O,作直线,交于点G,作直线,交于点N,
��𝐵��𝐵𝐻𝐵
则点N即为所求.
27.(2025·江西景德镇·一模)如图,在矩形中,为的中点,且,请
仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保�留�作��图痕迹�).𝐵��=2��=2
(1)如图1,作一面积为2的等腰直角三角形.
(2)如图2,作一面积为2的正方形,且�点��在的上方.
【答案】(1)见解析��𝐻�𝐵
(2)见解析
【分析】(1)作射线,,二线交于点F,根据矩形的性质证明,
得到��,则𝐵,△即��可�得≌解△;�𝐵ASA
122
��=��+��=2�△���=2��·��=2𝐻=2=2
(2)连接,连接二线交于点O,根据矩形的性质,得到,
1
��,��𝐵,����=2��,��∥��
作直线,交于点M,同理可证,,得到
1
������=2��,��∥����=��=��=��=
,于是,,作射线,,二线交于点N,
22
�作�射=线1,��,二=线�交�于+点�P�,连=接2=,�交�∠�于�点�=G,9连0°接�,�可得��
����,𝐵��,得到��,��,𝐵可=以�判�定=四�边�形=
22
𝐻=��=1𝐻=𝐵+��=2=��𝐻=��=��=��
是菱形,结合,判定正方形,且面积为,即可得解.
22
【��详𝐻解】(1)解:作∠射��线�=9,0°,二线交于点��F�,�如图所示:𝐻=2=2
��𝐵
根据矩形中,为的中点,且,得,
�𝐵��𝐵��=2��=2��=��∠���=∠𝐵�=∠�=
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