三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编：专题06 圆(55题)(解析版)

专题06圆（55题）

1．（2023·江西·中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过

其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】D

【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P可以画出一个圆，据

此列举所有可能即可求解．

【详解】解：依题意，A,B；A,C；A,D；B,C；B,D，C,D加上点P可以画出一个圆，

∴共有6个，

故选：D．

【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．

2．（2024·江西·中考真题）如图，AB是O的直径，AB2，点C在线段AB上运动，过点

C的弦DEAB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的

长为．

【答案】23或23或2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DEAB，可得DE1或2，

利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．

【详解】解：AB为直径，DE为弦，

DEAB，

当DE的长为正整数时，DE1或2，

当DE2时，即DE为直径，

∵DE⊥AB

将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，

故FB2；

当DE1时，且在点C在线段OB之间，

如图，连接OD，

1

此时ODAB1，

2

∵DE⊥AB，

11

DCDE，

22

3

OCOD2DC2，

2

23

BCOBOC，

2

BF2BC23；

当DE1时，且点C在线段OA之间，连接OD，

23

同理可得BC，

2

BF2BC23，

综上，可得线段FB的长为23或23或2，

故答案为：23或23或2．

3．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在O上，ACB35，以BA，BC为边作ABCD．

(1)当BC经过圆心O时（如图1），求D的度数；

(2)当AD与O相切时（如图2），若O的半径为6，求AC的长．

【答案】(1)55

7

(2)l)

AC3

【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出BAC90，再求出ABC903555，

再根据平行四边形的性质得出DABC55；

（2）连接AO、CO，根据切线性质得出AOAD，证明OABC，得出BECE，

说明OA垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得出ABAC，根据等腰三角形性质得

出ABCACB35，根据圆周角定理得出AOC2ABC70，最后根据弧长公式求

出结果即可．

【详解】（1）解：∵BC经过圆心O，

∴BC为O的直径，

∴BAC90，

∵ACB35，

∴ABC903555，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DABC55；

（2）解：连接AO、CO，如图所示：

∵AD与O相切，

∴AOAD，

∴OAD90，

∵在ABCD中BC∥AD，

∴∠OEC∠OAD90，

∴OABC，

∴BECE，

∴OA垂直平分BC，

∴ABAC，

∴ABCACB35，

∴AOC2ABC70，

7067

∴l)．

AC1803

【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的

性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握

相关的判定和性质．

4．（2024·江西·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接

BD，BC，DABC60．

(1)求证：BD是半圆O的切线；

(2)当BC3时，求AC的长．

【答案】(1)见解析

(2)2

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知

相关性质和计算公式是解题的关键．

（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得CAB30，即可得ÐABD=90°，

进而可证得结论；

（2）连接OC，证明△OBC为等边三角形，求得AOC120，利用弧长公式即可解答．

【详解】（1）证明：AB是半圆O的直径，

ACB90，

DABC60，

CAB90ABC30，

ABD180CABD90，

BD是半圆O的切线；

（2）解：如图，连接OC，

OCOB,CBA60，

OCB为等边三角形，

COB60，OCCB3，

AOC180COB120，

120

l232．

AC360

5．（2023·江西·中考真题）如图，在VABC中，AB4，C64，以AB为直径的O与AC

相交于点D，E为ABD上一点，且ADE40．

(1)求BE的长；

(2)若EAD76，求证：CB为O的切线．

10

【答案】(1)

9

(2)证明见解析

【分析】（1）如图所示，连接OE，先求出OEOBOA2，再由圆周角定理得到

∠AOE2∠ADE80，进而求出BOE100，再根据弧长公式进行求解即可；

（2）如图所示，连接BD，先由三角形内角和定理得到AED64，则由圆周角定理可得

∠ABD∠AED64，再由AB是O的直径，得到ADB90，进而求出BAC26，

进一步推出ABC90，由此即可证明BC是O的切线．

【详解】（1）解：如图所示，连接OE，

∵AB是O的直径，且AB4，

∴OEOBOA2，

∵E为ABD上一点，且ADE40，

∴∠AOE2∠ADE80，

∴BOE180∠AOE100，

100210

∴的长；

BE1809

（2）证明：如图所示，连接BD，

∵EAD76，ADE40，

∴∠AED180∠EAD∠ADE64，

∴∠ABD∠AED64，

∵AB是O的直径，

∴ADB90，

∴∠BAC90∠ABD26，

∵C64，

∴∠ABC180∠C∠BAC90，即ABBC，

∵OB是O的半径，

∴BC是O的切线．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确

作出辅助线是解题的关键

．

6．（2022·江西·中考真题）（1）课本再现：在O中，AOB是AB所对的圆心角，C是AB

所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与C的位置关系

进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种

1

位置关系中任选一种情况证明CAOB；

2

（2）知识应用：如图4，若O的半径为2，PA,PB分别与O相切于点A，B，C60，

求PA的长．

【答案】（1）见解析；（2）23

【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰

三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；

（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，

可得∠OPA=30°，从而得PA的长．

【详解】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，

∵OA=OC=OB，

∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，

∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，

∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，

1

∴∠ACB=∠AOB；

2

如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，

∵OA=OC=OB，

∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，

∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，

∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，

1

∴∠ACB=∠AOB；

2

（2）如图4，连接OA，OB，OP，

∵∠C=60°，

∴∠AOB=2∠C=120°，

∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，

11

∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，

22

∵OA=2，

∴OP=2OA=4，

∴PA=422223

【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题

的关键．

7．（2021·江西·中考真题）如图1，四边形ABCD内接于O，AD为直径，过点C作CEAB

于点E，连接AC．

（1）求证：CADECB；

（2）若CE是O的切线，CAD30，连接OC，如图2．

①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；

②当AB=2时，求AD，AC与CD围成阴影部分的面积．

2

【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为3．

3

【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得

∠D+∠CAD=90，即可证明∠CAD=∠ECB；

（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC=60°，推

出∥，即可证明四边形是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式

BCAOABCOSAOC3

60222

计算S，即可求得阴影部分的面积．

扇形OCD3603

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠D+∠ABC=180，

∵∠EBC+∠ABC=180，

∴∠D=∠EBC，

∵AD为⊙O直径，

∴∠ACD=90，

∴∠D+∠CAD=90，

∵CE⊥AB，

∴∠ECB+∠EBC=90，

∴∠CAD=∠ECB；

（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：

∵CE是⊙O的切线，

∴OC⊥EC，

∵AB⊥EC，

∴∠OCE=∠E=90，

∴∠OCE+∠E=180，

∴OC∥AE，

∴∠ACO=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAD，

∴∠BAC=∠CAD，

∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，

∴∠EBC=90°-30°=60°，

∴∠BAO=∠EBC=60°，

∴BC∥AO，

∴四边形ABCO是平行四边形，

∵OA=OC，

∴四边形ABCO是菱形；

②∵四边形ABCO是菱形，

∴AO=AB=2，AD=4，

∵∠CAD=30°，

1

∴CD=AD=2，AC=23，

2

过点C作CF⊥AD于点F，

∴CF=3，

1

∴S△233，

AOC2

∵OC∥AE，

∴∠DOC=∠BAO=60°，

60222

∴S，

扇形OCD3603

2

∴阴影部分的面积为3．

3

【点睛】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切

线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．

一、单选题

8．（2025·江西萍乡·二模）如图，正六边形ABCDEF的边长是3，连接AD，P是AD上的

动点，连接PB，PC．若PBPC的值是整数，则点P的位置有（）

A．3处B．5处C．7处D．9处

【答案】A

【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，勾股定理等知识的综合，掌握正多边形，勾

股定理的运用是关键．

根据正多边形的性质，轴对称的性质得到点P从AD运动时，PBPC的取值范围为

6PBPC333，由此即可求解．

【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴ABBCCDDEFEAF3，点B关于AD的对称点为点F，每个内角的度数为

18062

120，

6

如图所示，连接CF，交AD于点P，连接BP,BF,BD，设AD,BF交于点M，

1

∴PBPCPFPC，BADFADBAF60，

2

1

CBDCDB180BCD30ABFAFB，

2

∴ABDABCCBD1203090，DBF120CBDABF60，

∴ADB30，AD2AB6，BDAD2AB233AF，

∴ABBC333，CF6，

当点C,P,F三点共线时，PCPF的值最小，最小值为6，

点P从AD运动时，PBPC的取值范围为6PBPC333，

∵63339，

∴整数值为6,7,8，共3个，

故选：A．

9．（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形ABCD中，半径为1的⊙O在正方形ABCD

内平移（⊙O可以与该正方形ABCD的边相切），设点B到⊙O上的点的距离为x，且x是

整数，则x的值所有情况有（）

A．3种B．4种C．5种D．6种

【答案】C

【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，解

题的关键是利用分类讨论的思想进行求解；当O与AB，BC相切时，连接BO，证明出OEBF

是正方形，利用性质求解；当O与AD，CD相切时，切点分别为G，H，连接OG，OH，

利用同样的方法进行求解即可．

【详解】解：如图1，当O与AB，BC相切时，切点分别为E，F，连接BO．

由题意易得四边形OEBF是正方形，OBC45．

O的半径为1，OB2，

∴点B到O上的点的距离的最小值为21．

如图2，当O与AD，CD相切时，切点分别为G，H，连接OG，OH，

由题意易得四边形OGDH是正方形，ODC45．BDC45，

∴点B，O，D三点共线．

O的半径为1，

∴OD2，

BD42，

∴点B到O上的点的距离的最大值为4221321．

0211，53216，

∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5种，

故选：C．

10．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦

定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，AB，BC为O的两条弦

ABBC，点E是ABC的中点，过点E作EDBC于点D，根据以上条件，下列说法错

误的是（）

A．ABBECE

B．连接BE、CE，则ABBECE

C．CDBDAB

D．作射线EO交O于点F，则BF平分ABC

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的

三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出AECE，再根据ABBEAE

即可判断A正确；连接BE，CE，AE，先证出AECE，再根据三角形的三边关系可得

ABBEAE，由此即可判断B错误；在CD上截取点G，使得CGAB，连接EG，BE，

CE，AE，先证出BAE≌GCE，根据全等三角形的性质可得BEEG，再根据等腰三角形

的三线合一可得BDDG，由此即可判断C正确；先求出AFCF，再根据圆周角定理可

得ABFCBF，由此即可判断D正确．

【详解】解：∵点E是ABC的中点，

∴AECE，

∵ABBEAE，

∴ABBECE，则选项A正确；

如图，连接BE，CE，AE，

∵AECE，

∴AECE，

∵ABBEAE，

∴ABBECE，则选项B错误；

如图，在CD上截取点G，使得CGAB，连接EG，BE，CE，AE，

由圆周角定理得：BAEGCE，

∵AECE，

∴AECE，

在BAE和GCE中，

ABCG

BAEGCE，

AECE

∴BAE≌GCESAS，

∴BEEG，

∵EDBC，

∴BDDG，

∴CDDGCGBDAB，则选项C正确；

由题意，画出图形如下：

∵EF是O的直径，

∴EAFECF，

又∵AECE，

∴AFCF，

∴ABFCBF，

∴BF平分ABC，则选项D正确；

故选：B．

11．（2025·江西宜春·一模）一张直径为12cm的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角

形，以下四种裁剪图中，所标数据（单位：cm）长度不合理的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构成三角形

的条件，三线合一定理，如选项A中图实所示，过点C作CDAB于D，设直线CD与半

圆交于E，连接AE，BE，设ADxcm，则BD12xcm，由勾股定理可得方程

21571313575

72x26212x，解方程求出ADcm，BDcm，CD2；再证明

2424576

20567

△ADE∽△EDB，得到DE2ADBD，则可证明DECD，则此时满足点C在圆

576

内，据此可判断A；同理可判断B、D；如选项C中图所示，过点C作CDAB于D，利

用勾股定理求出CD2的长，可证明CDAD，则点C在圆外，据此可判断C．

【详解】解：如选项A中图实所示，过点C作CDAB于D，设直线CD与半圆交于E，

连接AE，BE，

设ADxcm，则BD12xcm，

由勾股定理得CD2AC2AD2BC2BD2，

2

∴72x26212x，

157

解得x，

24

157

∴ADcm，

24

131246493575

∴BDcm，CD2AC2AD249；

24576576

∵AB是半圆的直径，

∴AEB90，

∴∠AED∠BED∠AED∠DAE90，

∴DAEDEB，

又∵ADEEDB90，

∴△ADE∽△EDB，

DEAD

∴，

DBDE

20567

∴DE2ADBD，

576

∴DE2CD2，即DECD，

∴此时满足点C在圆内，故A不符合题意；

同理可得B、D两个选项中图形的裁剪合理；

如选项C中图所示，过点C作CDAB于D，

1

∴ADBDAB6cm，

2

∴CD2AC2AD245AD2，

∴CDAD，

∴点C在圆外，故C选项中长度不合理，符合题意；

故选：C．

12．（2025·江西南昌·一模）如图，点M0,2，N0,8，半径为5的A经过点M，N，

则点A的坐标为（）

A．5,4B．4,6C．6,4D．4,5

【答案】D

【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是

解题的关键．连接AM，过点A作AEMN于点E，AFx轴于点F，可得四边形AFOE

是矩形，得出AEOF，AFOE，利用M0,2，N0,8，可得OM2，ON8，

MNONOM6，利用垂径定理可得ME，则可得OE，利用勾股定理可得AE，即可得．

【详解】解：如图，连接AM，过点A作AEMN于点E，AFx轴于点F，

又∵FON90，

∴四边形AFOE是矩形，

∴AEOF，AFOE，

∵M0,2，N0,8，

∴OM2，ON8，

∴MNONOM6，

∵AEMN，

1

∴EMENMN3，

2

∴AFOEOMEM5，

∵A的半径为5，

∴AM5，

∴AEAM2ME24，

∴OF4，

∴A4,5，

故选：D．

二、填空题

13．（2025·江西九江·一模）如图，VABC内接于O，BD是O的直径，CBD21，

则A的度数为．

【答案】69/69度

【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和

定理，由直径所对的圆周角是直角得到BCD90，则由三角形内角和定理可得D69，

则可得到AD69．

【详解】解：∵BD是O的直径，

∴BCD90，

∵CBD21，

∴D902169，

∵BCBC，

∴AD69．

故答案为：69．

14．（2025·江西新余·三模）如图，在矩形ABCD中，AB4,BC3．点E在边CD上，且CE3，

M,N分别是边AB，AD上的点，且BMAN1，P是线段BE上的动点，当PMN是直

角三角形时，BP的长为．

32

【答案】2或或22

4

【分析】先证明EBC45，EBA45，①如图1，过点M作MPAB交BE于点P，

连接PN，证明四边形ANPM为矩形，②如图2，过点M作MPMN交BE于点P，此时

PMN是直角三角形，过点P作PFAB于点F，则PFFB，③如图3，以MN为直径作

圆，与BE交于点PPNAM，此时PMN是直角三角形，过点P构造矩形AMGH，且GM

与BP交于点K，则BMK,PGK为等腰直角三角形，可得MKBM1,GKPG，设GKx，

则PGx，再进一步解答即可.

【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB4,BC3，

∴ADBC3，ABCD4，AABCCD90，

∵CEBC3，

∴EBC45，

∴EBA45，

①如图1，过点M作MPAB交BE于点P，连接PN，

∵PMN是直角三角形时，

∴MPN90

∵A90，AMP90

∴四边形ANPM为矩形，

∴MPN90，ANPM，△PMB为等腰直角三角形，

∴PMN是直角三角形，ANPMBM1，

∴BP2BM2，

②如图2，过点M作MPMN交BE于点P，

此时PMN是直角三角形，过点P作PFAB于点F，则PFFB，

∴APFMPMN90，

∴PMF90AMNANM，

∴AMN∽FPM，

AMAN

∴，而ANBM1，则AM3，

PFFM

31

∴，

PFFM

∴PF3FM，

设FMx，则PF3x，

∴BFPF3x，BP2PF32x，

∵BFFMBM，

1

∴3xx1，解得x，

4

32

∴BP32x．

4

③如图3，以MN为直径作圆，与BE交于点PPNAM，此时PMN是直角三角形，

过点P构造矩形AMGH，且GM与BP交于点K，则BMK,PGK为等腰直角三角形，

∴MKBM1,GKPG，设GKx，则PGx，

∴GMGKKM1x，

∴AHGM1x，

∵AN1，

∴HNAHANxPG，

同理可得：NPHPMG，而PHNPGM90，

∴PHN≌MGP，

∴PHGM1x，

∴HGPHPG2x1，

∵AMHG3，

∴2x13，

解得x1，

∴BPBKPK2222，

32

综上所述，当PMN是直角三角形时，BP的长为2或或22．

4

32

故答案为：2或或22

4

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，全等三角

形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，画出图形，清晰的分类讨论是解本题的关键.

15．（2025·江西南昌·二模）在VABC中，ABAC,A45,BC4，以点B为圆心，BC的

长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为．

【答案】2π42

【分析】此题考查了扇形面积公式、等腰三角形的判定和性质等知识．求出CBD45，

2

作DHBC于点H，则BHD90,BDH45,得到DHBD22，根据扇形面积减

2

去三角形面积即可得到答案．

【详解】解：∵VABC中，ABAC,A45,

1

∴ABCACB180A67.5，

2

∵以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，

∴BDBC4，

∴BDCACB67.5，

∴CBD180BDCACB45，

作DHBC于点H，则BHD90,BDH45,

∴BHD是等腰直角三角形，

2

∴DHBD22

2

454211

∴图中阴影部分的面积为BCDH2422242，

36022

故答案为：2π42

16．（2025·江西抚州·二模）如图，以AB为边作等腰三角形ABC，C120，若O的半

1

径为2cm，弦AB的长为23cm，点D在O上，若DABBAC，则CD的长为．

2

【答案】2cm或62cm或22cm

【分析】首先确定点C共有两个位置，当在O处时，连接OD，易知OD2cm；当在C处

时，此时分两种情况，①当点D在直线AB下方时，连接CD1,AD1，过点C作CEAD1于点

E，首先证明CEAE，结合勾股定理解得AECE2cm，再证明CDE30，由直角

三角形的性质可得CD12CE22cm；②当点D在直线AB上方时，如图，连接OD2，交BC

于点G，在CG上取一点H，使得CHD2H，连接D2H，然后计算CD2的值．

【详解】解：如下图，过点O作OFAB于点F，连接OA,OB，

∵O的半径为2cm，弦AB的长为23cm，

∴OAOB2cm，AFBF3cm，

2

∴OFOA2AF22231cm，

OF1

∴sinOAF，

OA2

∴OAF30，

∴OBFOAF30，

∴AOB180OAFOBF120，

即点C其中一个位置与点O重合，

延长OF交O于点C，连接AC,BC，

则有ACBC，

∴ACBC，

∴CFOCOF211cm，

2

∴ACAF2CF23122，

CF1

∵sinCAB，

AC2

∴CAB30，

∴CBACAB30，

∴ACB180CABCBA120，

∴以AB为边作等腰三角形ABC，BCA120，点C共有两个位置，如图C,O，

当在O处时，连接OD，则OD2cm；

当在C处时，此时分两种情况，

①当点D在直线AB下方时，如图，连接CD1,AD1，过点C作CEAD1于点E，

1

∵DABBAC15，

2

∴CADCABDAB45，

∴ECA90CAD45CAD，

∴CEAE，

∵AE2CE2AC2，即2CE222，

∴AECE2cm，

»»

∵CACA，

∴CDECBA30，

∴CD12CE22cm；

②当点D在直线AB上方时，如图，连接OD2，交BC于点G，

1

则DABBAC15，

22

∴D2ACBACBAD215，

∵，

BD2BD2

∴BCD2BAD215，

在CG上取一点H，使得CHD2H，连接D2H，

∴HCD2HD2C15，

∴D2HG30，

1

∴GDDH，

222

∴22，

GHD2HD2G3GD2

∵BAD2CAD215，

∴，

BD2CD2

∴OD2垂直平分BC，

1

∴CGBC1cm，

2

∴GHHCGHD2H3D2G2D2G1cm，

1

∴D2G23cm，

23

2

∴222．

CD2D2GCG23162cm

综上所述，CD的长为2cm或62cm或22cm．

故答案为：2cm或62cm或22cm．

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、

等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线

并分类讨论是解题关键．

17．（2025·江西新余·二模）如图，以AB为边作等腰三角形ABC，C120，若O的半

1

径为2cm，弦AB的长为23cm，点D在O上，若DABBAC，则CD的长为．

2

【答案】2cm或62cm或22cm

【分析】首先确定点C共有两个位置，当在O处时，连接OD，易知OD2cm；当在C处

时，此时分两种情况，①当点D在直线AB下方时，连接CD1,AD1，过点C作CEAD1于点

E，首先证明CEAE，结合勾股定理解得AECE2cm，再证明CDE30，由直角

三角形的性质可得CD12CE22cm；②当点D在直线AB上方时，如图，连接OD2，交BC

于点G，在CG上取一点H，使得CHD2H，连接D2H，然后计算CD2的值．

【详解】解：如下图，过点O作OFAB于点F，连接OA,OB，

∵O的半径为2cm，弦AB的长为23cm，

∴OAOB2cm，AFBF3cm，

2

∴OFOA2AF22231cm，

OF1

∴sinOAF，

OA2

∴OAF30，

∴OBFOAF30，

∴AOB180OAFOBF120，

即点C其中一个位置与点O重合，

延长OF交O于点C，连接AC,BC，

则有ACBC，

∴ACBC，

∴CFOCOF211cm，

2

∴ACAF2CF23122，

CF1

∵sinCAB，

AC2

∴CAB30，

∴CBACAB30，

∴ACB180CABCBA120，

∴以AB为边作等腰三角形ABC，BCA120，点C共有两个位置，如图C,O，

当在O处时，连接OD，则OD2cm，即CD2cm；

当在C处时，此时分两种情况，

①当点D在直线AB下方时，如图，连接CD1,AD1，过点C作CEAD1于点E，

1

∵DABBAC15，

2

∴CADCABDAB45，

∴ECA90CAD45CAD，

∴CEAE，

∵AE2CE2AC2，即2CE222，

∴AECE2cm，

»»

∵CACA，

∴CDECBA30，

∴CD12CE22cm；

②当点D在直线AB上方时，如图，连接OD2，交BC于点G，

1

则DABBAC15，

22

∴D2ACBACBAD215，

∵，

BD2BD2

∴BCD2BAD215，

在CG上取一点H，使得CHD2H，连接D2H，

∴HCD2HD2C15，

∴D2HG30，

1

∴GDDH，

222

∴22，

GHD2HD2G3GD2

∵BAD2CAD215，

∴，

BD2CD2

∴OD2垂直平分BC，

1

∴CGBC1cm，

2

∴GHHCGHD2H3D2G2D2G1cm，

1

∴D2G23cm，

23

2

∴222．

CD2D2GCG23162cm

综上所述，CD的长为2cm或62cm或22cm．

故答案为：2cm或62cm或22cm．

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、

等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线

并分类讨论是解题关键．

18．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，P与x轴交于B，C两点，

与y轴交于点A，且OBOC2OA4，则圆的半径为．

【答案】5

【分析】本题主要考查了勾股定理，圆的基本性质，坐标与图形，连接PC，设PCPAr，

2

则OPPAOAr2，由勾股定理得r2r242，解方程即可得到答案．

【详解】解：如图所示，连接PC，

设PCPAr，则OPPAOAr2，

在RtCOP中，由勾股定理得PC2OP2OC2，

2

∴r2r242，

解得r=5，

∴PC5，

∴圆的半径为5，

故答案为：5．

三、解答题

19．（2025·江西南昌·三模）在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作图：

(1)在图1中，作圆的直径AC；

(2)在图2中，在圆上找一点D，使ADAB．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查网格中作图，涉及圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的

判定，利用转化的思想得到作图依据是解答的关键．

（1）利用90度的圆周角（即ABC90）所对的弦是直径可画出直径AC；

（2）取格点C、T，连接BT延长交圆于点D，连接AD，证明ABC∽ATB，得到

ABTACBADB，根据等腰三角形的判定可得ADAB．

【详解】（1）解：如图1中，直径AC即为所求；

（2）解：如图2中，点D即为所求．

20．（2025·江西南昌·三模）如图，在VABC中，以AB为直径作O，交AC于点P，

PD是O的切线，且PDBC，垂足为点D．

(1)求证：AC；

(2)若PD2BD4，求O的半径．

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】（1）连接OP，如图，先根据切线的性质得到OPPD，则可判断OP∥BC，所以

OPAC，然后利用OPAA可得到结论；

（2）连接PB，先利用勾股定理计算出PB25，再根据圆周角定理得到APB90，接

着证明△BDP∽△BPC，则利用相似三角形对应边成比例可计算出BC10，然后利用

AC得到BA10，从而得到O的半径．

【详解】（1）证明：连接OP，如图，

PD是O的切线，

OPPD，

PDBC，

OP∥BC，

OPAC，

OAOP，

OPAA，

AC；

（2）解：连接PB，如图，

在Rt△PBD中，

PD2BD4，则BD2，

PB=22+42=25，

AB为直径，

APB90，

BDPBPC，DBPPBC，

△BDP∽△BPC，

BP:BCBD:BP，

2

∴BP2BCBD，即252BC，

解得BC10，

AC，

BABC10，

O的半径为5．

【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键

是学会添加常用辅助线解决问题；

21．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在VABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长

为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作ADBO，交BO的延长线于点D，且

AODBAD．

(1)求证：AB为O的切线；

4

(2)若BC6，tanABC，求OD的长．

3

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、全

等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用．

（1）作OEAB，先由AODBAD求得ABDOAD，再由BCOD90及

BOCAOD求得OBCOADABD，最后证BOC≌BOE得OEOC，依据切

线的判定可得；

（2）先求得EOAABC，在RtABC中求得AC8、AB10，由切线长定理知

BEBC6、AE4、OE3，继而得BO35，再证ABD∽OBC，根据对应边成

比例解答即可．

【详解】（1）证明：过点O作AB边上的垂线，并交AB于点E，

ADBO，

ADB90，

BADABD90，AODOAD90，

AODBAD，

ABDOAD，

又∵BC是O的切线，

ACBC，

∴BCO90，

∴BOCOBC90，

∵BOCAOD，

∴OBCOAD，

∴OBCABD，

即OBCOBE，

∵OEAB，

∴OEB90BCO，

又∵OBOB，

∴OBC≌OBEAAS，

∴OEOC，

又∵OEAB，

∴AB是O的切线；

（2）∵ACBC，

AC4

tanABC，

BC3

又∵BC6，

4

ACBCtanABC68，ABAC2BC2826210，

3

∵OBC≌OBE，

BEBC6，

AEABBE1064，

OEAB，

OEBC

tanEAO，

AEAC

BCAE64

OE3，

AC8

即O的半径为3，

OCOE3，

OAACOC835，OBBC2OC2623235，

∵OBCOAD，AODBOC，

OAD∽OBC，

OAOD

，

OBOC

OAOC53

OD5．

OB35

22．（2025·江西新余·三模）如图，在VABC中，AB是O的直径，C是O上的一点，D

是BC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，且ABCE．

(1)求证：AE为O的切线．

(2)若O的半径为4，OE210，连接AD，求AD的长．

【答案】(1)见解析

455

(2)AD

5

【分析】（1）证明OD∥AC，可得ACB90ODB，证明OAE90，进一步可得结

论；

OAAEOE

（2）先求解AEOE2OA226，证明AOE∽CAB，可得，即

ACBCAB

426210

，再进一步求解即可．

ACBC8

【详解】（1）证明：∵D是BC的中点，O是AB的中点，

∴OD∥AC，

∴ACBODB，

∵AB是O的直径，

∴ACB90ODB，

∴BBOD90，

∵BE,BODAOE，

∴EAOE90，

∴OAE90，

∴AEAB，而OA为O的半径，

∴AE为O的切线；

（2）解：∵O的半径为4，OE210，

∴OA4，

∴AEOE2OA226，

∵OAEACB90，BE，

∴AOE∽CAB，

OAAEOE426210

∴，即，

ACBCABACBC8

810815

解得AC,BC，

55

∵ODBC，

1415

∴CDBC，

25

455

∴ADCD2AC2．

5

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形

的判定与性质，圆的切线的判定，熟练的证明切线与相似三角形是解本题的关键.

23．（2025·江西九江·三模）如图，AB是O的直径，四边形AFDE是平行四边形，请仅用

无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．

(1)在图1中，点F与点O重合，请作出AD的中点G．

(2)在图2中，请作出AD的中点H．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握相关知识的

性质是作图的关键．

（1）连接OE并延长交O于G，连接AD交OE于M，则根据平行四边形的对角线互相平

分可得到AMMD，根据平分弦（不是直径）的直径且垂直于弦,平分弦所对的两条弧可得

OG平分AD；

（2）由（1）可作AD的中点H，由中位线定理的圆周角定理定理得到ONAD，同（1）

理．

【详解】（1）解：如图1，点G即为AD的中点；

（2）解：如图2，点H即AD的中点．

24．（2025·江西萍乡·二模）追本溯源

题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并完成变式训练题（2）．

(1)如图1，AB与O相切于点C，OAOB，AB10cm．若O的直径为8cm，求OA的长．

(2)如图2，AB与O相切于点C，OAAB．若O的直径为8cm，tanAOB2，求OA的

长．

【答案】(1)OA41cm；

(2)OA5cm．

【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形．

（1）连接OC，利用切线的性质求得OCAB，利用等腰三角形的性质求得CA5，最后利

用勾股定理求解即可；

（2）连接OC，作ADOB于点D，利用等腰三角形的性质求得AOBB，得到

OC1

tanB2，求得BCOC2，利用勾股定理求得BO25，利用等腰三角形的性

BC2

AD

质求得ODBD5，再由tanB2，结合勾股定理求解即可．

BD

【详解】（1）解：连接OC，

∵AB与O相切于点C，

∴OCAB，

∵OAAB，

1

∴CACBAB5，

2

∵O的直径为8cm，

∴OC4cm，

∴OA524241cm；

（2）解：连接OC，作