2023年概率知识点总结及题型

概率知识点总结及题型汇总

一、确定事件：包括必然事件和不也许事件

1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者

说发生日勺也许性是100%;如：从一包红球中，随便取出一种球，一定是红球。

2、在一定条件下不也许发生日勺事件，叫做不也许事件。不也许事件是指一定不能发生的事件,

或者说发生日勺也许性是0,如：太阳从西边出来。这是不也许事件。

3、必然事件日勺概率为1,不也许事件的概率为0

二、随机事件

在一定条件下也许发生也也许不发生的事件，叫做随机事件。

一般地，随机事件发生的也许性是有大小日勺，不一样的随机事件发生的也许性的大小有也许不一

样.

一种随机事件发生口勺也许性的大小用概率来表达。

三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件、哪些是随机事件，哪些是不也许事件，哪些

是确定事件？

①••种玻璃杯从•座高楼的第1()层楼落到水泥地面上会摔破；

②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；

④某人买彩票，持续两次中奖；⑤今每天气不好，飞机会晚些抵达.

解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不也许事件是②.确定事件是①②

三、概率

1、一般地，对于一种随机事件A,把刻画其发生也许性大小的数值，称为随机事件A发

生的概率，记为P(A).

(1)一种事件在多次试验中发生的也许性，反应这个也许性大小的数值叫做这个事件发生的

概率。(2)概率指口勺是事件发生的也许性大小的的一种数值。

2、概率日勺求法：一般地，假如在一次试验中，有n种也许的成果，并且它们发生的也许性

都相等，事件A包括其中的m种成果，那么事件A发生的概率为P(A)=-.

n

(1)一般地，所有状况日勺总概率之和为1。(2)在一次试验中，也许出现的成果有限多种.

(3)在一次试验中，多种成果发生时也许性相等.

(4)概率从数量上刻画了一种随机事件发生时也许性的大小，事件发生日勺也许性越大，则它

的概率越靠近1;反之，事件发生日勺也许性越小，则它日勺暇率越靠近0。

(5)一种事件H勺概率取值：OWP(A)W1

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1,即P(必然事件)=1

不也许事件的概率为0,即P(不也许事件)=0

随机事件的概率：假如A为随机事件，则OVP(A)<1

(6)也许性与概率日勺关系

事件发生口勺也许性越大，它的概率越靠近于1,事件发生的也许性越小，则它的概率越靠近0.

事件发生的可能性越来越小।

9_一I概率的值

不可能发生--------------------------必然发牛

事件发生的可能性越来越大’

3、求概率的环节:

(1)列举出一次试验中口勺所有成果(n个)；

(2)找出其中事件A发生的成果(m个)；

⑶运用公式求事件A的概率：P(A)=-.

n

5、在求概率时，一定要是发生欧J也许性是相等的，即等也许性事件

等也许性事件日勺两种特性：

(1)出现的成果有限多种；(2)各成果发生日勺也许性相等;

例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的也许性相等，图3中口勺第一种图，指针在转动

过程中，转到各区域的也许性不相等,

红（红，红）

蓝（红,蓝）

红（蓝,红）

蓝（蓝，蓝）

图4

由上图可知，在求概率时，一定是出现的也许性相等，反应到图上来说，一定是等分的。

例2、下列事件哪些是等也许性事件？哪些不是?

（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。不是

（2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心。不是

（3）从分别写有1,3,5,7中的•种数口勺四张长片中任抽•张成果是1,或3或5或7。是

6、古典概率模型

在一次试验中，也许出现的成果有限多种，每个基本领件出现口勺也许性相等。将具有以上两个

特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。

例题：（1）从标有数字1,2,3,4,5的5个小球（小球之间只有号码不一样，其他均相似）

中摸出一球，求摸出号码是2的概率.

（2）从标有数字1,2,2,3,4,5的6个小球（小球之间只有号码不一样，其他均相似）中摸

出一-球，求摸出号码是2的概率.

此题考察概率的求法：假如一种试验有n种等也许的成果，事件A包括其中日勺m种成果，那么

事件A口勺概率P（A）=空，解题时注意对概率意义口勺理解.

在（1）这次摸球试验中，共有5中也许的成果，事件A（摸出号码2这件事）包括其中的一种

成果，那么摸出号码是2的概率.为1/5.

在（2）这次摸球试验中，共有6中也许日勺成果，事件A（摸出号码2这件事）包括其中的二种

成果，那么摸出号码是2日勺概率.为2/6=113.

7、求概率欧I通用措施：

在一次试验中，假如也许出现H勺成果只有有限个，且多种成果出现H勺也许性大小相等，那么

我们可以通过列举试验成果的措施，求出随机事件发生日勺概率，这种求概率日勺措施叫列举法.

列举法包括枚举法、列表法、树状图法

（1）枚举法（列举法）：一般在一次事件中也许发生的成果比较少时，我们可以把所有也许

产生的成果所有列举出来，并且多种成果出现的也许性相等时使用。等也许性事件内概率可以用

列举法而求得。不过我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

（2）列表法：当一次试验要波及两个原因（例如掷两个骰子），并且也许出现的成果数目较

多时，为不重不漏地列出所有也许日勺成果时使用。

（3）列树形图法：当一种试验要波及3个或更多的原因（例如从3个口袋中取球）时，列表

就不以便了，为不重不漏地列出所有也许的成果时使用。

四、频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现H勺次数叫频数

2、频率：某个事件出现H勺次数与试验总次数H勺比，叫做这个事件出现H勺频率

3、一般地，在大量反复试验中，假如事件A发生的频率-会稳定在某个常数p附近，那

n

么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P。

五、概率公式中m、n之间艮|数量关系，P（A）的取值范围。

在概率公式P（A）二竺中m、n取何值，m、n之间日勺数量关系，P（A）的取值范围。

n

0WmWn,m、n为自然数

pQA-w1,梅成事件A的区域长酬积或体积）

制验的全部结果所构峻］区域长度（面积或体积）

当m=n时,A为必然事件,概率P（A）=L

当m=0时,A为不也许事件，概率P（A）=O.

（）WP（A）W1

六、几何概率

1、假如每个事件发生H勺概率只与构成该事件区域H勺长度（面积或体积）成比例，则称这样的

概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

（1）几何概型的特点：

I）试验中所有也许出现日勺成果（基本领件）有无限多种.2）每个基本领件出现日勺也许性相等.

（2）在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

七、例题汇总

（一）确定三事件

例1下列事件中，哪些是不也许事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？哪些是确定

事件？，分析其发生概率的大小

（1）抛掷一枚均匀的骰子，6点朝上；（2）367人中有2人的出生日期相似；

（3）1+3>2;（4）太阳从西边升起.

解析：根据事件发生的也许性大小判断对应事件的类型即可.（1）抛掷一枚均匀口勺骰子，1,

2,3,4,5,6点均有也许朝上，故6点不一定朝上；（2）一年有365（或366）天,故367人

中必然有2人的出生日期相似；（3）1+3肯定不小于2；（4）太阳不也许从西边升起.由以上

分析知：

（1）是不确定事件，（2）（3）是必然事件，（4）是不也许事件.

（2）（3）（4）是确定事件

发生概率的大小判断，首先需要理解必然事件、不也许事件、不确定事件的意义.必然事件

是指一定会发生的事件，发生的概率是1；不也许事件是指不也许发生日勺事件，发生的概率是0；

不确定事件是指也许发生也也许不发生日勺事件，发生的概率介于。和1之间.

例2、下列事件属于必然事件H勺是（）

A.打开电视，正在播放新闻B.我们班的同学将会有人成为航天员

C.实数a<0,则2aV0D.新疆日勺冬天不下雪

解析：A是随机事件，由于也许是播新闻也也许是其他电视节目；B为随机事件，一种班有

几十个学生当然有也许成为航天员；D是不也许事件，由于新疆气温低，每年都会下雪.故选C

例3、（福建龙岩）下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正

面朝上；③任取两个正整数，其和不小于1：④长分别为3、5、9厘米日勺三条线段能围成一种三

角形.其中确定事件的个数是（）.

A.।B・2C・3D.4

B解析：③④是确定事件

（二）概率意义的理解

例1、某商场举行购物有奖活动，在商场购满价值50元H勺商品可抽奖一次，丽丽在商场购物

共花费120元，按规定抽了两张奖券，成果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中奖率为50%?

为何？

解析：由于中奖是不确定事件，而计算中奖率应当是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但这些数

据在本题中没有给出，因此不能计算出这次抽奖活动口勺中奖率，因此不能说商场的抽奖活动中奖率为

50%.

点评：概率是在做大量反复试验时，伴随试验次数的增长，一种事件出现的频率，总在一种固定

常数日勺附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验的结论.随机事件每次发生日勺成果是不可以预见

日勺，但每次发生日勺概率是不变的.

例2、下列说法对日勺的是（）

A.某市〃明天降雨的概率是75%〃，表达明天有75%的时间会降雨

B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上

1

C.在一次抽奖活动中，“中奖的概率是嬴"表达抽奖100次就一定会中奖

D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交

解析:明天降雨的概率是75%是阐明明天有75%的也许性会降雨，而不是阐明天有75%内时间

在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是（）.5,说日勺是在做大量的抛一枚硬币的试验中，有二分之一的

也许性出现正面朝上，而随机抛一珞硬币落地后正面不一定朝上：抽奖活动中，中奖MJ概率为需，

指的是每抽奖一次均有一二的也许性中奖；故A、B、C都错，因而选D.

100

（三）运用简朴枚举法求概率

例1某小商店开展购物摸奖活动，申明：购物时每消费2元可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，

购物者从标有数字1,2,3,4,5的5个小球（小球之间只有号码不一样，其他均相似）中摸出一球,

若号码是2就中奖，奖品为一张精美图片.

（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？

（2）一次，小聪购置了10元钱的物品，前4次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖我一定能

摸中“，你同意他的想法吗？说说你的想法.

解析：（1）每次摸奖时，有5种状况，只有摸到号码是2日勺球才中奖，于是得到一张精美图片

口勺概率是p=j;

（2）不一样意，由于小聪第5次得到一张精美图片的概率仍是最因此他第5次不一定中奖.

点评：此题考察概率时求法：假如一种试验有n种等也许日勺成果，事件A包括其中日勺m种成果,

那么事件AH勺概率P（A）=弋，解题时注意对概率意义日勺理解.

例2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全同样），那么这粒豆

子停在黑色方格中的概率是.

解析：1、这粒豆子落在每一种方格中日勺也许性是同样日勺，因此这粒豆子停在方格中的也许性共

有12种，黑色方格的也许性有四种，因此黑色方格中的概率等于巴=」

123

2、黑色方格中日勺概率等于黑色方格口勺面积与所有方格的面积比.设每个方格的面积是1,则P（这

粒豆子停在黑色方格）二巴:.

123

点评：概率的大小与面积大小有关.事件发生口勺概率等于此事件所有也许成果所构成的图形面积

除以所有也许成果构成的图形面积.

例3、掷两枚硬币，求下列事件的I概率

（1）两枚硬币正面所有朝上；（2）两枚硬币背面所有朝上

（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币背面朝上。

解：用枚举法（列举法）列出也许的成果是：正正、正反、反正、反反。所有成果共有4种。并

且这四个成果出现H勺也许性相等。

用列表法：解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有也许成果如表所示：

[IPH

正（正，正）（正，反）

反（反，正）（反，反）

（1）所有日勺成果中，满足两枚硬币所有正面朝上（记为事件A）的成果只有一种，即“正正”因

此P（A）=1/4

（2）所有的成果中，满足两枚硬币所有背面朝上（记为事件B）的成果只有一种，即“反反”因

此p（B）=1/4

（3）所有口勺成果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币背面朝上（记为事件C）的成果共有2个,

即“正反”“反正”因此P（C）=2/4=1/2

例4、一口袋中装有四根长度分别为1cm,3cm,4cm和5cm的J细木棒，小明手中有一根长度为

3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答问题：

（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率：

（2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；

（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率.

解析：从四根木棒中任选两根，共有如下六种状况：（1,3）、（1,4）、（1,5）、（3,4）、

（3,5）、（4,5）,其中与3cm长日勺线段构成三角形的有（1,3,3）、（3,3,4）、（3,3,5）、

（3,4,5）四种；构成直角三角形日勺有（3,4,5）一种；构成等腰三角形的有（1,3,3）、（3,

3,4）、（3,3,5）三种，因此有：

4_2

（1）P（构成三角形）=6~3；（2）P（构成直角三角形）=6；

3=_1_

（3）P（构成等腰三角形）工一3.

（四）列表法求概率

当试验波及两个原因（例如两个转盘）并且也许出现的成果数目较多时，为不重不漏地列出所有的

成果，一般采用“列表法”。

例1、如图，袋中装有两个完全相似的球,分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一种游戏:游戏者

每次从袋中随机摸出一种球，并自由转动图中的转盘（转盘被提成相等的三个扇形）.游戏规则是:假如所

摸球上的数字与转盘转出日勺数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜日勺概率.

解:每次游戏时,所有也许出现的成果如下:

123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

总共有6种成果，每种成果出现的也许性相似，而所摸球:转出的加定2，小田

果只有一种：（口）,因此游戏者获胜的概率为1/6.

例2、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3,乙转盘的四个等分区域分驯马有数

字4、5、6、7O现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。

解：列表

4567

1(1,4)(1,5)(1,6)(1,7),㊉

2(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)

3(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)

共有12种不一样成果，每种成果出现的也许性相似，其中数字和为偶数的有［6）种

・・・P（数字和为偶数）=6/12=1/2

例3、例、同步掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两个骰子的点数相似

⑵两个骰子点数之和是9

⑶至少有一种骰子的点数为2

分析：当一次试验要波及两个原因（例如掷两个骰子）并且也许出现的成果数目较多时，为不

重不漏地列出所有也许成果，一般采用列表法。

解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚.列出所有也许的成果:

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1⑸(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

由表可看出，同步投掷两个骰子，也许出现的成果有36种，它们出现的也许性相等。

(1)满足两个骰子点数相似(记为事件A)的成果有6种，P(A)=6/36=l/6

(2)满足两个骰子点数和为9(记为事件B)的成果有4种，P(B)=4/36=l/9

(3)满足至少有一种骰子的点数为2(记为事件C)的成果有H种，P(C)=ll/36

思索题：假如把刚刚这个例题中的“同步掷两个骰子”改为“把一种骰子掷两次“，所得的成果

有变化吗？没有变化

(五)树形图法求概率

当一种试验要波及3个或更多的原因(例如从3个口袋中取球)时，列表就不以便了，为不

重不漏地列出所有也许的成果时使用。

1、既有一项“抖空竹”的演出.已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随机

选用其中日勺一种空竹.求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率.

解：甲、乙、内三名学生恰好选择同一种空竹为事件M.塑料一A木质一B

措施1：措施2：

/\/\

AAA,AAB,ABA,ABB,-

/\/\/\/\

BAA,BAB,BBA,BBB..

2、甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相似的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写

有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有

字母H和I；现要从3个盒中各随机取出一张卡片.求

（1）取出的3张卡片中恰好有1个，2个，3个写有元音字母日勺概率各是多少？

（2）取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？

由树形图可以得到，所有也许出现的成果有12个，这些成果出现日勺也许性相等.

（1）只有一种元音字母日勺成果有5个，因此P（一个元音）=卷；

有两个元音字母口勺成果有4个，因此P（两个元音）=《二；：

所有为元音字母的成果有1个，因此尸（三个元音）=《='；

（2）全是辅音字母的成果有2个，因此尸（三个辅音）

3、小颖为学校联欢会设计了一种“配紫色”日勺游戏：图1是两个可以自由转动的转盘，每个

转盘被提成面积相等的儿种扇形。游戏者同步转动两个转盘，假如转盘A转出了红色，转盘B转

出了蓝色，那么他就赢了，由于红色和蓝色在一起配成了紫色。

•:1）运用树状图或列表的措施表达游戏所有也许出现的成果。

（2）游戏者获胜的概率是多少？

解析：（1）所有也许出现口勺成果可用表1或图2表达。

表1

X黄蓝绿

红（红，黄）（红，蓝）（红，绿）

白（白，黄）（白，蓝）（白，绿）

黄（红，黄）

红w

蓝（红，蓝）

绿（红，绿）

开始

黄（白，黄）

白蓝（白，蓝）

绿（白，绿）

图2

（2）所有也许出现日勺成果共有6种，配成紫色日勺成果只有1种，故游戏获胜的概率为工。

6

这道题为两步试验日勺随机事件发生的概率计算，采用的措施是树状图法和列表法。接下来仍

然以“配紫色”为重要情景进行游戏：，让同学们深入经历用树状图法和列表法处理概率问题的

过程。

用图3所示日勺转盘进行“配紫色”游戏。

小颖制作了图4,并据此求出游戏者获胜的概率为:。

红（红，红）

蓝（红,蓝）

开始红（蓝,红）

蓝（蓝，蓝）

图3图4

小亮则先把左边转盘的红色区域等提成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了表

2,据此求出游戏者获胜日勺概率也是卜

红色蓝色

红色1（红1,红）（红1,蓝）

红色2（红2,红）（红2,蓝）

蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）

你认为谁做得对？说说你的理由。

解析：由于左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不一样，因而指针落在这两个区域的也

许性不一样，故小颖的做法不对的，而小亮日勺措施则是处理这一类问题的一种常用措施。

4、小明与父母从广州乘火车回北京，他们买到日勺火车票是同一排相邻的三个座

位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是多少？

解：为了以便起见，我们不妨设三个坐位号为1,2,3o可以看出坐在2号位

上，则为中间位置。画出树状图如图4或图5或图6。

从图中可以看出，不管小明第

几种坐，所有时也许能是6种，而0生

AAAA

小明坐2号位置的状况有2种（记ryn/1

为事件A）,因此小明恰好坐在父

母中间的概率是

P(A)二滑

o5

（六）概率与方程

1、（2023广西防城港23,8分）一种不透明的纸盒中装有大小相似日勺黑、白两种颜色的围

棋，其中白色棋子3个（分别用白A、白仄白C表达），若从中任意摸出一种棋子，是白色棋

子日勺概率为士.（1）求纸盒中黑色棋子的个数；

4

•2）第一次任意摸出一种棋子（不放回），第二次再摸出一种棋子，请用树状图或列表口勺措

施，求两次摸到相似颜色棋子的概率.

解答：（1）・・,3/一3=1・•・黑色棋子有1个.

4

N果白人白3白C黑

白4(A,B)(A,C)（A.黑）

\

白3(B,A)(B.C)（B.黑）

白C(C,A)(C.B)(C,蹲)

）

黑（黑，A）（黑，B（黑，O

；•共12种状况'有6种状况两次摸到相似颜色棋子'因此概率为:.

此外，本题还可以用树状图解答如下：

开始

第一摸：白A白B白C黑

白小小小小

第一摸：白B白C黑白4白C黑白人白8黑白A白§白。

姑（白4,白3）（白A,白C）（白A,黑）（白反白4）

一口米：（白以白C）（白以黑）（白C,白A）（白C,白B）

（白C,黑）（黑，白人）（黑，白（黑，白

由于由上面树状图可知：共12种状况，有6种状况两次摸到相似颜色棋子，因此概率为

2

2、湘潭是我家，爱惜靠大家〃.自本市开展整改"六乱"彳亍动以来，本市学生愈加自觉遵守

交通规则.某校学生小明每天骑自行车上课时都要通过一种十字路口,该十字路口有红、黄、绿

11

三色交通信号灯，他在路口碰到红灯的概率为孑,碰到黄灯的概率为5，那么他碰到绿灯的概率

£245

为（）A.7B.3C.9D.9

解：碰到绿灯的概率为1-131/9=5/9

【点评】所有状况日勺概率之和为1,用1减去其他状况日勺暇率就是碰到绿灯日勺概率。

3、（2023?武威模拟）袋子里有1（）个红球和若干个蓝球，小明从袋子里有放回地任意摸球，

共摸10（）次，其中摸到红球次数是25次，则袋子里蓝球大概有（）

A.20B.30C.40D.50

251

【解析】,・•共摸100次，其中摸到红球次数是25次，，摸到红球的概率为碇4

101

•・,袋子里有10个红球和若干个蓝球，，设篮球有x个，则丽=4解得：x=30,故选B.

4、（2023铁岭）将红、黄、蓝三种除颜色不一样外，其他都相似的球，放在不透明日勺纸箱

里，其中红球4个，蓝球3个，黄球若干个.若每次只摸一球（摸出后放回），摸出红球的概率是2，

5

则黄球有个.

解析：设黄球有X个，则摸出红球的概率为——解得x=3

4+3+x5

5、（2023湖南衡阳）在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色

外都相似，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，现从中任意抽出一张是红色卡片口勺概率为

2

⑴试求箱子里蓝色卡片的张数.

⑵第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表格的措

施，求两次抽到的都是红色卡片的概率.

119

分析：⑴设箱子里蓝色卡片的I张数为x张，由名色小一，则一二--------，解有关x日勺方程即可求出箱子里

cL,222+1+x

蓝色卡片的张数.（2）要注意题目中的条件，第一次抽取后不放回.

2|

解：（1）设箱子里有x张蓝色卡片，则有一二一=-,解得：x=l.

2+1+x2

(2)

第一次抽卡片：红I红，黄蓝

/N/K/XZN

第二次抽卡片：红2黄蓝红।黄蓝红।红2蓝红।红2黄

从树状图图可知，一共有12种成果，两次抽到的都是红色H勺有两种.

21

・•・P（两次抽到都是红色卡片）

126

6、（2023湖北随州）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表达两人各投掷一次的

点数.（1）求满足有关x欧I方程/+px+,/=o有实数解日勺概率.

（2）求（1）中方程有两个相似实数解H勺概率.

分析:通过列表或画树状图，可以求出p、q欧J多种也许的取值；方程—+〃小+,/=0有实数解的条

件是鉴另IJ式〃2—4qN0；方程，+庶+“=0有两个相似实数解时条件是鉴另IJ式〃2一4“=0.

解:通过列表或画树状图可得，两人投掷骰子后p、q的取值共有36种等也许状况，其中满足

〃2一4先0的有/二2、

q=l

p=5[p=61p=4〃二6以上|9种状况，，方程

、V、V

q=3[<7=3优=4q=6

2|Q、P=2'=4以上种状况，.••方程

X+px+q=0有实数解叫概率为寸；其中满足"—44=0H勺有.2

36q=ic/=4

/+冲+“=。有两个相似实数解的概率为得=5.

7、（2023茂名）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相似的J红色、黄色、蓝色乒乓球共100个.从纸箱中

任意笺出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3.

（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；

（2）假设向纸箱中再放进红色球X个，这时从纸箱中任意取出一种球是红色球的概率为0.5,:忒求Jd向值.

解：（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为:100x（1-0.2-0.3）=50（个）

（2）措施一：根据题意得:

20+x=0.5,解得：x=60（个）.

1004-x

措施二：由已知得红色球20个、黄色球30个，蓝色球50个，为使任意取出一种球是红色球的概率为0.5,

因此纸箱中红色球"勺个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得：

x+20=30+50,解得：x=60（个）.

（七）几何概率

1、在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设置了一种可以自由转动的转盘（如图所示，转盘

被平均提成16份），并规定：顾客每购置100元的I商品，就能获得一次转动转盘日勺机会，假如转

盘停止后，指针恰好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得5（）元、3（）元、20

元H勺购物券，凭购物券可以在该商场继续购物，假如顾客不乐意转转盘，那么可以直接获得购物

券10元。

（1）求每转动一次转盘所获50元购物券的概率（2）求每转动一次转盘所获30元购物券的概率

（3）求每转动一次转盘所获20元购物券的概率（4）求每转动一次转盘所获购物券的概率

（5）求每转动一次转盘不获购物券的概率（6）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；

（7）假如你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？阐明理由。

解：（1）每转动一次转盘所获50元购物券n勺概率为：1/16

（2）每转动一次转盘所获30元购物券的概率为：2/16=1/8

（3）每转动一次转盘所获20元购物券口勺概率为：4/16=1/4

（4）每转动一次转盘所获购物券口勺概率：1/16+2/16+4/16=7/16

（5）每转动一次转盘不获购物券口勺概率：1-7/16=9/16（或者是空白区域除以16）

j_2A

（6）50x16+30x16+20x16=11.875（元）；（7）•.11.875元>10元,二选择转转盘。

2、某商场为了吸引顾客，设置了一种可以自由转动的转盘（如图9所示），并规定：顾客每购置10（）元的商

品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向时数.获奖措施是：①指针两次都指向8时，顾客可以获得100

元购物券；②指针两次中有一次指向8时，顾客可以获得50元购物券；③指针两次都不指向8,且所指两数之和又

不小于8时，顾客可以获得所指两数之和与8的差的10倍的购物券（如，获40元购物券）；④具他状况无奖.

（1）试用树状图或列表的措施，给出两次转动转盘指针所有也许指向口勺成果；

（2）试求顾客可获得100元购物券的概率；（3）试求顾客无奖的概率.

2468

2

(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)

4

(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)

6

(6,2)(6,4)(6,6)(6,8)

8

(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)

（2）由于两次转动转盘指针所有也许日勺成果共有16种，其中两次指针指向8的状况有一种，因

此所求概率为1/16

（3）由于两次转动转盘指针所有也许H勺成果共有16种，其中无奖的状况有6种，因此所求概率

为6；16=3/8

3、公共汽车在0〜5分钟内随矶地抵达车站，求汽车在I〜3分钟之间抵达日勺概率。

分析：将。〜5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1〜3分钟是这一线段中

欢12个单位长度。

解：设“汽车在1〜3分钟之间抵达”为事件A,则P（A）=（3-l）/5=2/5

因此“汽车在1~3分钟之间抵达”的概率为2/5

4、取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?

解：记“剪得两段绳子长都不不不小于1m”为事件A,把绳子三等分，于是当剪断位置处在中

间一段上时，事件A发生。由于中间一段日勺长度等于绳子长的三分之一，因此事件A发生的概率P

(A)=l/3o

5、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M,求AM不不小于AC的概率。

分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中H勺线段AC'上时，

AM<AC,故线段AC'即为区域d。

解：在AB上截取AC'=AC,于是

P(AMVAC)=P(AMVAC')二AC'/ABtAC/AB=42/2

则AM不不小于ACH勺概率为寸2/2

6、取一种边长为2a的正方形及其内切圆(如图)，随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的

概率.

解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

P(A)=/%J面积/正方形面积二冗a2/4a2=n/4

7、在边长为a时正方形ABCD内随机取一点P,求：(1)ZAPB>90°的概率.(2)ZAPB

<90°的概率

解：如图，以正方形日勺边AB为直径作圆，根据直径所对日勺圆周角为直角，则有当点P在圆周上

时，NAPB=90°,而点P在圆内时，/APB>90°,当点P在圆外时，NAPBV90。

设AB二a,则正方形的面积为a?

因此,zAPB>90。的踞p=(n*(a/2)2/2)4-a2=Ji/8

NAPBV90。日勺概率为1-H/8

8、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30nb宽20mH勺长方形，求此刻海豚嘴尖离岸不不小于

2m的概率.

解：设事件A“海豚嘴尖离岸边不不小于2m”(见阴影部分)

P(A)=(30X20-26X16)4-30X20=0.31

9、射箭比赛时箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白

色靶心叫“黄心”。奥运会日勺比赛靶面直径为122cm,靶心J-20m

.假设

射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等也许日勺，那么身

P(A;=(1/4JiX12.22)4-(1/4JTX1222)=0.01

10、某人午觉醒来,发现表停了，他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分

钟的概率.

解:设A=｛等待口勺时间不多于10分钟｝.我们所关怀的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]

时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得

P(A)=10/60=1/6

(八)设计公平的游戏规则

例1有一种小正方体，正方体日勺每个面分别标有1,2,3,4,5,6这六个数字.目前有甲、乙

两位同学做游戏，游戏规则是：任意掷出正方体后，假如朝上日勺数字是6,甲是胜利者；假如朝上的

数字不是6,乙是胜利者.你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为何？假如不公平，你打算怎

样修改才能使游戏规则对甲、乙双方公平？

解析：看游戏与否公平，重要看双方与否具有均等的获胜机会，假如机会是均等的，那就公平，

否则，则不公平；可以变化已知条件，使游戏对双方获得日勺机会是均等的就可以了.

（1）这个游戏不公平.由于正方体的每个面分别标有1,2,3,4,5,6这六个数字，其中数字

6只有1个，也就是甲胜利的概率是看不是6H勺数字有5个，也就是说乙胜利的概率是/双方H勺胜

利的机会不是均等的，因此说这个游戏不公平.

（2）可以把游戏规则改为：任意掷出正方体后，假如朝上的数字是奇数（1,3,5）,甲是胜利

者；假如朝上H勺数字是偶数（2,4,6）,乙是胜利者，按这样H勺游戏规则就公平了.

点评：本题考察游戏公平性日勺判断，判断游戏规则与否公平，就要计算每个参与者取胜的概率日勺

大小，概率相等就公平，否则就不公平.

（九）概率的实际应用

例1某同学午觉醒来发现钟表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待口勺时间不超过15

分钟的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

2345

解析：电台每小时报时一次时间，此人打开收音机时处在两次报时之间.例如在13：00至14：

00之间，并且取各点的也许性同样.要等待日勺时间不超过15分钟，只有当他打开收音机的时间处在

13：45至14：00之间才有也许，因此对应的概率应是本题选C.

4

点评：对于一种随机事件来说，它发生也许性大小。勺度量是由它们自身决定日勺，并且是客观存在

日勺，就如同一块土地有面积同样.概率是随机事件发生也许性大小日勺度量，是随机事件自身的一种属

性.

误区点拨

一、基本概念的理解有误

例1有下列说法：①随机事件A发生口勺概率是频率的稳定值；②任意事件A发生口勺概率P(A)

满足()VP(A)<1；③若事件A发生的概率为0.00()()01,则事件A是不也许事件,其中对时的有

()

A.。个B.1个C.2个D.3个

错解：选D.

剖析：本题致错原因是不理解某些基本概念.频率是较少数据记录的成果，是一种详细的趋势和规

律.在大量反复试验时，频率具有一定日勺稳定性，总在某个常数附近摆动，且伴随试验次数日勺不停增

长，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件日勺概率.随机事件A发生的概率是频率H勺稳定值,

①对於J;由于必然事件发生的概率为1